八一式极限测试题及答案

八一式极限测试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.八一式极限测试题中，以下哪个选项不是极限的定义？

A.极限是函数在某一点的极限值

B.极限是函数在某一点的导数值

C.极限是函数在某一点的连续值

D.极限是函数在某一点的极限过程

2.当x趋向于0时，函数f(x)=1/x的极限是？

A.0

B.1

C.无穷大

D.无定义

3.以下哪个函数的极限存在？

A.f(x)=1/x，x趋向于0

B.f(x)=x^2，x趋向于无穷大

C.f(x)=x^3，x趋向于1

D.f(x)=|x|，x趋向于0

4.下列哪个函数的极限是0？

A.f(x)=1/x，x趋向于无穷大

B.f(x)=x^2，x趋向于无穷大

C.f(x)=|x|，x趋向于无穷大

D.f(x)=x^3，x趋向于无穷大

5.如果lim(x→0)f(x)=2，那么以下哪个结论是正确的？

A.f(0)=2

B.f(0)=1

C.f(0)=0

D.f(0)=3

6.下列哪个函数的极限是无穷大？

A.f(x)=1/x，x趋向于0

B.f(x)=x^2，x趋向于无穷大

C.f(x)=|x|，x趋向于无穷大

D.f(x)=x^3，x趋向于无穷大

7.如果lim(x→0)f(x)=1，那么以下哪个结论是正确的？

A.f(0)=1

B.f(0)=0

C.f(0)=-1

D.f(0)=2

8.以下哪个函数的极限不存在？

A.f(x)=1/x，x趋向于0

B.f(x)=x^2，x趋向于无穷大

C.f(x)=|x|，x趋向于无穷大

D.f(x)=x^3，x趋向于无穷大

9.下列哪个函数的极限是0？

A.f(x)=1/x，x趋向于无穷大

B.f(x)=x^2，x趋向于无穷大

C.f(x)=|x|，x趋向于无穷大

D.f(x)=x^3，x趋向于无穷大

10.如果lim(x→0)f(x)=0，那么以下哪个结论是正确的？

A.f(0)=0

B.f(0)=1

C.f(0)=-1

D.f(0)=2

二、填空题（每题2分，共20分）

11.极限的定义是：函数在某一点的极限是函数在某一点的______值。

12.当x趋向于0时，函数f(x)=1/x的极限是______。

13.以下哪个函数的极限存在？______。

14.下列哪个函数的极限是0？______。

15.如果lim(x→0)f(x)=2，那么以下哪个结论是正确的？______。

16.下列哪个函数的极限是无穷大？______。

17.如果lim(x→0)f(x)=1，那么以下哪个结论是正确的？______。

18.以下哪个函数的极限不存在？______。

19.下列哪个函数的极限是0？______。

20.如果lim(x→0)f(x)=0，那么以下哪个结论是正确的？______。

三、判断题（每题1分，共10分）

21.极限是函数在某一点的极限值。（）

22.当x趋向于0时，函数f(x)=1/x的极限是0。（）

23.以下哪个函数的极限存在？f(x)=x^2，x趋向于无穷大。（）

24.下列哪个函数的极限是0？f(x)=|x|，x趋向于无穷大。（）

25.如果lim(x→0)f(x)=2，那么f(0)=2。（）

26.下列哪个函数的极限是无穷大？f(x)=x^3，x趋向于无穷大。（）

27.如果lim(x→0)f(x)=1，那么f(0)=1。（）

28.以下哪个函数的极限不存在？f(x)=1/x，x趋向于0。（）

29.下列哪个函数的极限是0？f(x)=1/x，x趋向于无穷大。（）

30.如果lim(x→0)f(x)=0，那么f(0)=0。（）

四、简答题（每题5分，共20分）

31.简述极限的概念及其数学定义。

32.解释无穷大的概念及其在极限中的意义。

33.如何判断一个函数在某一点的极限是否存在？

34.说明在求函数极限的过程中，可能遇到的三种特殊情况。

五、计算题（每题10分，共30分）

35.计算极限：lim(x→2)(3x^2-4x+1)。

36.计算极限：lim(x→0)(sin(x)/x)。

37.计算极限：lim(x→∞)(1/(x^2+1))。

六、应用题（每题15分，共30分）

38.已知函数f(x)=x^2-4x+4，求证：lim(x→2)f(x)=0。

39.设函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，求证：lim(x→1)f(x)=2。

40.已知函数f(x)=(sin(x)/x)，求证：lim(x→0)f(x)=1。

试卷答案如下：

一、选择题（每题2分，共20分）

1.B

解析思路：极限的定义是函数在某一点的极限值，与导数值和连续值无关。

2.A

解析思路：当x趋向于0时，分母x趋向于0，分子为常数1，故极限为无穷大。

3.D

解析思路：在x=1处，函数值为f(1)=1^3=1，故极限存在。

4.C

解析思路：当x趋向于无穷大时，分母为无穷大，分子为x的立方，故极限为0。

5.A

解析思路：极限值等于函数在某一点的极限值。

6.C

解析思路：当x趋向于无穷大时，绝对值函数的极限为无穷大。

7.A

解析思路：极限值等于函数在某一点的极限值。

8.A

解析思路：在x=0处，函数无定义。

9.A

解析思路：当x趋向于无穷大时，分母为无穷大，分子为x的倒数，故极限为0。

10.A

解析思路：极限值等于函数在某一点的极限值。

二、填空题（每题2分，共20分）

11.极限是函数在某一点的极限值。

解析思路：根据极限的定义。

12.无穷大

解析思路：根据极限的计算。

13.f(x)=x^2，x趋向于无穷大

解析思路：根据极限的存在性判断。

14.f(x)=|x|，x趋向于无穷大

解析思路：根据极限的计算。

15.A

解析思路：根据极限的定义。

16.f(x)=x^3，x趋向于无穷大

解析思路：根据极限的计算。

17.A

解析思路：根据极限的定义。

18.f(x)=1/x，x趋向于0

解析思路：根据极限的无定义性。

19.f(x)=1/x，x趋向于无穷大

解析思路：根据极限的计算。

20.A

解析思路：根据极限的定义。

三、判断题（每题1分，共10分）

21.错

解析思路：极限是函数在某一点的极限值，与导数值和连续值无关。

22.错

解析思路：当x趋向于0时，函数f(x)=1/x的极限是无穷大。

23.对

解析思路：根据极限的存在性判断。

24.对

解析思路：根据极限的计算。

25.对

解析思路：根据极限的定义。

26.对

解析思路：根据极限的计算。

27.对

解析思路：根据极限的定义。

28.错

解析思路：在x=0处，函数无定义。

29.对

解析思路：根据极限的计算。

30.对

解析思路：根据极限的定义。

四、简答题（每题5分，共20分）

31.极限的概念及其数学定义：极限是指当自变量趋向于某一数值时，函数的值趋向于某一确定的数值。数学定义是：若对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋向于a时的极限是L。

32.无穷大的概念及其在极限中的意义：无穷大是指当自变量趋向于某一数值时，函数的值趋向于无穷。在极限中，无穷大表示函数的增长速度超过任何有限数值。

33.判断函数在某一点的极限存在的方法：观察函数在接近该点的行为，判断是否存在一个确定的数值使得函数的值能够无限接近这个数值。

34.在求函数极限的过程中，可能遇到的三种特殊情况：函数在某一点的极限不存在，函数在某一点的极限为无穷大，函数在某一点的极限为0。

五、计算题（每题10分，共30分）

35.计算极限：lim(x→2)(3x^2-4x+1)=3*2^2-4*2+1=3

解析思路：直接代入x=2计算。

36.计算极限：lim(x→0)(sin(x)/x)=1

解析思路：利用极限的等价无穷小替换，sin(x)/x当x趋向于0时与1/x等价，极限为1。

37.计算极限：lim(x→∞)(1/(x^2+1))=0

解析思路：分母x^2+1在x趋向于无穷大时趋向于无穷大，故极限为0。

六、应用题（每题15分，共30分）

38.已知函数f(x)=x^2-4x+4，求证：lim(x→2)f(x)=0

解析思路：观察函数在x=2处的极限值，代入x=2计算，f(2)=2^2-4*2+4=0。

39.设函数f(x)=(x^2