线性代数分章试题及答案

线性代数分章试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共10分）

1.矩阵的秩是指（）

A.矩阵中非零行的最大个数

B.矩阵中非零列的最大个数

C.矩阵中非零元素的个数

D.矩阵中行向量线性无关的最大个数

2.若A是n阶可逆矩阵，则|A|等于（）

A.0

B.1

C.n

D.A的行列式

3.若向量a、b、c满足a+b+c=0，则a、b、c线性（）

A.相容

B.线性相关

C.线性无关

D.不能确定

4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则AB是（）

A.m×m矩阵

B.m×n矩阵

C.n×n矩阵

D.n×m矩阵

5.若A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则秩（AB）≤秩（A）且秩（AB）≤秩（B）（）

A.正确

B.错误

二、填空题（每题2分，共10分）

1.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则秩（AB）≤秩（A）且秩（AB）≤秩（B）的充要条件是（）。

2.若A是n阶可逆矩阵，则|A|等于（）。

3.若向量a、b、c满足a+b+c=0，则a、b、c线性（）。

4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则AB是（）。

5.若A是n阶可逆矩阵，则A的逆矩阵是（）。

三、计算题（每题10分，共30分）

1.计算矩阵A的行列式，其中A＝

$$

\begin{bmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9\\

\end{bmatrix}

$$

2.计算矩阵A的逆矩阵，其中A＝

$$

\begin{bmatrix}

2&1\\

3&2\\

\end{bmatrix}

$$

3.计算向量组a＝（1，2，3），b＝（2，4，6），c＝（3，6，9）的秩。

4.计算矩阵A的秩，其中A＝

$$

\begin{bmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9\\

\end{bmatrix}

$$

5.计算矩阵A的逆矩阵，其中A＝

$$

\begin{bmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9\\

\end{bmatrix}

$$

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若矩阵A的秩为r，则A的任意r阶子式不为零。

2.证明：若向量组a、b、c线性无关，则向量组ka、kb、kc（k为任意非零常数）也线性无关。

五、应用题（每题10分，共20分）

1.设A＝

$$

\begin{bmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9\\

\end{bmatrix}

$$

求矩阵A的特征值和特征向量。

2.设A＝

$$

\begin{bmatrix}

2&1\\

3&2\\

\end{bmatrix}

$$

求矩阵A的伴随矩阵。

六、综合题（每题20分，共40分）

1.设A＝

$$

\begin{bmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9\\

\end{bmatrix}

$$

求矩阵A的行列式。

2.设A＝

$$

\begin{bmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9\\

\end{bmatrix}

$$

求矩阵A的逆矩阵。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.A。矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数。

2.D。若A是n阶可逆矩阵，则|A|等于A的行列式。

3.B。若向量a、b、c满足a+b+c=0，则a、b、c线性相关。

4.B。设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则AB是m×m矩阵。

5.A。若A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则秩（AB）≤秩（A）且秩（AB）≤秩（B）是正确的。

二、填空题答案及解析：

1.矩阵A的秩为r，则A的任意r阶子式不为零的充要条件是A的秩等于r。

2.若A是n阶可逆矩阵，则|A|等于A的行列式。

3.若向量a、b、c满足a+b+c=0，则a、b、c线性相关。

4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则AB是m×m矩阵。

5.若A是n阶可逆矩阵，则A的逆矩阵是A的行列式的倒数乘以A的伴随矩阵。

三、计算题答案及解析：

1.计算矩阵A的行列式，其中A＝

$$

\begin{bmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9\\

\end{bmatrix}

$$

答案：|A|=0

2.计算矩阵A的逆矩阵，其中A＝

$$

\begin{bmatrix}

2&1\\

3&2\\

\end{bmatrix}

$$

答案：A的逆矩阵为

$$

\begin{bmatrix}

2&-1\\

-3&2\\

\end{bmatrix}

$$

3.计算向量组a＝（1，2，3），b＝（2，4，6），c＝（3，6，9）的秩。

答案：向量组a、b、c线性相关，其秩为1。

4.计算矩阵A的秩，其中A＝

$$

\begin{bmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9\\

\end{bmatrix}

$$

答案：矩阵A的秩为1。

5.计算矩阵A的逆矩阵，其中A＝

$$

\begin{bmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9\\

\end{bmatrix}

$$

答案：由于矩阵A的秩为1，A不可逆，因此不存在逆矩阵。

四、证明题答案及解析：

1.证明：若矩阵A的秩为r，则A的任意r阶子式不为零。

解析：由于A的秩为r，存在一个r阶子式不为零，即存在一个r阶非零子矩阵。假设存在一个r阶子式为零，则这个子矩阵的行向量线性相关，与A的秩为r矛盾。因此，A的任意r阶子式不为零。

2.证明：若向量组a、b、c线性无关，则向量组ka、kb、kc（k为任意非零常数）也线性无关。

解析：假设向量组ka、kb、kc线性相关，则存在不全为零的常数k1、k2、k3使得k1ka+k2kb+k3kc=0。由于a、b、c线性无关，可得k1k1a+k2k2b+k3k3c=0，即k1a+k2b+k3c=0。这与向量组a、b、c线性无关矛盾。因此，向量组ka、kb、kc线性无关。

五、应用题答案及解析：

1.设A＝

$$

\begin{bmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9\\

\end{bmatrix}

$$

求矩阵A的特征值和特征向量。

答案：特征值为0，特征向量为（1，2，3）。

2.设A＝

$$

\begin{bmatrix}

2&1\\

3&2\\

\end{bmatrix}

$$

求矩阵A的伴随矩阵。

答案：伴随矩阵为

$$

\begin{bmatrix}

3&-1\\

-3&2\\

\end{bmatrix}

$$

六、综合题答案及解析：

1.设A＝

$$

\begin{bmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9\\