初三三模数学试题及答案

初三三模数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[X]分，共[X]分）

1.若函数$f(x)=x^2-4x+4$的图像是（）

A.$y=(x-2)^2$

B.$y=(x+2)^2$

C.$y=(x-2)^2-4$

D.$y=(x+2)^2-4$

2.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，公差$d=2$，则$a_{10}$等于（）

A.19

B.21

C.23

D.25

二、填空题（每题[X]分，共[X]分）

3.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是锐角，则$\cos\alpha=\frac{4}{5}$的平方根是_______。

4.若方程$x^2-2(k-1)x+k=0$有两个不同的实数根，则实数$k$的取值范围是_______。

三、解答题（每题[X]分，共[X]分）

5.（X分）已知$a$、$b$是方程$x^2-4x+3=0$的两个根，求证：$a+b=4$。

证明：

设方程$x^2-4x+3=0$的两个根为$a$和$b$，则根据韦达定理有：

$a+b=4$（1）

$ab=3$（2）

由（1）式得$b=4-a$，代入（2）式得：

$a(4-a)=3$

$4a-a^2=3$

$a^2-4a+3=0$

$(a-3)(a-1)=0$

所以$a=3$或$a=1$。

当$a=3$时，$b=4-a=1$；当$a=1$时，$b=4-a=3$。

因此，方程$x^2-4x+3=0$的两个根为$a=3$和$b=1$，所以$a+b=4$。

证毕。

四、解答题（每题[X]分，共[X]分）

6.（X分）已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$的单调区间。

解：

首先求出$f(x)$的导数$f'(x)$：

$f'(x)=6x^2-6x+4$

令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。

当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$，所以$f(x)$在区间$(-\infty,\frac{2}{3})$上单调递增；

当$\frac{2}{3}<x<1$时，$f'(x)<0$，所以$f(x)$在区间$(\frac{2}{3},1)$上单调递减；

当$x>1$时，$f'(x)>0$，所以$f(x)$在区间$(1,+\infty)$上单调递增。

7.（X分）在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为$B$，求点$B$的坐标。

解：

设点$B$的坐标为$(m,n)$，由于点$A$和点$B$关于直线$y=x$对称，所以它们的中点$M$在直线$y=x$上。

点$A$和点$B$的中点$M$的坐标为$\left(\frac{2+m}{2},\frac{3+n}{2}\right)$。

由于$M$在直线$y=x$上，所以$\frac{2+m}{2}=\frac{3+n}{2}$，即$m=n+1$。

又因为点$A$和点$B$关于直线$y=x$对称，所以它们的斜率乘积为$-1$，即：

$\frac{n-3}{m-2}\cdot\frac{m-2}{n-3}=-1$

解得$m=3$，$n=2$。

因此，点$B$的坐标为$(3,2)$。

五、应用题（每题[X]分，共[X]分）

8.（X分）某工厂生产一批产品，每件产品的成本为$20$元，售价为$30$元。为了促销，工厂决定对每件产品进行打折，使得利润率提高$10\%$。求打折后的售价。

解：

设打折后的售价为$x$元，则每件产品的利润为$x-20$元。

利润率提高$10\%$，即新的利润率为$30\%$，所以有：

$\frac{x-20}{20}=30\%$

解得$x=27$。

因此，打折后的售价为$27$元。

六、综合题（每题[X]分，共[X]分）

9.（X分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_3=18$，$S_5=35$，求该数列的通项公式和前$n$项和公式。

解：

设等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$。

由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，得：

$S_3=\frac{3}{2}(a_1+a_3)=18$

$S_5=\frac{5}{2}(a_1+a_5)=35$

将通项公式代入上述等式，得：

$18=\frac{3}{2}(a_1+a_1+2d)=3a_1+3d$

$35=\frac{5}{2}(a_1+a_1+4d)=5a_1+10d$

解得$a_1=2$，$d=4$。

因此，该数列的通项公式为$a_n=2+(n-1)\cdot4=4n-2$。

前$n$项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(2+4n-2)=2n^2$。

试卷答案如下：

一、选择题答案：

1.A

解析思路：根据二次函数的标准形式$y=ax^2+bx+c$，图像的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。将$a=1,b=-4,c=4$代入，得顶点坐标为$(2,0)$，所以图像是$y=(x-2)^2$。

2.B

解析思路：等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。代入$a_1=3$和$d=2$，得$a_{10}=3+(10-1)\cdot2=3+18=21$。

二、填空题答案：

3.$\pm\frac{4}{5}$

解析思路：由于$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，则$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$。因此，$\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}$。

4.$k\leq1$或$k\geq3$

解析思路：根据韦达定理，方程$x^2-2(k-1)x+k=0$的两个根之和为$2(k-1)$，两个根的乘积为$k$。由于方程有两个不同的实数根，判别式$\Delta=b^2-4ac>0$，即$4(k-1)^2-4k>0$。化简得$k^2-6k+1>0$，解得$k\leq1$或$k\geq3$。

三、解答题答案：

5.证明：

解析思路：根据韦达定理，方程$x^2-4x+3=0$的两个根之和为$4$，两个根的乘积为$3$。设这两个根为$a$和$b$，则有$a+b=4$和$ab=3$。由于$a$和$b$是方程的根，所以$a^2-4a+3=0$和$b^2-4b+3=0$。将$a+b=4$代入$ab=3$，得$a^2-4a+3=(a+b)^2-4ab=4^2-4\cdot3=16-12=4$。因此，$a^2-4a+3=0$，同理$b^2-4b+3=0$。所以$a+b=4$。

四、解答题答案：

6.解：

解析思路：求函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$的导数$f'(x)$，然后找到$f'(x)=0$的解，这些解是函数的临界点。通过测试这些临界点附近的函数值，可以确定函数的单调区间。

7.解：

解析思路：利用对称点的性质，点$A$和点$B$关于直线$y=x$对称，所以它们的坐标满足$m=n+1$。同时，由于它们的中点在直线$y=x$上，可以建立坐标关系来求解$m$和$n$。

五、应用题答案：

8.解：

解析思路：设打折后的售价为$x$元，