2025年立信数理统计试题及答案

立信数理统计试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.在下列统计量中，表示样本均值的标准差称为：

A.样本方差

B.样本标准差

C.总体方差

D.总体标准差

2.下列哪项不是概率分布函数的性质：

A.非负性

B.累积和为1

C.单调递增

D.连续性

3.在进行假设检验时，如果零假设成立，那么：

A.统计量将落在拒绝域内

B.统计量将落在接受域内

C.统计量将落在临界区域内

D.统计量将落在置信区间内

4.下列哪个系数表示变量之间的线性关系强度：

A.相关系数

B.离差系数

C.偏差系数

D.标准化系数

5.在进行线性回归分析时，如果自变量之间高度相关，那么：

A.线性回归模型将更准确

B.线性回归模型将不准确

C.模型将出现多重共线性问题

D.模型将不出现多重共线性问题

6.在下列分布中，期望值和方差相等的是：

A.正态分布

B.指数分布

C.二项分布

D.泊松分布

7.下列哪个分布的形状是偏态的：

A.正态分布

B.指数分布

C.二项分布

D.泊松分布

8.在进行参数估计时，如果样本量较大，那么：

A.估计量的方差将增大

B.估计量的方差将减小

C.估计量的标准误差将增大

D.估计量的标准误差将减小

9.在下列统计量中，表示样本总体平均数估计的无偏性的是：

A.估计量的方差

B.估计量的标准误差

C.估计量的置信水平

D.估计量的置信区间

10.下列哪个统计量表示总体中所有可能的样本均值分布的均值：

A.样本均值

B.样本方差

C.总体均值

D.总体方差

二、填空题（每题2分，共10分）

1.在正态分布中，均值、中位数和众数是相等的。

2.在进行假设检验时，如果零假设不成立，那么统计量将落在拒绝域内。

3.相关系数r的取值范围是[-1,1]。

4.泊松分布的参数λ表示事件发生的平均次数。

5.在进行线性回归分析时，自变量之间的相关系数越接近1，说明它们之间的线性关系越强。

三、计算题（每题10分，共30分）

1.已知某班学生成绩的样本均值为70分，样本标准差为10分，样本量为50。请计算该样本的方差和标准误差。

2.某工厂生产的产品质量指标服从正态分布，已知均值μ为100，标准差σ为5。请计算该正态分布的累积分布函数F(x)在x=95和x=105处的值。

3.某调查结果显示，某城市居民的平均年收入为50000元，标准差为20000元。请计算该城市居民年收入的中位数。

四、简答题（每题10分，共20分）

1.简述大数定律和中心极限定理在统计学中的作用。

2.解释参数估计和无偏估计的概念，并说明它们在统计学中的应用。

五、应用题（每题20分，共40分）

1.某城市进行了居民对公共安全满意度的调查，共收集了1000份有效问卷。调查结果显示，居民对公共安全的满意程度可以表示为一个正态分布，均值为75，标准差为10。请根据这些数据，计算以下概率：

a.50%的居民对公共安全满意程度高于多少？

b.满意程度在70到80之间的居民占比是多少？

c.至少有多少居民对公共安全满意程度低于60？

2.一家汽车制造商对新型汽车进行了性能测试，测试数据如下：1000km油耗（升）的平均值为7.5升，标准差为0.5升。请根据这些数据，使用正态分布的知识回答以下问题：

a.计算平均油耗超过8升的概率。

b.如果汽车的平均油耗低于7.4升，那么这辆车的性能是否异常？

c.设定一个合理的油耗标准，例如8.0升，那么至少有多少比例的汽车会超过这个标准？

六、论述题（30分）

论述在数据分析中，如何利用统计学方法来识别和纠正数据偏差。包括但不限于以下方面：

1.数据偏差的常见类型及其原因；

2.使用统计方法识别数据偏差的方法；

3.对存在偏差的数据进行纠正的措施；

4.如何在数据分析过程中避免产生数据偏差。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.B。样本标准差是表示样本均值的标准差。

2.C。概率分布函数的性质包括非负性、累积和为1、单调递增和连续性，单调递增不是其性质。

3.B。如果零假设成立，统计量将落在接受域内。

4.A。相关系数表示变量之间的线性关系强度。

5.C。自变量之间高度相关会导致多重共线性问题。

6.C。二项分布的期望值和方差相等。

7.D。泊松分布是偏态分布。

8.B。样本量较大时，估计量的方差将减小。

9.B。估计量的标准误差表示样本均值估计的无偏性。

10.C。总体均值表示总体中所有可能的样本均值分布的均值。

二、填空题答案及解析：

1.相等。

2.拒绝域内。

3.[-1,1]。

4.平均次数。

5.线性关系越强。

三、计算题答案及解析：

1.样本方差=(10)^2=100，标准误差=10/√50=1.41。

2.F(95)=Φ((95-100)/5)=Φ(-1)=0.1587，F(105)=Φ((105-100)/5)=Φ(1)=0.8413。

3.中位数=均值=50000元。

四、简答题答案及解析：

1.大数定律和中心极限定理在统计学中的作用：

a.大数定律：随着样本量的增加，样本均值将趋近于总体均值，样本方差将趋近于总体方差。

b.中心极限定理：当样本量足够大时，样本均值的分布将趋近于正态分布，无论总体分布如何。

2.参数估计和无偏估计的概念及其应用：

a.参数估计：根据样本数据估计总体参数的过程。

b.无偏估计：估计量的期望值等于总体参数的值。

应用：参数估计和无偏估计在统计学中用于推断总体特征，如总体均值、总体方差等。

五、应用题答案及解析：

1.a.50%的居民对公共安全满意程度高于70分。

b.满意程度在70到80之间的居民占比为Φ((80-75)/10)-Φ((70-75)/10)=0.3413。

c.至少有Φ((60-75)/10)=0.1587的居民对公共安全满意程度低于60。

2.a.平均油耗超过8升的概率为1-Φ((8-7.5)/0.5)=0.1587。

b.如果汽车的平均油耗低于7.4升，那么这辆车的性能可能异常。

c.设定油耗标准为8.0升，至少有Φ((8-7.5)/0.5)=0.3413的汽车会超过这个标准。

六、论述题答案及解析：

1.数据偏差的常见类型及其原因：

a.系统偏差：由于数据收集、处理或分析过程中的错误导致的偏差。

b.随机偏差：由于随机因素导致的偏差。

c.选择偏差：由于样本选择过程中的偏差。

d.时间偏差：由于时间因素导致的偏差。

2.使用统计方法识别数据偏差的方法：

a.统计检验：使用假设检验方法来识别数据偏差。

b.数据可视化：通过图表和图形展示数据分布，以便发现异常值或模式。

c.异常值分析：识别和排除异常值。

3.对存在偏差的数据进行纠正的措施：

a.数据清洗