高等代数考试题型及答案

高等代数考试题型及答案姓名：____________________

一、填空题（每题2分，共20分）

1.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶可逆矩阵，则$\det(\boldsymbol{A}^{-1})=\underline{\hspace{1cm}}$。

2.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，若$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，则$\boldsymbol{A}$的特征值为$\underline{\hspace{1cm}}$。

3.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的转置矩阵，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\underline{\hspace{1cm}}$矩阵。

4.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶实对称矩阵，则$\boldsymbol{A}$可相似对角化的充分必要条件是$\underline{\hspace{1cm}}$。

5.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\boldsymbol{A}$的伴随矩阵，则$\boldsymbol{A}$的秩为$\underline{\hspace{1cm}}$。

6.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\boldsymbol{A}$的伴随矩阵，则$\boldsymbol{A}$的行列式为$\underline{\hspace{1cm}}$。

7.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\boldsymbol{A}$的伴随矩阵，则$\boldsymbol{A}$的逆矩阵为$\underline{\hspace{1cm}}$。

8.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\boldsymbol{A}$的伴随矩阵，则$\boldsymbol{A}$的特征值为$\underline{\hspace{1cm}}$。

9.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\boldsymbol{A}$的伴随矩阵，则$\boldsymbol{A}$的逆矩阵为$\underline{\hspace{1cm}}$。

10.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是$\boldsymbol{A}$的伴随矩阵，则$\boldsymbol{A}$的特征值为$\underline{\hspace{1cm}}$。

二、选择题（每题3分，共30分）

1.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，则$\boldsymbol{A}$的秩为（）。

A.$0$；B.$1$；C.$n$；D.$n-1$。

2.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的转置矩阵，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩阵。

A.矩阵；B.矩阵；C.矩阵；D.矩阵。

3.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的转置矩阵，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩阵。

A.矩阵；B.矩阵；C.矩阵；D.矩阵。

4.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的转置矩阵，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩阵。

A.矩阵；B.矩阵；C.矩阵；D.矩阵。

5.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的转置矩阵，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩阵。

A.矩阵；B.矩阵；C.矩阵；D.矩阵。

6.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的转置矩阵，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩阵。

A.矩阵；B.矩阵；C.矩阵；D.矩阵。

7.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的转置矩阵，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩阵。

A.矩阵；B.矩阵；C.矩阵；D.矩阵。

8.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的转置矩阵，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩阵。

A.矩阵；B.矩阵；C.矩阵；D.矩阵。

9.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的转置矩阵，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩阵。

A.矩阵；B.矩阵；C.矩阵；D.矩阵。

10.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$是$\boldsymbol{A}$的转置矩阵，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$是（）矩阵。

A.矩阵；B.矩阵；C.矩阵；D.矩阵。

三、计算题（每题10分，共50分）

1.设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{-1}$。

2.设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^2$。

3.设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$。

4.设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$。

5.设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{-1}$。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，则$\boldsymbol{A}$的特征值为$0$。

2.证明：若$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$\lambda$，则$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$的特征值为$\lambda$。

五、应用题（每题10分，共20分）

1.设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量。

2.设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量，并判断$\boldsymbol{A}$是否可对角化。

六、综合题（每题15分，共30分）

1.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，证明$\boldsymbol{A}$的秩为$0$。

2.设$\boldsymbol{A}$是$n$阶矩阵，$\boldsymbol{A}$的特征值为$\lambda$，求$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$的特征值。

试卷答案如下：

一、填空题答案

1.$\det(\boldsymbol{A}^{-1})=\frac{1}{\det(\boldsymbol{A})}$

2.$\underline{0}$

3.等价

4.$\boldsymbol{A}$的特征值不全为$0$

5.$n$

6.$\det(\boldsymbol{A})$

7.$\frac{1}{\det(\boldsymbol{A})}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

8.$\underline{0}$

9.$\frac{1}{\det(\boldsymbol{A})}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

10.$\underline{0}$

二、选择题答案

1.C

2.B

3.C

4.A

5.D

6.B

7.C

8.A

9.D

10.C

三、计算题答案

1.$\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\3&-2\end{bmatrix}$

2.$\boldsymbol{A}^2=\begin{bmatrix}7&6\\9&10\end{bmatrix}$

3.$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}$

4.$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}10&14\\14&20\end{bmatrix}$

5.$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2&1\\3&-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5&5\\-10&10\end{bmatrix}$

四、证明题答案

1.解析思路：利用特征值和特征向量的定义，结合$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，得出$\boldsymbol{A}$的特征值为$0$。

2.解析思路：利用特征值和特征向量的定义，以及$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$的特征向量为$\boldsymbol{A}$的特征向量的转置，得出$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$的特征值为$\lambda$。

五、应用题答案

1.解析思路：求出$\boldsymbol{A}$的特征值，然后求解对应的特征向量，判断特征值对应的特征向量是否线性无关，从而判断矩阵是否可对角化。

2.解析思路：求出$\boldsymbol{A}$