湖北省鄂东新领先协作体2025届高三下学期2月联考数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖北省鄂东新领先协作体2025届高三下学期2月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x1<x<6，A∪B=xx<6，则A．xx<0 B．xx<1 C．xx<3【答案】C【分析】利用集合的并集运算，对四个选项逐一检验即可得解.【详解】由A=x|1<x<6当B=x|x<0时，A∪B=x|1<x<6∪当B=x|x<1时，A∪B=x|1<x<6∪当B=x|x<3时，A∪B=当B=x|x<7时，A∪B=故选：C.2．若双曲线x22m−y2A．5 B．3 C．−2 D．−1【答案】D【分析】根据双曲线焦点的不同位置分类，列出不等式组，解之即得.【详解】若双曲线x22m−依题意可得2m>0m−6>02m+m−6=9，解得若双曲线x22m−依题意可得2m<0m−6<0−2m+(6−m)=9，解得综上可得：m=−1.故选：D.3．不等式2cosx+2A．3π4+kC．3π4+2k【答案】C【分析】应用余弦函数的性质计算即可.【详解】由不等式2cosx+2由余弦函数的性质得3π故选：C.4．小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（

）A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21【答案】A【分析】利用全概率公式计算即可得到结果.【详解】由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为P=0.5×0.6+0.3×0.4+0.2×0.3=0.48，故选：A.5．已知函数fx的部分图象如图所示、则fx的解析式可能为（A．fx=2xsinxx2+1 【答案】C【分析】利用奇偶性和取自变量接近于0的函数值来判断正负即可得到选项.【详解】由奇偶性判断可知：fx=2xsinxx2而函数图象是关于y轴对称，必然是偶函数，所以BD错误；再当x=0.01时，可知f0.01所以C正确，故选：C.6．“x>0.53.1”是“x>cosA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用二倍角公式可求值cosπ9cos【详解】因为cos=2所以x>cos又由0.53.1=1所以“x>0.53.1”是“故选：B.7．甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是（

）A．甲：中位数为9，众数为11 B．乙：中位数为9，极差为3C．丙：平均数为8，极差为4 D．丁：平均数为8，方差为3【答案】B【分析】通过理解中位数，众数，极差，平均数，方差的概念及相关知识，再对5个数据进行举例假设分析，即可得到判断.【详解】对于A，中位数为9，众数为11，说明11至少有两个数，不妨取两个11，则由中位数可知另外两个数肯定不超过9，故A能判断这组数据都小于12，所以不能选A；对于B，中位数为9，极差为3，由于极差是5个数中最大与最小的差，由于该组数据由5个整数组成，所以不妨取4个9，1个12，这样不能判断该组数据一定小于12，故选B；对于C，平均数为8，极差为4，由于5个数都是整数，根据条件可知，这5个数中肯定最大数与最小数的差为4，则可知最大数肯定大于8，最小数肯定小于8，故最小数加4得最大数肯定小于12，从而能判断这组数据一定都小于12，故不能选C；对于D，平均数为8，方差为3，由方差公式可得s2若存在数12，则s=1故选：B.8．若正六棱锥P−ABCDEF的体积为83，则PA的最小值为（

A．23 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】先设底面边长及高，计算底面面积，进而得到该六棱锥的体积公式，再得出PA=a【详解】

设正六棱锥的底面边长与高分别为a,ℎa>0,ℎ>0底面ABCDEF为正六边形，设底面ABCDEF的中心为O，连接PO,AO，则AO=a，SO⊥底面ABCDEF，SO为正六棱锥P−ABCDEF的高，所以SABCDEF因为正六棱锥的体积为83，所以83=则PA=a因为16ℎ当且仅当8ℎ=ℎ则PA的最小值为12=2故选：A.二、多选题9．已知a，b∈R，z1=a+2bi，A．若z1=zB．若z1=zC．若z1=3b≠0D．若z1=3【答案】BC【分析】根据复数相等建立方程组求得参数值，再利用乘法运算以及复数的相关概念，可得AB的正误；根据模长公式可得参数的等量关系，利用二次函数的性质以及对数的运算，可得CD的正误.【详解】对于AB，由z1=z2，则a+2bi所以z1对于CD，由z1=3b≠0，则所以z2且log25故选：BC.10．已知定义域为0,+∞的函数fx满足fx+fyA．f1=1 B．f8=11 C．f【答案】ABD【分析】利用赋值可求出特殊值，从而判断AB选项，利用举特例函数，来检验CD选项即可.【详解】因为fx+fy所以令x=y=1，可得f1再令x=y=2，可得f2+f2所以f4又令x=4,y=2，可得f4+f2不妨取fx=x+lgfxy此时满足原恒等式，但是当x=0.1时，f0.1但由于此时fx=x+lg故选：ABD.11．已知A，B，C是抛物线W:y2=28x上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为PA．当m=9时，AB的最大值为32B．当m=8时，CP+C．当n=5时，直线AB的斜率为14D．当AF//AB时，点P到直线【答案】ACD【分析】对于A，设直线AB的方程为x=ty+s，与抛物线方程联立得韦达定理，由m=9推得14t2+s=9，由弦长公式计算AB，利用二次函数的性质即可求得其最大值；对于B，利用抛物线的定义转化CP+CF，利用三点共线时线段和最小原则得到最小值为|PH|长，借助于梯形中位线定理即得；对于C，由A项结论可得y1+y2=28t=10，求出t值，即得直线AB的斜率；对于D，由【详解】对于A，如图设直线AB的方程为x=ty+s，代入y2=28x可得：由Δ=(−28t)2设A(x1,因AB的中点为P9,n，则x1+(y1+y2于是|AB|==1+故当t2=1对于B，如图，分别过点P,A,B作准线的垂线PH,AA1,B设PH交抛物线于点C，因|CF|=|CH|，故CP+由图知当且仅当P,C,H三点共线时CP+|CH|取得最小值为|PH|因AB的中点为P8,n，则PH为梯形AA1故此时|PH|=12(|A对于C，由A项得到y1+y2=28t解得t=514，故直线AB的斜率为对于D，由AF//AB可得直线AB经过点F，可设直线AB的方程为代入y2=28x可得：y2−28ty−196=0，设仿照B项作图，则点P到直线l的距离为：|PH|==12(故当t=0时，点P到直线l的距离的最小值为14，即D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：解决圆锥曲线的相关问题，一般应从曲线定义，设直线方程与之联立得韦达定理，以及弦长公式或弦中点有关的点差法等入手探求，对于线段有关的最值问题，可考虑结合图象转化，利用三点共线时线段和最小，以及将其转化为函数，利用其单调性求其最值.三、填空题12．在△ABC中，AB+AC=8，AB,AC=π3，【答案】19【分析】利用三角形的正弦定理角化边和余弦定理边求角，即可求解.【详解】由三角形正弦定理可得：5sin再由AB+AC=8⇒c+b=8，联立上两式可解得：b=3,c=5，再由余弦定理得：a2所以BC=19故答案为：19.13．在正方体ABCD−A1B1C1D1的底面【答案】24【分析】利用两圆相外切，就可求得圆心距为4，从而可得正方体的边长，对角线长，及外接球直径，再利用球的表面积公式即可.【详解】

由题意可知：AC=1+3=4，即正方体边长为22，正方体的体对角线为2而正方体外接球的直径为体对角线，即正方体外接球半径为6，所以外接球的表面积为4π故答案为：24π14．函数fx=x2−6x+8x【答案】−165±【分析】利用因式分解，然后发现规律，重新结合因式展开，再展开可得二次型函数求最值即可.【详解】由f==所以可知当x2−10x+20=0，即x=5±5时，函数f故答案为：①−16；②5±5四、解答题15．某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队.(1)若小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率；(2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】(1)3(2)分布列见解析，E【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案；（2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列，根据期望的计算公式，可得答案.【详解】（1）由题意可得从10人中选出6人组成一队，总的情况数为C10选中小张之后，医疗救援剩下的5人从总人数剩下的9人中选出，情况数为C9所以小张被选人医疗救援队的概率P=C（2）X的可能取值为1,2,3,4,5，则PX=1=C51PX=4=C所以X的分布列如下表：X12345P151051所以数学期望EX16．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=4，M是PD的中点.(1)证明：PB//平面AMC(2)证明：PD⊥平面ABM.(3)求平面BCM与平面ABM的夹角.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)π【分析】（1）证得OM//PB，结合线面平行的判定定理即可证出结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABM的法向量，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果；（3）求出平面BCM的法向量，利用二面角的夹角坐标公式即可求出结果；【详解】（1）连接BD交AC于O，连接OM，因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又因为M为PD的中点，所以OM//PB，且OM⊂平面AMC，PB不在平面AMC内，所以PB//平面AMC；（2）因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直，故以A为坐标原点，以AB,AD,AP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，又因为AP=4，AD=4，AB=2，所以A0,0,0设平面ABM的法向量为n=x,y,z，且则AB⋅n=0AM⋅n=0因为PD=0,4,−4，所以PD=4n，所以PD//（3）设平面BCM的法向量为m=x1则BC⋅m=0BM⋅m=0设平面BCM与平面ABM的夹角为θ，则cosθ=m⋅nmn=17．已知数列1an−2n(1)求an(2)试问an(3)求数列nan的前n项和【答案】(1)a(2)5(3)n−1【分析】（1）应用等差数列求出公差，再结合通项公式计算即可；（2）根据通项公式特征计算求解；（3）应用分组求和结合错位相减计算求解.【详解】（1）数列1an−2n所以1a1−21所以d=1所以1a所以an所以an（2）因为an当an为整数时，则16n为整数，所以n=1,2,4,8,16，所以（3）因为an=2数列nan的前n项和设S=1×2于是2S=1×2两式相减得−S=2+2所以S=(n−1)×2所以S18．已知椭圆C:x2a2+(1)求C的方程.(2)过点E5,0作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点F1,0作直线ST的平行线与椭圆C交于G，①证明：ESET②求△EGH面积的取值范围.【答案】(1)x2(2)①证明见解析；②0,24【分析】（1）利用椭圆参数a,b,c的关系即可求解椭圆方程；（2）①利用设的直线x=my+5与椭圆联立方程组，利用纵坐标与斜率关系计算线段长度ES=y1⋅1+m2②利用弦长公式和面积公式可计算出S△EGH=125【详解】（1）由已知得2b=25因为e=ca=可解得a=3,c=2，所以椭圆C方程为：x2（2）①设斜率不为0的直线ET的方程为x=my+5，联立直线ET和椭圆方程可得x=my+5x29由于椭圆C与直线ET交于两点Sx1,因此Δ=50m2−4×80×5根据韦达定理可得y1y2又因为ES=y1因此ES⋅令GH的方程为x=my+1，椭圆C与直线ET交于两点Gx联立直线GH和椭圆方程x=my+1x29同理：y3+yFG⋅因此ES⋅②由于S△EGH=S因此S△EGH化简可得S△EGH=1255m2+8因此5m又由于当m2→+∞时，t+因此0<125所以△EGH面积的取值范围为0,2419．定义：x1，x2是函数fx的两个极值点，若x1+(1)若fx=x3+m(2)已知函数fx①求a的取值范围；②证明：fx为“M【答案】(1)m>3(2)①a>1；②证明见解析【分析】（1）由函数解析式求导，根据极值点的定