解直角三角形知识点

解直角三角形知识点1一、锐角三角函数的定义:在中，?C=90?，、、分别是?A、?B、?C的acRTABC,b对边，则:，Aa的对边，Ab的邻边sinA,,cosA,,斜边c斜边c，Ab的邻边，Aa的对边tanA,,cotA,,，Ab的邻边，Aa的对边a常用变形:;等，由同学们自行归纳。c,acA,sinsinA二、锐角三角函数的有关性质:1、当0?<?A<90?时，;;;0sin1,,A0cos1,,Atan0A,cot0A,2、在0?90?之间，正弦、正切(、)的值，随角度的增大而增大;余弦、余切(、cossintan)的值，随角度的增大而减小。cot三、同角三角函数的关系:sinAcosA22tancot1AA,sincos1AA，,tanA,cotA,cosAsinA22常用变形:(用定义证明，易得，同学自行完成)sin1cosAA,,cos1sinAA,,四、正弦与余弦，正切与余切的转换关系:a如图1，由定义可得:同理可得:sincoscos(90)ABA,,,:,csincos(90)AA,:,cossin(90)AA,:,tancot(90)AA,:,cottan(90)AA,:,五、特殊角的三角函数值:cos,tan,cot,三角函数sin,A13330?3223A30?2222345?1122260?45?133B60?C3BC22321六、解直角三角形的基本类型及其解法总结:类型已知条件解法2a2，，cab,，，,:,，BA90tanA,两直角边、abb两边a22，，bca,,，,:,，BA90sinA,直角边，斜边accac,，，，,:,，BA90baA,cot直角边，锐角Aa一边sinA一锐角斜边，锐角Ac，，，,:,，BA90acA,sinbcA,cos2七、三角形的面积公式:已知中，?A、?B、?C的对应边分别是、、，如图2，过点A作AD?BC于点D。在ac,ABCbAD中，，即:()RTABD,ADABB,sinADcB,sinsinB,AB111(其中:?B为、的夹角)acSBCADacBacB,,,sinsin,ABC222111同理可得:(三角形的面积公式)SacBbcAabC,,,sinsinsin,ABC22211由面积公式可得:acBbcAsinsin,22ab1两边同时除于得:caBbAsinsin,,,2sinsinABabc,,同理可得，正弦公式:sinsinsinABC八、余弦定理如图2:，，在直角三角形ABD中，由勾股定理得:ADbC,sinBDBCCDabC,,,,cos222222整理得:ABADBDcbCabC,，,,，,(sin)(cos)2222222222cbCaabCbCbCCaabC,，,，,，，,sin2coscos(sincos)2cos222222整理得到余弦定理:(?C为、的夹角)a,,，,cbaabC2coscababC,，,2cosb同理可得:(余弦定理及其变形)222bca，,222cosA,abcbcA,，,2cos2bc222acb，,222cosB,bacacB,，,2cos2ac222abc，,222cosC,cababC,，,2cos2ab九、三角函数的高中定义:(图中的圆半径为单位1)xyycot,如图3，同理可得:，，,如图4，也可以得到相同的cos,,xsin,,,ytan,,yxr结论，但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化，从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。3十、三角函数与相似:如图5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解:DEBCADABxx，3.2sinA,,cosA,,,,AEACAEAC610DEBCx6如图6，tanA,,,,AEAB48备注:三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些十一、相似与直角三角形的射影定理:C222直角三角形射影定理:CDADBD,ACADAB,BCBDAB,CDBD2ABtantanABCDCDADBD,,，,,,DADCDBCBDACAD22cosAACADAB,,,,cosBBCBDAB,,,,ABACABBC十二、三角函数与一次函数设一次函数经过点与那么我们可以列出方程组:Axy(,)Bxy(,)ykxb