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文档简介
迁安中考数学试题及答案姓名:____________________
一、选择题(每题5分,共20分)
1.下列各数中,无理数是()
A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\pi$
D.$\sqrt{9}$
2.若$a=2$,则代数式$3a^2-4a+1$的值是()
A.5
B.4
C.3
D.2
3.已知等腰三角形底边长为8,腰长为10,则该等腰三角形的周长为()
A.26
B.28
C.30
D.32
4.下列函数中,是反比例函数的是()
A.$y=x^2+1$
B.$y=\frac{1}{x}$
C.$y=x^3+1$
D.$y=\sqrt{x}+1$
5.在$\triangleABC$中,若$AB=AC$,则下列说法正确的是()
A.$\angleA=\angleB$
B.$\angleA=\angleC$
C.$\angleB=\angleC$
D.$\angleA=\angleB=\angleC$
二、填空题(每题5分,共25分)
1.已知$x+y=5$,$xy=6$,则$x^2+y^2$的值为__________。
2.若$a=2$,$b=3$,则$a^2+b^2-2ab$的值为__________。
3.在直角坐标系中,点$(3,4)$关于$x$轴的对称点坐标为__________。
4.在等腰三角形$ABC$中,若底边长为8,腰长为10,则底角$\angleB$的大小为__________。
5.若$a=2$,$b=3$,则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值为__________。
三、解答题(每题15分,共45分)
1.解下列方程组:
\[
\begin{cases}
x+y=7\\
2x-y=3
\end{cases}
\]
2.已知$a=2$,$b=3$,求$a^2+2ab+b^2$的值。
3.在直角坐标系中,点$A(2,3)$关于$y=x$的对称点为$B$,求点$B$的坐标。
4.已知等腰三角形底边长为6,腰长为8,求该等腰三角形的周长和面积。
四、解答题(每题15分,共45分)
5.已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$,求:
(1)函数$f(x)$的最大值和最小值;
(2)若$f(x)=0$,求$x$的值。
6.在$\triangleABC$中,已知$AB=AC$,$BC=8$,$AD$是$BC$边上的高,且$AD=6$。求$\triangleABC$的面积。
五、证明题(每题15分,共30分)
7.证明:若$a>b>0$,则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。
8.证明:在$\triangleABC$中,若$AB=AC$,则$\angleA=\angleC$。
六、综合题(每题20分,共40分)
9.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a\neq0$),且$f(1)=3$,$f(2)=7$,$f(3)=11$。求函数$f(x)$的解析式。
10.在$\triangleABC$中,$AB=AC$,$AD$是$BC$边上的高,且$AD=6$,$BD=4$。求$\triangleABC$的周长和面积。
试卷答案如下:
一、选择题
1.C
解析思路:$\sqrt{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\pi$均为无理数,而$\sqrt{9}=3$为有理数,故选C。
2.A
解析思路:将$a=2$代入$3a^2-4a+1$得$3\times2^2-4\times2+1=12-8+1=5$,故选A。
3.B
解析思路:等腰三角形两腰相等,故周长为$8+10+10=28$,故选B。
4.B
解析思路:反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$($k\neq0$),故选B。
5.C
解析思路:等腰三角形两腰相等,底角相等,故选C。
二、填空题
1.37
解析思路:$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$,代入$x+y=5$和$xy=6$得$25=37-2\times6$,故$x^2+y^2=37$。
2.4
解析思路:$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$,代入$a=2$和$b=3$得$4$。
3.(3,-4)
解析思路:点$(3,4)$关于$x$轴的对称点坐标为$(3,-4)$。
4.36°
解析思路:等腰三角形底角相等,底边长为8,腰长为10,底角为$\frac{1}{2}\times180°-\arcsin(\frac{4}{10})=36°$。
5.5
解析思路:$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}$,代入$a=2$和$b=3$得$5$。
三、解答题
1.解:
\[
\begin{cases}
x+y=7\\
2x-y=3
\end{cases}
\]
将第一个方程乘以2,得$2x+2y=14$,再将第二个方程加到上式,得$3x=17$,解得$x=\frac{17}{3}$,代入第一个方程得$y=\frac{14}{3}$,故方程组的解为$\left(\frac{17}{3},\frac{14}{3}\right)$。
2.解:$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$,代入$a=2$和$b=3$得$25$。
3.解:点$(2,3)$关于$y=x$的对称点坐标为$(3,2)$。
4.解:等腰三角形底边长为6,腰长为8,周长为$6+8+8=22$;面积为$\frac{1}{2}\times6\times8=24$。
四、解答题
5.解:
(1)函数$f(x)=2x^2-3x+1$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$,故函数的最大值和最小值分别在$x=\frac{3}{4}$处取得。将$x=\frac{3}{4}$代入函数得$f\left(\frac{3}{4}\right)=2\times\left(\frac{3}{4}\right)^2-3\times\frac{3}{4}+1=\frac{1}{8}$,故函数的最大值为$\frac{1}{8}$,最小值为$\frac{1}{8}$。
(2)令$f(x)=0$,得$2x^2-3x+1=0$,解得$x=\frac{1}{2}$或$x=1$。
6.解:由勾股定理得$BD^2+AD^2=AB^2$,代入$BD=4$,$AD=6$,$AB=AC$得$AC=2\sqrt{13}$,故$\triangleABC$的面积为$\frac{1}{2}\times8\times6=24$。
五、证明题
7.证明:由$a>b>0$,得$a-b>0$,两边同时乘以$\frac{1}{ab}$得$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}>0$,即$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。
8.证明:由$AB=AC$,得$\angleABD=\angleACD$,又$\angleABD+\angleACD=180°$,故$\angleABD=\angleACD=90°$,即$\angleA=\angleC$。
六、综合题
9.解:由$f(1)=3$,$f(2)=7$,$f(3)=11$,得
\[
\begin{cases}
a+b+c=3\\
4a+2b+c=7\\
9a+3b+c=11
\end{cases}
\]
将第一个方程乘以2,得$2a+2b+2c=6$,再将第二个方程减去上式,得$2a+b=1$,再将第三个方程减去上式,得$7a+2b=5$,解得$a=1$,$b=-1$,代入第一个方程得$c=4$,故函数$f(x)=x^2-x+4$。
10.解:由$AB=AC$,得$\angleABD=\angleACD$,又$\angleABD+\angleACD=180°$,故$\angleABD=\angleACD=90°$,
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