湖北省天门市陆羽高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（解析版）

第1页/共1页陆羽高中2024—025学年高二下学期开学考试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）试卷内容：直线与圆､圆锥曲线､数列､函数与导数第I卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出直线的斜率并化简，进而求出倾斜角.【详解】直线的斜率，所以所求的倾斜角为.故选：A2.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，确定，根据直线方程，即可求解.【详解】因为，所以抛物线方程为，，因为抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为.故选：D3.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围.【详解】方程变形得：，该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：，故选：A.4.设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】【详解】D.由，公差，得，从而，所以，解得k=55.若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围.【详解】由题意得，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，又函数在上单调递增，得，所以，即实数的取值范围是.故选：B6.若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得.故选：D7.已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义求得（用表示），再由勾股定理求得关系得离心率．【详解】因为，设，，又，所以，由双曲线的定义得，，所以，从而，再由得，即，所以离心率为，故选：A．8.设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是（）A.的极大值为，极小值为B.的极大值为，极小值为C.的极大值为，极小值为D.的极大值为，极小值为【答案】C【解析】【分析】由图，根据的符号，判断出的符号，从而得到的单调性，找出的极值.【详解】由图象可知，当和时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.所以在，上单调递减；在上单调递增；所以的极小值为，极大值为.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列求函数的导数正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误.【详解】选项A:正确；选项B:错误；选项C：正确；选项D：，正确；故选：ACD10.已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据递推式及，求得，即可判断A；分为奇数、为偶数，求出通项公式判断B，C；利用分组求和，求出，判断D．【详解】解：因为，即，所以，，解得，故A正确；由此可得，，，，……所以当为奇数时，为偶数，为奇数，所以，，所以，所以数列是等比数列，首项为，公比为2，所以，所以，所以，故B错误；当为偶数时，为奇数，为偶数，则，，所以，所以数列是等比数列，首项为，公比为2，所以，所以，所以，故C正确；对于D，==，故D正确.故选：ACD.11.已知函数，则（）A.在处的切线为轴 B.是上的减函数C.为的极值点 D.最小值为0【答案】ACD【解析】【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义可判断A；结合函数的单调性与导数的关系，判断B;根据导数的正负与函数极值的关系，判断C,继而判断D.【详解】由题意知，故，故在处的切线的斜率为，而，故在处的切线方程为，即，所以在处的切线为轴，A正确；当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，B错误；由此可得为的极小值点，C正确；由于在上只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值，最小值为，D正确，故选：三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为_________.【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出．【详解】由等差数列的性质可得：．对于任意的都有，则．故答案为：．【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.已知函数的图象在处的切线方程为，则__________.【答案】-1【解析】【分析】根据导数的几何意义可得，从而可得的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得的值，即可求得答案.【详解】因为，所以.又的图象在处的切线方程为，所以，解得，则，所以，代入切线方程得，解得，所以,故答案为：-1.14.已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据对条件做出的解释构造函数，利用函数的单调性求解.【详解】对，且，恒有，即，所以函数是增函数，设，则在上单调递增，故恒成立，即，设，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故，即；故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和为，，.（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式；（2）由（1）计算，判断数列的单调性，令的最大值小于即可求解.【小问1详解】由得，又，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，∴，即∴当时，，又不满足上式，所以.【小问2详解】由（1）知，∴∴当时，；当时，，即所以的最大值为，依题意，即，解得或.所以实数的取值范围是：16.已知函数且在处取得极值.（1）求a，b的值；（2）求函数在的最大值与最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用来求得的值.（2）结合（1）求得在区间上的最值，由此确定正确结论.【小问1详解】，依题意，解得.，所以在区间上递增；在区间上递减.所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意.小问2详解】，，由（1）知，在区间上的最大值为，最小值为.17.已知是等差数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设的首项为，公差为d，根据条件建立方程组，解出，即可求解；（2）由（1）可得，利用错位相减法，即可求解.【小问1详解】设的首项为，公差为d，由题可得，解得，，所以.【小问2详解】由（1）知，，则，于是，两式相减得，所以18.如图，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，，圆方程为．（1）求椭圆及圆标准方程；（2）过原点作直线与圆交于、两点，若，求直线的方程．【答案】（1）椭圆方程为．圆的方程为．（2）或．【解析】【分析】（1）利用椭圆方程，表示出点的坐标，利用共线向量的坐标表示，可得答案；（2）利用分类讨论，分直线斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，与圆的方程联立，写出韦达定理，根据向量数量积的坐标表示，建立方程，可得答案.【小问1详解】由题意，，，，将代入，可得，解得，则，，，由，可得，即，故，由．代入解得，，，则椭圆方程为，圆的方程为．【小问2详解】①当直线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，不符合题意；②如图，当直线的斜率存在时，设直线方程为，由，可得，依题意，需使，即，设，，则，，，，而圆心的坐标为，则，，所以，即，代入得：，解得或，故得直线的方程为或．19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当，证明：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论与时单调性即可.（2）求出，将所证转化为，进而转