迁安中考数学试题及答案

迁安中考数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.下列各数中，无理数是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

C.$\pi$

D.$\sqrt{9}$

2.若$a=2$，则代数式$3a^2-4a+1$的值是（）

A.5

B.4

C.3

D.2

3.已知等腰三角形底边长为8，腰长为10，则该等腰三角形的周长为（）

A.26

B.28

C.30

D.32

4.下列函数中，是反比例函数的是（）

A.$y=x^2+1$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=x^3+1$

D.$y=\sqrt{x}+1$

5.在$\triangleABC$中，若$AB=AC$，则下列说法正确的是（）

A.$\angleA=\angleB$

B.$\angleA=\angleC$

C.$\angleB=\angleC$

D.$\angleA=\angleB=\angleC$

二、填空题（每题5分，共25分）

1.已知$x+y=5$，$xy=6$，则$x^2+y^2$的值为__________。

2.若$a=2$，$b=3$，则$a^2+b^2-2ab$的值为__________。

3.在直角坐标系中，点$(3,4)$关于$x$轴的对称点坐标为__________。

4.在等腰三角形$ABC$中，若底边长为8，腰长为10，则底角$\angleB$的大小为__________。

5.若$a=2$，$b=3$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值为__________。

三、解答题（每题15分，共45分）

1.解下列方程组：

\[

\begin{cases}

x+y=7\\

2x-y=3

\end{cases}

\]

2.已知$a=2$，$b=3$，求$a^2+2ab+b^2$的值。

3.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于$y=x$的对称点为$B$，求点$B$的坐标。

4.已知等腰三角形底边长为6，腰长为8，求该等腰三角形的周长和面积。

四、解答题（每题15分，共45分）

5.已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求：

（1）函数$f(x)$的最大值和最小值；

（2）若$f(x)=0$，求$x$的值。

6.在$\triangleABC$中，已知$AB=AC$，$BC=8$，$AD$是$BC$边上的高，且$AD=6$。求$\triangleABC$的面积。

五、证明题（每题15分，共30分）

7.证明：若$a>b>0$，则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。

8.证明：在$\triangleABC$中，若$AB=AC$，则$\angleA=\angleC$。

六、综合题（每题20分，共40分）

9.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），且$f(1)=3$，$f(2)=7$，$f(3)=11$。求函数$f(x)$的解析式。

10.在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$AD$是$BC$边上的高，且$AD=6$，$BD=4$。求$\triangleABC$的周长和面积。

试卷答案如下：

一、选择题

1.C

解析思路：$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\pi$均为无理数，而$\sqrt{9}=3$为有理数，故选C。

2.A

解析思路：将$a=2$代入$3a^2-4a+1$得$3\times2^2-4\times2+1=12-8+1=5$，故选A。

3.B

解析思路：等腰三角形两腰相等，故周长为$8+10+10=28$，故选B。

4.B

解析思路：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$），故选B。

5.C

解析思路：等腰三角形两腰相等，底角相等，故选C。

二、填空题

1.37

解析思路：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入$x+y=5$和$xy=6$得$25=37-2\times6$，故$x^2+y^2=37$。

2.4

解析思路：$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$，代入$a=2$和$b=3$得$4$。

3.(3,-4)

解析思路：点$(3,4)$关于$x$轴的对称点坐标为$(3,-4)$。

4.36°

解析思路：等腰三角形底角相等，底边长为8，腰长为10，底角为$\frac{1}{2}\times180°-\arcsin(\frac{4}{10})=36°$。

5.5

解析思路：$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}$，代入$a=2$和$b=3$得$5$。

三、解答题

1.解：

\[

\begin{cases}

x+y=7\\

2x-y=3

\end{cases}

\]

将第一个方程乘以2，得$2x+2y=14$，再将第二个方程加到上式，得$3x=17$，解得$x=\frac{17}{3}$，代入第一个方程得$y=\frac{14}{3}$，故方程组的解为$\left(\frac{17}{3},\frac{14}{3}\right)$。

2.解：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，代入$a=2$和$b=3$得$25$。

3.解：点$(2,3)$关于$y=x$的对称点坐标为$(3,2)$。

4.解：等腰三角形底边长为6，腰长为8，周长为$6+8+8=22$；面积为$\frac{1}{2}\times6\times8=24$。

四、解答题

5.解：

（1）函数$f(x)=2x^2-3x+1$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$，故函数的最大值和最小值分别在$x=\frac{3}{4}$处取得。将$x=\frac{3}{4}$代入函数得$f\left(\frac{3}{4}\right)=2\times\left(\frac{3}{4}\right)^2-3\times\frac{3}{4}+1=\frac{1}{8}$，故函数的最大值为$\frac{1}{8}$，最小值为$\frac{1}{8}$。

（2）令$f(x)=0$，得$2x^2-3x+1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$或$x=1$。

6.解：由勾股定理得$BD^2+AD^2=AB^2$，代入$BD=4$，$AD=6$，$AB=AC$得$AC=2\sqrt{13}$，故$\triangleABC$的面积为$\frac{1}{2}\times8\times6=24$。

五、证明题

7.证明：由$a>b>0$，得$a-b>0$，两边同时乘以$\frac{1}{ab}$得$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}>0$，即$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。

8.证明：由$AB=AC$，得$\angleABD=\angleACD$，又$\angleABD+\angleACD=180°$，故$\angleABD=\angleACD=90°$，即$\angleA=\angleC$。

六、综合题

9.解：由$f(1)=3$，$f(2)=7$，$f(3)=11$，得

\[

\begin{cases}

a+b+c=3\\

4a+2b+c=7\\

9a+3b+c=11

\end{cases}

\]

将第一个方程乘以2，得$2a+2b+2c=6$，再将第二个方程减去上式，得$2a+b=1$，再将第三个方程减去上式，得$7a+2b=5$，解得$a=1$，$b=-1$，代入第一个方程得$c=4$，故函数$f(x)=x^2-x+4$。

10.解：由$AB=AC$，得$\angleABD=\angleACD$，又$\angleABD+\angleACD=180°$，故$\angleABD=\angleACD=90°$，