云南省昭通市昭通一中教研联盟2025届高三上学期毕业生诊断性检测（一模）数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页云南省昭通市昭通一中教研联盟2025届高三上学期毕业生诊断性检测（一模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=xx2<7，B=−1,0,1,2,3A．−1,0,1,2,3 B．−1,0,1,2 C．0,1,2 D．1,2【答案】B【分析】先求出集合A，再根据交集的定义即可得解.【详解】A=所以A∩B=−1,0,1,2故选：B.2．已知复数z=2i1+i，则A．2 B．2 C．10 D．10【答案】A【分析】先根据复数的除法运算求出复数z，再根据复数的模的计算公式即可得解.【详解】z=2所以z−2i故选：A.3．已知向量a，b是单位向量，且a+b=a−A．3 B．5 C．3 D．5【答案】B【分析】由a+b=a−【详解】因为向量a，b是单位向量，所以|由|a+b|=|a所以|a故选：B.4．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，8，m，14，16，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第60百分位数是（

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】先由中位数和极差的概念得到m，再由百分位数的计算方法求出即可；【详解】该组数据的中位数为8+m2，极差为15，故m+8则m=10，6×60%故选：D.5．直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0与圆C：(x−1)2+(y−2)A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【分析】先求出直线过的定点，再利用到圆心的距离小于半径确定有两个交点.【详解】(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0整理为(2x+y−7)m+x+y−4=0，则2x+y−7=0 x+y−4=0  ，解得x=3而(3−1)2故选：C.6．若函数f(x)=ex+lnx，满足f(a)f(b)f(c)>0(0<a<b<c)．若函数f(x)A．x0<b B．x0>b C．【答案】C【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．【详解】函数f(x)=ex+因为函数y=ex,y=所以函数f(x)在0,+∞因为0<a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，又因为f(a)f(b)f(c)>0，则f(c)>0>f(b)>f(a)或f(c)>f(b)>f(a)>0，若f(c)>0>f(b)>f(a)，由零点存在性定理x0若f(c)>f(b)>f(a)>0，而x→0，则f(x)→−∞，由零点存在性定理x综上所述，则C一定正确.故选：C.7．如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为123，则该正四棱台的高为（

A．22 B．2 C．6 【答案】A【分析】设A1B1=BB【详解】设A1B1因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形，如图1，在四边形ABB1A1中，过点A1AE=12(2a−a)=所以SABB1在平面ACC1A1中，过点A1作A则AF=1所以A1即该正四棱台的高为22故选：A.8．已知函数f(x)=x3+a2x2+2A．a2+b2=3 C．f(1)∈(−3,+∞) D．【答案】D【分析】利用极值点时导数为零可得A错误；求导后结合二次函数的对称轴可得B错误；由A结合已知可得C错误；由A结合基本不等式可得D正确；【详解】A：f′因为函数f(x)在x=1处取得极值，所以f′(1)=3+2aB：f′(x)的对称轴为x=−a23C：因为f(1)=a2+2b2−5=bD：因为a+b2≤a2+b2故选：D.二、多选题9．已知函数f(x)=sin2ωxcosφ+cos2ωxsin

A．f(x)的最小正周期为π B．φ=−C．5π12,0是函数f(x)的一个对称中心 D．f(x)在区间【答案】ACD【分析】先由图象结合五点法确定函数解析式，再由周期公式可得A正确；由解析可得B错误；由正弦函数的对称中心可得C正确；由正弦函数的单调性可得D正确；【详解】由题意得f(x)=sin(2ωx+φ)，由图象可得又0<φ<π2，所以φ=π所以f(x)=sinA：由以上解析可得ω=1，T=2B：由以上解析可得φ=πC：f(x)=sin2x+π6的对称中心的横坐标为2x+πD：当x∈0,π2⇒2x+π故选：ACD.10．已知A(−3,0)，B(3,0)，C(0,1)，动点M满足MA与MB的斜率之积为−43，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于A．M的轨迹方程为y24+B．MC的最大值为3C．PQ的最小值为3D．过点D(0,−1)的直线垂直AC交曲线Γ于E，F，则△AEF的周长为8【答案】ABD【分析】设Mx,y，根据题意列出方程即可判断A；根据椭圆得范围结合两点间得距离公式即可判断B；分直线斜率是否存在两种情况讨论，设直线PQ的方程为y=kx+1，Px1,y1,Qx2【详解】对于A：设Mx,y则kMA⋅k所以M的轨迹方程为y24+对于B：|MC|==1故|MC|∈[1,2)∪(2,3]，故当y=−2时，|MC|对于C：当直线PQ的斜率不存在时，PQ=4当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+1，Px联立y=kx+1y24+x则x1所以PQ=12当且仅当k=0取等号，综上所述，PQ的最小值为3，故C错误；对于D：在Rt△ACO中，∠ACO=60°,∠CAO=30°，则∠CAD=60°故△CAD为正三角形，则EF垂直平分AC，则EA=由题意C,D为椭圆y2则△AEF的周长为AE=EC故选：ABD.11．函数f(x)的定义域为R，f(x)在区间0,2上单调递增，且满足f(x)+f(x+4)=2f(−2)，函数y=f(x+2)为奇函数，下列结论正确的是（

）（注ln2≈0.6931A．f(2024)=0 B．f(1)+fC．f(3)>f2log2【答案】BD【分析】结合已知条件，得到函数的对称中心，对称轴，以及周期；然后由周期性和单调性可得A错误；由对称性和单调性可得B正确；由对称性和对数函数的运算可得C错误；由函数的单调性结合对数函数的运算和三角函数的单调性可得D正确；【详解】y=f(x+2)为奇函数，则y=f(x)关于点(2,0)中心对称，则f(4+x)+f(−x)=0，f(2)=0.又因为f(x)+f(x+4)=2f(−2)，令x=−2,则f(2)=f(−2)=0，则f(x)+f(x+4)=0,故f(−x)=f(x),则y=f(x)关于直线x=0轴对称.又因为f(x+4)+f(x+8)=0，f(x)+f(x+4)=0,故f(x)=f(x+8)，则y=f(x)的周期为8.对于A：则f(2024)=f(8×253)=f(0)，又因为f(x)在区间[0,2]上单调递增，则f(0)<f(2)=0,故A错误；对于B：y=f(x)关于点(2,0)中心对称，则f(1)+f(3)=0，而y=f(x)在[2,4]上也单调递增，故f72>f(3)对于C：y=f(x)在[2,4]上也单调递增，f(2log对于D：fln18=f(−而y=f(x)在[2,4]上也单调递增，则f(4sin故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知得到函数的对称轴，对称中心.三、填空题12．数列an满足an+1=2an（n为正整数），且a4【答案】1【分析】由an+1=2an可得数列【详解】数列{an}满足an+1=2因为a4与a6的等差中项是20，所以a4+a故答案为：1.13．已知1+tanθ1−tan【答案】41【分析】先由已知等式得到tanθ=−【详解】∵1+tanθ1−sin故答案为：415014．如图，算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千、万位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数有个．【答案】50【分析】利用分步乘法原理得到所有的数有C5【详解】在个､十､百､千､万位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有C5故答案为：50四、解答题15．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知c=2，a=2(1)若C=π4，求(2)若sinB+22【答案】(1)2(2)4+23+【分析】（1）利用余弦定理求出b,a，再根据三角形的面积公式即可得解；（2）先利用正弦定理化边为角，再结合sinB+22sinA=1求出sin【详解】（1）由余弦定理得c2则4=2解得b=2，则a=22则S△ABC（2）∵a=2b，由正弦定理得又sinB+解得sinB=∵a=2b，∴故B=π6A=π4或B=由正弦定理得：a若C=π12，则故△ABC的周长为4+23若C=7π12，则故△ABC的周长为23综上所述，△ABC的周长为4+23+616．已知函数f(x)=(a−2)ln(1)若a=−1，求函数f(x)的单调区间；(2)若对于任意x∈(1,+∞)，都有f(x)>a−1【答案】(1)单调增区间为(0,1)和(2,+∞)，单调减区间为(2)(2−【分析】（1）利用导数分析单调区间即可；（2）分离参数后构造函数ℎx【详解】（1）若a=−1，则f(x)=−3lnf′(x)=−3x+1+令f′(x)>0，可得0<x<1或x>2；令f′所以单调增区间为(0,1)和(2,+∞)，单调减区间为（2）因为对于任意x∈(1,+∞)，都有所以对于任意x∈(1,+∞)，都有即对于任意x∈(1,+∞)，因为lnx>0，所以对于任意x∈(1,+∞)设ℎ(x)=−xlnx，其中x∈(1,+因为x∈(1,+∞)，所以当−lnx+1≥0时，因此ℎ(x)在(1,e]上单调递增，在所以ℎ(x)所以a−2>−e，即a>2−e，故a的取值范围为17．如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点．(1)求证：EF//平面PBC(2)若AD=2，PD=2，PB=PC，求直线CD与平面EFC所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)57【分析】（1）取PC的中点M，连接FM，BM，由线面平行的判定定理即可证明；（2）先证明DE⊥DC，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取PC的中点M，连接FM，BM，在△PCD中，因为M，F分别为PC，PD的中点，所以MF//DC，MF=1在菱形ABCD中，因为AB//DC，BE=1所以BE//MF，BE=MF，所以四边形BEFM为平行四边形，因此EF//BM，又因为EF⊄平面PBC，BM⊂平面PBC，所以EF//平面PBC；（2）因为PD⊥平面ABCD，DC，  DE⊂所以PD⊥DC，PD⊥DE，因为PB=PC，所以BD=DC，在菱形ABCD中，AB=BD=AD，因为E为AB的中点，所以DE⊥DC，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，在正三角形△ADB中，DE=因为F0,0,1，E3,0,0，C所以向量EF=−3设平面EFC的法向量为n=x,y,z，则n⋅取z=23，得x=2，y=3，所以设直线CD与平面EFC所成角为θ，sinθ=所以直线CD与平面EFC所成角的正弦值为571918．为提升大学生环保意识，牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，某生物多样性保护与绿色发展基金会举办了“2024年大学生环保知识竞赛”．为了了解大学生对相关知识的掌握情况，随机抽取2000名大学生的竞赛成绩（单位：分），并以此绘制了如图的频率分布直方图．(1)从竞赛成绩在40,60内的学生中随机抽取80名学生，用P(k)表示这80名学生中恰有k名学生竞赛成绩在40,50的概率，其中k=0，1，2，…，80．以样本的频率估计概率．①从这80名学生中任取一人，求这个学生的竞赛成绩在40,50的概率；②当P(k)最大时，求k．(2)若学生中男生m人，其成绩平均数记为x，记方差为sx2，女生为n人，其成绩平均数为y，记方差为sy2，把总体样本数据的平均数记为z，方差记为【答案】(1)①14；②(2)证明见解析【分析】（1）①记事件A为抽取的任一学生的竞赛成绩在[40,50]内，记事件B为抽取的任一学生的竞赛成绩在[40,60]内，由条件概率的公式计算即可；②利用二项分布的概率公式表示出概率，再解不等式组P(k)P(k+1)（2）由方差的公式推导化简即可；【详解】（1）①记事件A为抽取的任一学生的竞赛成绩在[40,50]内，记事件B为抽取的任一学生的竞赛成绩在[40,60]内.从这80名学生中任取一人，这名学生的竞赛成绩在[40,50]内的概率为P(A|B)=②：用X表示这80名学生中抽取的学生的成绩在[40,50]的人数，经分析X服从二项分布，P(k)=P(X=k)=由P(k)P(k+1)≥1  P(k)P(k−1)解得77又因为k∈N*，所以即当k=20时，P(k)最大.（2）证明：根据方差的定义，记男生的成绩为x记女生的成绩为y1s=i=1m同理i=1sx2=i=1s19．从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，他们就好像是从另一个焦点射出的一样．双曲线的这一光学性质也被人们广范应用．如图，已知双曲线Γ：x2−y23=1，O为坐标原点，F1，F2分别为左、右焦点，A1，A2分别为左、右顶点，由其光学