2.7导数的应用（原卷版）

2.7导数的应用考点01：面积体积最大值1．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.（1）求函数的解析式；（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.2．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为(单位：万元)，成本函数为(单位：万元)．(1)求利润函数；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？考点02：利润最大值3．某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高）（1）求容器中防蚊液的体积关于的函数关系式；（2）如何设计与的长度，使得最大？4．某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，．（参考数据：）

(1)求函数的解析式；(2)在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由．考点03：成本最小问题5．某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式．(2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：）6．由于多种因素影响，某地猪肉价格节节攀升，该地方政府为落实“迅速采取有力措施稳定生猪生产，确保猪肉供应和市场基本稳定”这一重要指示，决定对宰杀生猪的定点厂家提供政府补贴，平衡猪肉的市场价格.设猪肉的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克，根据市场调查，当时，猪肉市场日供应量万千克近似地满足关系：，日需求量万千克近似地满足关系：已知猪肉市场价格为26元/千克时，日需求量为13.2万千克，定义猪肉市场日供应量与日需求量相等时的市场价格为猪肉市场的平衡价格.（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出该函数的值域；（2）为使市场的平衡价格不高于28元/千克，政府补贴应至少为每千克多少元？考点04：用料最省问题7．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数．(1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围；(2)随着x的变化，y的变化有何规律？(3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？8．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数．(1)写出关于的函数解析式，确定的取值范围．(2)堆料场的长、宽之比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？1．某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（

）A． B． C． D．其他2．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.已知销售额函数是（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（

）A．6万斤 B．8万斤 C．3万斤 D．5万斤3．已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为，，底面半径为．若，则该几何体的体积最大时，以为半径的球的体积为（

）A． B． C． D．4．某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20的大⊙O上，点M，N在半径为10的小⊙O上，点O，P在弦MN的同侧.设，当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（

）A． B． C． D．05．进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（

）A．80 B．90 C．100 D．1106．生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似地符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．现有如下结论：①该生物种群的数量不超过40000只；②该生物种群数量的增长速度逐年减小；③该生物种群数量的年增长量不超过10000只．其中所有正确说法的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．37．（多选）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（

）（注：；利润可为负数）A．利润随着瓶子半径的增大而增大 B．半径为6cm时，利润最大C．半径为2cm时，利润最小 D．半径为3cm时，制造商不获利8．（多选）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（

）A．年产量为9000件 B．年产量为10000件C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元9．已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为．10．如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2，宽为1的矩形，矩形两边、紧靠两条互相垂直的路上，现要过点修一条直线的路，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点和．则的面积的最小值为．

11．如图所示，一座小岛距离海岸线上的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：）表示他从小岛到城镇所用的时间，（单位：）表示小船停靠点距点的距离.(1)将表示为的函数，并注明定义域；(2)此人将船停在海岸线上何处时，所用时间最少？12．一辆正在加速的汽车在5s内速度从0提高到了90．下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了，时间单位为s．时间t/s012345速度v/（m/s）0915212325(1)分别计算当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义；(2)根据上面的数据，可以得到速度v关于时间t的函数近似表示式为，求，并解释它的实际意义．1．某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中．(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，