数学分析竞赛试题及答案

数学分析竞赛试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[20]分）

1.函数\(f(x)=x^2-4x+3\)在\(x=2\)处的导数是：

A.0

B.2

C.1

D.-2

2.下列极限中，存在且等于0的是：

A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)

B.\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)

C.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)

D.\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{x}\)

3.若\(f(x)\)在\(x=a\)处连续，则\(f(x)\)在\(x=a\)处：

A.必定可导

B.必定有极限

C.必定可导且有极限

D.无以上关系

4.函数\(f(x)=\sqrt{x}\)的定义域是：

A.\([0,+\infty)\)

B.\((0,+\infty)\)

C.\((-\infty,0)\)

D.\((-\infty,+\infty)\)

5.设\(f(x)\)在\(x=a\)处可导，且\(f'(a)\neq0\)，则\(f(x)\)在\(x=a\)处：

A.必定单调

B.必定有极值

C.必定有极值且为极大值

D.必定有极值且为极小值

二、填空题（每题[5]分，共[25]分）

1.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_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四、解答题（每题[10]分，共[30]分）

1.设函数\(f(x)=\frac{x^3-3x+2}{x^2-1}\)，求\(f'(x)\)并求\(f'(1)\)。

2.求函数\(f(x)=e^x\sinx\)的二阶导数\(f''(x)\)。

3.设\(f(x)=\ln(x+1)\)，求\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)。

五、证明题（每题[15]分，共[45]分）

1.证明：若\(f(x)\)在\(x=a\)处连续，且\(f'(a)\)存在，则\(f(x)\)在\(x=a\)处可导。

2.证明：若\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，且\(f(a)<f(b)\)，则存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

3.证明：若\(f(x)\)在\(x=a\)处可导，且\(f'(a)=0\)，则\(f(x)\)在\(x=a\)处的切线方程为\(y=f(a)\)。

六、综合题（每题[20]分，共[60]分）

1.设函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+1\)，求\(f(x)\)的单调区间、极值点和拐点。

2.设函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)，求\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)并分析\(f(x)\)的单调性和极值情况。

3.设函数\(f(x)=\sqrt[3]{x}\)，求\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)并利用洛必达法则求\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)。

试卷答案如下：

一、选择题

1.答案：A

解析思路：利用导数的定义，\(f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x^2-4x+3)-(4-8+3)}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{x^2-4x+3-4+8-3}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{x^2-4x+6}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3=2-3=-1\)。因此，\(f'(2)=0\)。

2.答案：C

解析思路：根据洛必达法则，\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)的分子分母同时求导，得到\(\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=\frac{1}{1+0}=1\)。其他选项不满足洛必达法则的条件，因此答案为C。

3.答案：C

解析思路：连续性是可导性的必要不充分条件，即若\(f(x)\)在\(x=a\)处连续，则\(f(x)\)在\(x=a\)处可导，但反之不一定成立。

4.答案：A

解析思路：由于\(\sqrt{x}\)在\(x<0\)时无意义，故其定义域为\([0,+\infty)\)。

5.答案：B

解析思路：由\(f'(a)\neq0\)，说明\(f(x)\)在\(x=a\)处的导数不为零，因此\(f(x)\)在\(x=a\)处必有极值，但不一定是极大值或极小值。

二、填空题

1.答案：3

解析思路：利用三角函数的极限性质，\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\times\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\times1=3\)。

2.答案：1

解析思路：由洛必达法则，\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=\frac{1}{1+0}=1\)。

3.答案：0

解析思路：由于\(e^x\)在\(x=0\)处连续，且\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{e^x-1}{x}}{1}=\frac{1}{1}=1\)，因此\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{x}=0\)。

三、解答题

1.解析思路：首先对\(f(x)\)求导，然后代入\(x=1\)得到\(f'(1)\)。

解答：\(f'(x)=\frac{(x^3-3x^2+4x+1)'(x^2-1)-(x^3-3x^2+4x+1)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}\)

\(=\frac{(3x^2-6x+4)(x^2-1)-(x^3-3x^2+4x+1)(2x)}{(x^2-1)^2}\)

\(=\frac{3x^4-3x^2-6x^3+6x+4x^2-4-2x^4+6x^3-8x-2x}{(x^2-1)^2}\)

\(=\frac{x^4-3x^2+2x-6}{(x^2-1)^2}\)

代入\(x=1\)，得\(f'(1)=\frac{1-3+2-6}{(1-1)^2}=\frac{-6}{0}\)，由于分母为0，导数不存在。

2.解析思路：对\(f(x)=e^x\sinx\)分别求\(e^x\)和\(\sinx\)的导数，然后利用乘积法则求\(f'(x)\)。

解答：\(f'(x)=(e^x\sinx)'=e^x(\sinx)'+(\sinx)e^x=e^x\cosx+e^x\sinx=e^x(\cosx+\sinx)\)

3.解析思路：利用\(f(x)\)的连续性和导数的定义求极限。

解答：\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}\)

利用洛必达法则，得到\(\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=\frac{1}{1+0}=1\)。

四、证明题

1.解析思路：利用导数的定义和连续性证明。

证明：由于\(f(x)\)在\(x=a\)处连续，所以\(\lim_{x\toa}f(x)=f(a)\)。由导数的定义，\(f'(a)=\lim_{x\toa}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)。因为\(\lim_{x\toa}f(x)=f(a)\)，所以\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\toa}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\lim_{x\toa}\frac{f(a)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\toa}