《热学（第二版）》杨体强编-李椿 第4章 气体内的输运过程学习资料

第四章

气体内的输运过程1前两章所讨论的都是气体在平衡态下的性质，实际上许多问题都牵涉到气体在非平衡态下的变化过程。黏性过程（现象）热传导过程（现象）扩散过程（现象）输运过程（现象）例如，当气体各处密度不均匀时发生的扩散过程，温度不均匀时发生的热传导过程，以及各层流速不同时发生的黏性现象就是典型的由非平衡态趋向平衡态的变化过程。这三种过程统称为输运过程。2一．分子的平均自由程和碰撞频率§4.1气体分子的平均自由程在室温下，气体分子平均以几百米每秒的速率运动着。实际情况并不如此，气体的混合(扩散过程)进行得相当慢，气体的温度趋于均匀(热传导过程)也需要一定的时间。为什么会出现这种矛盾呢？这是由于分子在由一处移至另一处的过程中，将不断地与其他分子碰撞，结果只能沿着迂迥的折线前进。分子碰撞3初步理论，视分子为钢球，两个分子之间最小距离的平均值视为分子的直径，叫做分子的有效直径。一个分子在两次连续碰撞间自由运动的平均路程——平均自由程。单位时间内一个分子与其他分子碰撞的平均次数——平均碰撞频率。平均碰撞频率和平均自由程的计算4如果用表示分子的平均速率，则在任意一段时间内，分子所通过的路程为，而分子的碰撞次数也就是整个路程被折成的段数为，因此根据定义，平均自由程为平均自由程和碰撞频率的大小是由气体的性质和状态决定的平均自由程平均碰撞频率对于化学纯气体，分子A与其他分子发生碰撞时,可假定其他分子不动，而分子A以平均相对速率运动。

假定分子的有效直径为d，当两分子的中心距离小于或等于d时将发生碰撞。

5为了确定在一段时间内有多少个分子与A相碰，可设想以A的中心运动轨迹为轴线，以分子的有效直径d为半径作一个曲折的圆柱体。这样，凡是中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰。称为分子碰撞截面。

圆柱体的截面积在时间内，A所经过的路程为

，相应的圆柱体的体积，如果以n表示气体单位体积内的分子数,则在此圆柱体内的总分子数，亦即A与其他分子的碰撞次数为，因比碰撞频率为碰撞实验6平均相对速率和平均速率的关系为代入上式，平均碰撞频率为说明平均自由程与分子有效直径d的平方及单位体积内的分子数n

成反比，而与平均速率无关。平均自由程证明这说明，当温度恒定时，平均自由程与压强成反比。7[例题]

计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率，取分子的有效直径d=3.5×10–10m。已知空气的平均相对分子质量为29。[解]

已知T=273K，p=1.0atm

1.01×105N/m2，d=3.5×10–10m，k=1.38×10–23J/K，代入即得在标准状态下，空气分子的平均自由程约为其有效直径d的200倍。8空气分子的碰撞频率为平均地讲，每个分子每秒与其他分子碰撞65亿次。已知空气的平均摩尔质量为29×10-3kg/mol，代入

可求出空气分子在标准状态下的平均速率为9二、分子按自由程的分布xyz0xx+dx0tt+dtN0

NN+dN分子在任意两次连续碰撞之间所通过的自由程有长有短。有的比平均自由程长，有的比平均自由程短。设想在某一时刻，考虑一组分子，共N0个。它们在以后的运动中将与组外的其他分子相碰，每发生一次碰撞，这组的分子就减少一个。在全部分子中，自由程介于任一给定长度区间内的分子有多少？研究分于按自由程的分布。设这组分子通过路程x时，还剩N个分子。在下段路程dx上又减少了dN个。10因此，分子数的减少量为分子在单位长度的路程上，每个分子平均碰撞次；在长度为dx的路程上，每个分子平均碰撞次；N个分子在dx长的路径上平均应碰撞次；或积分上式得xyz0xx+dx0tt+dtN0

NN+dN11C为积分常数。或分子按自由程分布规律气体分子行进到x处未被碰撞的分子数占总分子数的比率——概率12[例题]

在N0个分子中，自由程大于和小于平均自由程的分子各有多少？[解]N表示在N0个分子中，自由程大于平均自由程的分子，所以在N0个分子中，自由程小于平均自由程的分子为13一、黏性现象的宏观规律§4.2输运过程的宏观规律当气体各层的流速不同时，则通过任一平行于流速的截面，相邻两部分气体将平行于截面互施作用力；力的作用使流动慢的气层加速，使流动快的气层减速。A部将施于B部一平行于y轴负方向的力，B部施于A部一大小相同方向相反的力。14实验结果表明，如以F表示A、B两部分相互作用的黏性力的大小，以dS所取面积，表示截面所在处的速度梯度，则它与气体的性质和状态有关。式中的比例系数叫做气体的黏度。速度单位空间变化量牛顿黏性定律15黏性力的作用使B部的流动动量减小，使A部的流动动量加大，负号表示动量是沿着流速减小的方向输运的。0uu=0=uOu0zz0uu=0=uOu0z-F-F0uu=0uu=0=u0=uOu=u(z)如以dk表示在一段时间dt内通过截面积dS沿z轴正方向输运的动量。根据动量定理dk=Fdt16当气体内各处的温度不均匀时，就会有热量从温度较高处传递到温度较低处，这种现象称为热传导现象。

二热传导现象的宏观规律设温度沿z轴正方向逐渐升高。表示截面dS所在处的温度梯度在z＝z0处垂直于z轴取一截面dS将气体分成A、B两部分，热量将通过dS由B部传递到A部。温度单位空间变化量dSOTdQT=T2T=T10zOTzT=T2T=T10z0z17式中的比例系数叫气体的导热系数。傅里叶定律导热系数的大小表征了导热过程的快慢。导热系数与流体性质及状态有关。负号“－”表示热量转移沿温度小的方向进行。则热传导的基本规律为dQ表示在dt时间内，通过dS面沿z轴正方向传递的热量，dSOTdQT=T2T=T10zOTzT=T2T=T10z0z18讨论纯扩散。

混合气体中，某种气体的密度不均匀时，气体从密度高的地方迁移到数密度低的地方的现象称为扩散。两种分子组成的混合气体，在保持温度和总压强处处均匀的情况下，发生单纯的扩散过程。设气体密度沿z轴正方向逐渐加大。在z＝z0处垂直于z轴取一截面dS将气体分成A、B两部分。截面dS所在处的质量密度梯度单位空间分子质量变化量Oz0zOdm0z0zdSAB三、扩散现象的宏观规律扩散实验19气体通过dS由B部扩散到A部。在dt时间内，穿过dS的气体质量为D为扩散系数单位是m2∙s-1扩散系数的大小表征了扩散过程的快慢。扩散系数与流体性质及状态有关。负号“－”表示质量迁移沿密度小的方向进行。斐克定律Oz0zOdm0z0zdSAB20§4.3输运过程的微观解释对气体中的输运现象作微观解释的两个出发点（1）气体必须足够稀薄，即满足条件是气体分子的平均自由程，而d是分子的有效直径。气体中主要发生的是两个分子间的碰撞，发生三个分子间碰撞的机会小得可以忽略。基于两体碰撞得到的计算分子平均自由程的公式有效。另一方面，气体又不能太稀薄，要求在处于非平衡态气体中的任意一个小体积元满足宏观小，微观大的条件，即从宏观看它很小，它满足L是被讨论的气体的容器的特征线度21从微观看它却很大,它满足，使得在中仍包含有大量的气体分子，统计规律性仍起作用。所以，要求气体满足条件：(2)所讨论的输运过程都是较简单的近平衡非平衡过程，即局域平衡的假设。但对于满足条件的气体，在宏观小微观大的体积元中，仍然包含大量的气体分子，这些气体分子之间发生频繁的碰撞，故在确定的时间尺度上，虽然整个气体还未达到平衡态，但可认为中的气体已接近平衡态，故仍可用确定的状态参量温度T，分子数密度n和宏观运动速度来描述它中的气体的状态；22在局域平衡假设基础上得到的结果表明，只要宏观量温度、速度、分子数密度在空间变化率（梯度）不太大，此假设即能成立，并导致符合实验的结论。

宏观量温度、速度、分子数密度在空间变化率不太大的标准是（包科达，中国科学，1979（4）：422-426）对于整个处于非平衡态的气体可用在空间和时间里都变化的状态参量和来描述和确定它的状态。23

黏性现象——速度分布不均匀引起的动量传递，形成动量，即作用力。决定输运过程两个基本因数是：分子热运动与分子的碰撞！

热传导现象——温度分布不均匀引起的热量传递，形成热流。扩散现象——密度分布不均匀引起的质量传递，形成质量流。输运现象就是因某个宏观参量分布不均匀引起相应物理量迁移．形成某种“流”。24一、黏性现象的微观解释从分子动理论的观点看，当气体流动时，每个分子除了具有热运动动量外，还附加有定向运动动量。用m表示分子的质量，u表示气体的流速，则每个分子的定向运动动量为mu。设气体的流速u沿z

轴的正方向增大截面dS以下A部分子的定向动量小，截面以上B部分子的定向动量大。

6n6ndSB

A

25由于热运动，A、B两部分的分子不断地交换，A部分子带着较小的定向动量转移到B部，B部分子带着较大的定向动量转移到A部。结果A部总的流动动量增加，B部的减小。其效果在宏观上就相当于A、B两部分互施黏性力，因此黏性现象是由于气体内定向动量输运的结果。由于气体各部分具有相同的温度和分子数密度,所以,在这段时间内有同样多的分子由B部移到A部。即A、B两部分交换的分子数相同。

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A

以dS为底、为高作一柱体，在dt时间内穿过dS的分子尽在此柱体内，其数目为26用dk表示交换一对分子沿z铀正方向输运的动量，则dk＝(A部分子的定向动量)-(B部分子的定向动量)在输运过程的简单理论中，解决分子带多大定向动量的问题依靠一个基本的简化假设：分子受一次碰撞就被完全“同化”。即当任一分子在运动过程中与某一气层中的其他分子发生碰撞时，它就舍弃掉原来的定向动量，而获得受碰处的定向动量。根据这个假没，可以认为A、B两部分所交换的分子都具有通过dS面前最后一次受碰处的定向动量。各个分子通过dS面前最后一次受碰的位置是不相同的，但就大量分子的平均效果来讲，可认为分子最后一次受碰处与dS面的距离为平均自由程，因此27因为平均自由程很小所以时间dt内通过dS面沿z轴正方向输运的总动量28将上式与牛顿黏性定律比较得黏度这是从分子动理论导出的结果，由此看出：29二、热传导现象的微观解释从分子动理论的观点看，A部的温度低，分子的平均热运动能量小；B部的温度高，分子的平均热运动能量大。由于分子热运动，A、B两部分不断交换分子，结果使一部分热运动能量从B部输运到A部，形成宏观上热量的传递。在温度差不很大的情况下，可近似地认为时间dt内通过dS面，A、B两部分交换的分子对数为

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A

30根据能量均分定理，A部分子的平均热运动能量B部分子的平均热运动能量每交换一对分子，沿z轴正方向输运的能量为时间dt内通过dS面沿z轴正方向输运的总能量，即传导的热量为31用温度梯度来表示温度差，则有因此将上式与傅里叶定律比较得导热系数因气体定容热容为比定容热容为所以32三、扩散现象的微观解释从分子动理论的观点看，A部的密度小，B部的密度大。由于分子热运动，由A部转移到B部的分子少，而由B部转移到A部的分子多，形成宏观上质量的输运。时间dt内通过dS面，由A转移到B部的分子数为时间dt内通过dS面，由B转移到A部的分子数为

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A

33时间dt内通过dS面沿z轴正方向输运的气体质量为将上式与斐克定律比较得扩散系数34四、理论结果与实验的比较选压强P和温度T为独立变量，因代入35得扩散系数D与p或n成反比。结论最初由麦克斯韦从理论上推出。麦克斯韦、迈耶等曾在几个mmHg到几个atm的压强范围内做实验，证实了这个推论，对气体分子动理论的建立起了重要作用。从以上三式可以看出，在一定的温度下，黏度和导热系数与压强p或单位体积内的分子数n无关；36和与压强无关的结论可以这样理解：当p

降低时，n减少。通过dS面两边交换的分子对数减少，但同时，分子的平均自由程加大，两边的分子能够从相距更远的气层无碰撞地通过dS面。这两种相反的作用，结果和都与p无关。在一定的温度下，D

与p成反比的推论也同样可由分子热运动和分子间碰撞所起的作用予以解释。得37在一定的压强下，和都随温度升高而增加。实验结果得38三个系数之间的关系

实验结果是

理论与实验差异原因：

理论中把分子看成刚球，认为它们的碰撞截面不随T改变。这是与实际不尽相符的。未考虑分子按速率的分布，认为所有的分子都以平均速率运动，具有相同的自由程，认为分子受到一次碰撞就被完全“同化”等，所有这些都是与实际情况有出入的。39[例题]

试估算在150C时氮气的黏性系数，氮分子的有效直径d=3.8×10-10m，已知氮的相对分子量为28。[解]根据所以氮的质量为将代入上式，得实验测得在150C

时氮气的黏性系数为理论值与实验值的数量级相同。对于导热系数和扩