数学必修四考试题及答案

数学必修四考试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共25分）

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(-2,1)，则下列选项中正确的是：

A.a>0，b>0，c>0

B.a>0，b<0，c>0

C.a<0，b>0，c<0

D.a<0，b<0，c<0

2.已知函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值为4，则f'(x)=0的根为：

A.-2，0，2

B.-1，1，2

C.-1，0，1

D.0，1，2

3.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z对应的点在复平面上的轨迹为：

A.直线y=0

B.直线y=1

C.圆心在原点，半径为1的圆

D.圆心在(-1,0)，半径为1的圆

4.若数列{an}满足an=an-1+an-2，且a1=1，a2=2，则数列{an}的前n项和Sn为：

A.n^2+n

B.n^2+2n

C.n^2-n

D.n^2-2n

5.已知函数f(x)=x^2-2x+1在区间[1,3]上的图像为：

A.单调递增

B.单调递减

C.先递增后递减

D.先递减后递增

二、填空题（每题5分，共25分）

1.若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则数列的第n项an=_______。

2.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则数列的第n项an=_______。

3.若复数z=a+bi，则z的模|z|=_______。

4.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z对应的点在复平面上的轨迹方程为_______。

5.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(-2,1)，则a=_______，b=_______，c=_______。

三、解答题（每题10分，共20分）

1.已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。

2.已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。

四、解答题（每题10分，共20分）

3.已知数列{an}的前n项和Sn=3^n-1，求an的通项公式。

4.已知函数f(x)=(x-1)/(x^2-1)，求f(x)的奇偶性和周期性。

五、证明题（每题10分，共20分）

5.证明：若a>b>0，则a^n>b^n对所有的正整数n成立。

6.证明：若复数z=a+bi，其中a和b都是实数，且|z|=1，则z的辐角θ满足0≤θ<2π。

六、应用题（每题10分，共20分）

7.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数f(x)在区间[0,4]上的最大值和最小值，并画出函数的图像。

8.已知等差数列{an}的首项为a1=3，公差为d=2，求第10项an和前10项的和S10。

试卷答案如下：

一、选择题

1.B.a>0，b<0，c>0

解析思路：开口向上的抛物线顶点坐标为(-2,1)，则对称轴为x=-2，a>0，b的符号与对称轴有关，因为对称轴在x轴左侧，所以b<0。

2.D.0，1，2

解析思路：函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=0或x=1，这两个点为极值点。

3.D.圆心在(-1,0)，半径为1的圆

解析思路：由|z-1|=|z+1|可知，z到点1和点-1的距离相等，因此z对应的点在以点-1为圆心，半径为1的圆上。

4.A.n^2+n

解析思路：等差数列的第n项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=1，d=1得到an=n^2+n。

5.B.单调递减

解析思路：函数f(x)=x^2-2x+1是一个完全平方，可以写成f(x)=(x-1)^2，因此图像是一个开口向上的抛物线，顶点为(1,0)，在区间[1,3]上函数值随x增加而减少。

二、填空题

1.an=a1+(n-1)d

2.an=a1*q^(n-1)

3.|z|=√(a^2+b^2)

4.x^2+y^2=1

5.a=1，b=-2，c=1

三、解答题

1.解析思路：令f(x)=x^2-2x+1=0，解得x=1，所以函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)。

2.解析思路：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=1或x=-1。f(-2)=8，f(-1)=-2，f(1)=0，f(2)=2，所以最大值为8，最小值为-2。

四、解答题

3.解析思路：S1=3^1-1=2，S2=3^2-1=8，S3=3^3-1=26，由此可以看出an=3^n-1。

4.解析思路：f(-x)=(-x-1)/((-x)^2-1)=(x+1)/(x^2-1)≠f(x)，所以函数不是偶函数。由于函数不满足周期性，所以既不是偶函数也不是周期函数。

五、证明题

5.解析思路：假设存在某个正整数n使得a^n≤b^n，由于a>b>0，取a^n-b^n的平方，得到(a^n-b^n)^2>0，这与假设矛盾，因此a^n>b^n对所有正整数n成立。

6.解析思路：由于|z|=1，即a^2+b^2=1，由于a和b都是实数，可以得出-1≤a≤1和-1≤b≤1，从而得出0≤θ<2π。

六、解答题

7.解析思路：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2，f(2)=-1为最小值。f(0)=3和f(4)=3，所以最大值为3，图像是一个开口向上的抛物线，顶点