2024年高考数学一轮复习第五、六章

第五章数列

第1课时数列的概念及其简单表示法（对应学生用书（文”（理）70〜71页）

、’课前,李原引领,陈启口，

考情分析考点新知

理解数列的榻念，认识数列是反映自然规律

的基本数学模型，探索并掌握数列的几种简

①了解数列的概念和几种简单的表示方法

单表示法（列表、图象、通项公式）；了解数列

（列表、图象、通项公式）.

是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能

②了解数列是自变量为正整数的一类函数.

的通项公式.

嚷回归教材

HlUI\1

1.（必修5P32习题1改编）一个数列的前四项为T，一/¥则它的一个通项公式是

答案:an=（-l）^

2.（必修5P3i练习2改编）已知数列｛a0｝的通项公式是加=黑:则这个数列的第5项是

答案：as=yj

2

3.（必修5P44习题8改编）若数列｛an｝的前n项和Sn=n+3n,则a6+a7+a8=.

答案：48

解析：at,+a7+as=Ss—S5=88—40=48.

4.（必修5P32习题6改编）已知数列｛aj的通项公式是an=n2—8n+5,这个数列的最小项

是.

答案：一11

解析：由an=（n—4尸一11,知n=4时，an取最小值为一11.

、知识清单

1.数列的概念

按照一定顺序排列的一列数.

2.数列的分类

项数有限的数列叫做有穷数列.

项数互联的数列叫做无分数列.

3.数列与函数的关系

从函数观点看，数列可以看成是以正整数为定义域的函数an=f（n）,当自变量按照从小

到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)(i=l,2,

3,…)有意义，那么可以得到一个数列3L.

4.数列的通项公式

如果数列1a目的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式an=f(n)(n=l,2,3,…)来

表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式可以看成数列的函数解析式.

S］，n=1,

5.数列｛加｝的前n项和Sn与通项前的关系是组三

Sq—Sn-1，n，2.

［备课札记］

课中-技巧点拨&U

.题抿阳网UL9'j工

------同打小

电.型1由超列的嘛几项专通项公式

例1写出下列数列的一个通项公式:

(1)I,一3,5,-7,9,…

⑵1,0,g,0,p0,节

(3)a,b,a,b,a,b,

(4)0.9,0.99,0.999,0.9999,…

当11

-

5!\-

7夕

2,

解：⑴an=(一l严(2n-l).

1一(一1)n

(2)a=

n2n

(-1)n+,(a-b)+a+b

(3)an=5

(4)an=1-*.

,-n

(5)an=(V2).

变式制依

写出下列数列的一个通项公式:

19

-3-25

-T-8,-

2,2,

(2)5,55,555,5555,…

(3)1,3,6,10,15,…

解：⑴an=(—l冷.

(2)an=1(吁1).

n(n+1)

=

(3)an5•

致型2由anSSn泉系求an

例2日知数列｛&J的前n项和5”求通项即.

(l)Sn=3n-l；

2

⑵Sn=n4-3n+1.

解：(l)n=l时，ai=Si=2.

n,

n22时,an=Sn-Sn-i=2-3~.

=

当n=l时，an1符合上式.

:.an=2-3n",.

(2)n=1时,ai=Si=5.

n22时，Zln=Sn—Sn-1=2nH-2.

当n=1时a1=5不符合上式.

5,n=l,

2n+2,n>2.

各送变蚊(及棘与U

已知函数f(x)=ax2+bx(aK0)的导函数F(x)=-2x+7,数列｛an｝的前n项和为Sn»点P£n,

Sn)(n£N')均在函数y=f(x)的图象上，求数列｛aj的通项公式及Sn的最大值.

解：由题意可知：：f(x)=ax2+bx(a#0),:.f'(x)=2ax+b,由P(x)=-2x+7对应相

等可得a=-l,b=7,

・•・可得f(x)=-x2+?x.因为点P£n,Sn)(n£N*)均在函数y=f(x)的图象上，所以有S0=

—n2+7n.

当n=l时，ai=S)=6：

当n22时，an=Sn—Sn-i=—2n+8,ai=6适合上式，

K

・•・an=-2n+8(nGN).

令an=-2n+820得n<4,当n=3或n=4时，Sn取得最大值12.

综上，an=-2n+8(nEN*),当n=3或n=4时，Sn取得最大值12.

效型3救列的代质

例3如下表定义函数f(x)；

X12345

f(x)54312

对于数列{an},ai=4,an=f(an-i)»n=2,3,4,•••,求azoos.

解：ai=4,a2=1,a3=5,如=2,a§=4,可得an+4=an.所以a2008=a4=2.

各也支共(我卿与U

己知数列｛拆｝的通项公式an=台瑞(n£N)求数列前30项中的最大项和最小项.

解：・.・an=l+簟・••当n<9时，*随着n的增大越来越小且小于I,当

时，an随着n的增大越来越小且大于1,・••前30项中最大项为a。最小项为a%

新题推荐

1.已知ai=Lan=n(an+|-all)(neN*),则数列伯力的通项公式是

答案:an=n

解析：由已知整理得(n+l)an=nan+i,

:.箸一个J数列榭是常数列，且看华平T

•e•3n=n.

2(3-a)n-3,nW7,

设心°'若即=/3n>7,且数歹如｝是递增数歹人则实数a的范围是

答案：2<a<3

3-a>0,

解析：由｛an｝是递增薮列，得<a>l,

a8>a7,

l<a<3,

解得2<a<3.

aV—9或a>2,

3.己知数列｛aj的前项和为S„,满足log2（l+S„）=n+l,则｛aj的通项公式为

3,n=1

答案：a=-

n2n,n22

解析：由10g2(l+Sn)=n+l,得Sn=2n+-1.

n=l时，ai=Si=3.

n

n22时，an=Sn—Sn-i=2.

[3,n=1,

当n=l时ai=3不符合上式，，an=Ln

⑵，n22.

4.（2OI3・湖南）设Sn为数列｛an｝的前n项和,若Sn=（T），n-/,nWN，则a3=.

答案：T

解析：当n=3时，S3=ai+a2+a3=—a3—I，则a[+a2+2a3=—当n=4时，S4=ai

+22+23+04=34—七，两式相减得a3=一七.

5.若数列卜（n+4）俘>）中的最大项是第k项，则1<=.

答案：4

解析：设最大项为第k项，

fk（k+4）0》（k+1）

(k+5)

则有”k

[k（k+4）M2（k-1）(k+3)

.1k2^I0.,Jk2E或kW-®.

|k2—2k—9<0,解得[1—

k=4.

_精品题库（教师考享）

1.若an=n2+入n+3（其中X为实常数），n£N*,且数列｛aj为单调递增数列，则实数X

的取值范围为.

答案：（-3,+8）

解析：解法1:(函数观点)因为｛an｝为单调递增数列,所以an+i>an,即(n+l)2+Mn+l)

+3>/+九n+3,化简为Z>—2n—1对一切n£N'都成立，所以入>—3.

故实数人的取值范围为(-3,+8).

解法2:(数形结合法)因为｛a/为单调递增数列，所以ai〈a2,要保证a^Va?成立，二次

函数f(x)=x2+入x+3的对称轴x=-j应位于1和2中点的左侧，即一3<5，亦印入>—3,

故实数人的取值范围为(-3,+8).

2.已知an=nX0.8n(n£N").

(1)判断数列｛an｝的单调性;

(2)是否存在最小正整数k,使得数列｛aj中的任意一项均小于k?请说明理由.

4-n

解：(1)・.・即+]—an=~^-X0.8n(n£N*),...iiVd时，a“Van+]；n=4时，a4=a5;n>4时，

3n>an+l.

即a1，az,a3,船单调递增，iu=a5,而as,a6,…单调递减.

451()24399

(2)由(1)知，数列｛斯｝的第4项与第5项相等且最大，最大项是亲=蟹=1*.

故存在最小的正整数k=2,使得数列｛aj中的任意一项均小于k.

3.若数歹U｛an｝满足an•尸anIan+2(nUN*),则称数列⑶｝为“凸数列”.

(1)设数列｛an｝为“凸数列”，若如=1,a2=-2,试写出该数列的前6项，并求出前6

项之和；

(2)在“凸数列”｛aj中，求证：a„+3=-a„,neN*；

(3)设a产a,az=b,若数列｛%｝为“凸数列”，求数歹3前2011项和Szo”.

(1)解：ai=l,a2=-2,aa=­3,如=—1,a5=2,a6=3,故S6=0.

Hn+I-an+an+2,

(2)证明：由条件得J_所以an+3=—an.

Hn+2a(i+1।3n+39

(3)解：由Q)的结论得an+6=-an+3=an,即an+6=an.

ai=a,a2=b,a?=b—a,34=­a,a§=-b,ao=a—b,

.\S6=0.

由(2)得S6n+k=Shn£N*,k=l,…，6,

故S2O11=S335X6+I=ai=a.

4.已知数列的前n项和为Sn，并且满足ai=2,na"i=Sn+n(n+l).

(1)求｛加｝的通项公式；

(2)令Tn=&Sn，是否存在正整数m,对一切正整数n,总有T„^Tin?若存在，求m

的值；若不存在，说明理由.

解：(1)令n=l,

由ai=2及nan+i=Sn+n(n+1),①

得32=4,故32—a|=2,

当n22时,有(n—l)an=Sn-i+n(n—1),②

①一②，得

nan+)—(n—l)an=an4-2n.

_

整理得an+ian=2(n^2).

当n=l时，a2-ai=2,所以数列｛aj是以2为首项，以2为公差的等差数列，

故an=2+(n-l)X2=2n.

(2)由⑴得Sn=n(n+1),所以Tn=(§(n2+n).

TnNTn+|

故「十[(n+l)2+(n4-l)],令

Tn'Tn-l

传J(n2+n)(n+l)2+(n+l)1,

即《

[⑥(n2+n)2图1(n-1)2+(n-l)],

fn>7(n+2),

即仆一

仁(n+1)2n—I,

解得8WnW9.

故T|〈T2V…<T8=T9>TIO>T||>…

故存在正整数m对一切正整数n,总有TnWTm,

此时m=8或m=9.

?|疑难指津〃

1.数列中的数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同，

数列可以看作是一个定义域为正整数集或其子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意

函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.

2.根据所给数列的前几项求其通项，需要仔细观察分析，抓住特征：分式中分子、分母

的独立特征，相邻项变化的特征，拆项后的特征，各项的符号特征和绝对值特征，并由此进

行化归、归纳、联想.

3.通项an与前n项和Sn的关系是一个十分重要的考点.运用时不要忘记讨论an=

Si(n=1),

Sn—Sn-1(n22).

'艮涔梃示:请使用课时训练(A)第1课时(见活页).

I备课札记］

第2课时等差数歹IJ（对应学生用书（文）、（理）72〜73页）

课前・李咫引，领八

考恃分析考点新知

①理解等差数列的概念

理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n

.②掌握等差数列的通项公式与

项和公式，能在具体的问题情境中用等差数列的有关知

前n项和公式.

识解决相应的问题.

③了解等差数列与一次函数的关

系.

篌回归教材

Hll<»<UIA<X\1

1.(必修5P5S习题2改编)在等差数列｛an｝中，ai=2,d=3,则如=

答案：17

解析：a6=ai+(6—l)d=17.

2.(必修5PM习题6改编)在等差数列｛aQ中

(1)己知04+ai4=2,贝ijS17=:

(2)已知a”=10,则S2产;

(3)已知S“=55,则济=；

(4)已知S8=100，Si6=392,则S24=.

答案：(1)17(2)210(3)5(4)876

鲍柘・二17(ai+aQ」7(g+ai4)

解析•(1)S17—2—2—17.

21(ai+azi)_21X2a”

⑵S2产2221。.

11(ai+an)11X2a6

(3)Sn=--------2-------=-2-=55，J也=5・

(4)S8,Si6-S8,S24—Si6成等差数列，.100+S24-392=2(392-100),:.$24=876.

3.(必修5P44习题7改编)在等差数列｛an｝中，S12=354,前12项中偶数项和与奇数项和

之比为32：27,则公差d=.

答案：5

S寺+Sw=354,

解析：'旦_丝'S4=162,SN=192,:.6d=30,d=5.

,SZ=27»

4.(必修5P44习题10改编)已知数列｛加｝为等差数列，若如=-3,1匕5=5即，则使前n

项和Sn取最小值的n=.

答案：2

22

解析：•・•ai=-3,lla5=5a8,:.d=2,:.Sn=n-4n=(n-2)-4,:.当n=2时，

Sn最小.

、知识清单

/HIM心

1.等差数列的定义

（1）文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于回二仝蜜

数，那么这个数列就叫做等差数列.

=

(2)符号语舌：,an11Snd(n£N).

2.等差数列的通项公式

若等差数列｛an｝的首项为加，公差为d,则其通项公式为an=ai+(n-l)d.

推广：an=am+(n—m)d.

3.等差中项

如果三个数a,A,b成等差数列,则A叫a和b的等差中项，且有A=^.

4.等差数列的前n项和公式

n(n-1)

(l)Sn=nai+=^---d-

n(ai+an)

(2)Sn=~•

5.等差数列的性质

(1)等差数列｛an｝中，对任意的m、n、p、q£N',若m+n=p+q,Main+an=ap4-au.特

殊的，若m+n=2p,则am+an=2ap.

(2)等差数歹1J｛a。｝的通项公式可以写成an=am+(n—in)d(n、m£N").

(3)等差数列｛an｝中依次每m项的和仍成等差数列,即Sm、S2m—Sm、S：5m—S2m、…仍成

等差数列.

［备课札记］

乂

课中-技巧点拨

.题很因回7=91”

致型1粼列中的宗龙步的材熏

例1设等差数列｛即｝的前n项和为Sn，已知a3=5,S3=9.

(1)求首项山和公差d的值；

(2)若Sn=100，求n的值.

aa=ai+2d=5,

解：(1)由已知得,

Sj=3ai+3d=9,

解得a1=l,d=2.

(2)由Sn=nai+-「I”Xd=100,得/=100,解得n=10或一10(舍)，所以n=10.

变蚊制优

设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且S4=-62,S6=-75,求：

(1)｛aj的通项公式an及其前n项和Sn；

(2)|ai|+|a2H-|a3H--4-|ai4|.

4ai+6d=-62,

解：(1)设等差数列首项为山，公差为d,依题意得，,解得ai=-20,d

,6ai+15d=—75,

-

an=ai4-(n—l)d=3n23,

(aj4-an)nn(—20+3n—23)3,43

n=9=9211

⑵•・・ai=-20,d=3,

...{aj的项随着n的增大而增大.

设ak^0且ak+i20得3k—23W0,且3(k+1)—2320,

2023

yWkWh(k£Z),故k=7.

即当nW7时，a„<0:当n28时,an>0.

|ai|+|a2|+|a3|4"…+|ai4l=—(ai+az+…+a7)+(a&+ag+…+ai4)=S14—2S7=147.

魏型2判断或证明一小熬利是否是博差叙列

例2已知等差数列同｝中，公差d>0,其前n项和为Sn，且满足a2・a3=45,ai+&=14.

(1)求数列｛加｝的通项公式；

(2)设由bn=①(cW0)构成的新数列为｛bn｝,求证：当且仅当c=一｝时，数列｛bn｝是等

n十■c4

差数列.

(1)解：;等差数列｛an｝中,公差d>0,

Ja2•a?=45Ja2,as=4532=5

d=4

Ui+a4=14[32+33=14a3=9

an=4n-3.

—can(1+4n—3)Sn(2n—1),,12

=-=n==

(2)证明：Sn=n(2n1),bnii_|_c“十。.由2b?bi4-bi,付:十.

115

r+c+3+c,

化简得2c2+c=(),c#=0,c=—

反之，令C=一/即得bn=2n,显然数列｛bn｝为等差数列,

・•・当且仅当C=一，时,数列佃｝为等差数列.

备达更K(献斡与手)

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足Sn—Sn—i+2SnSnT=0(n22),ai=1.

(1)求证：12｝是等差数列：

(2)求an的表达式.

⑴证明：等式两边同除以SnSnT,得甘一一*+2=0,即*—p-=2(n22).・••山是

on—1On12nJ

以f='=2为首项，以2为公差的等差数列.

Siai

(2)解：由(1)知R=1+(n—l)d=2+(n—l)X2=2n,

=

**•Sn=彳，当n22时，an=-2Sn•Sn-i-2n(n-])•

)住『1,

又ai=2,不适合上式，故an=1]

12n(l-n)'BZ

•鼠型3塔晏数列的收质

例3(1)已知等差数列⑶｝的公差为d(d#O),且的+a6+a]o+ai3=32.若am=8,则m

(2)设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3=9,S6=36,则a:+a8+a9=.

答案：(1)8(2)45

解析：(1)由等差数列性质，知a3+a64-ai()+ai3=(a3+ai3)H-(a6+aio)=2ax4-2ax=4ax=

32,**•38=8.；.m=8.

(2)由等差数列的性质，知S3,So-S3,S9-S6成等差数列，・•・2(Sft-S3)=S3f(S9-S6),

a7+as+a9=S9—So=2(S6—S3)—S?=45.

备送交灰(我卿与U

(1)等差数列⑶｝中，Sn是⑶｝前n项和，已知S6=2,S9=5,则$5=；

(2)给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等

差数列，且表中正中间一个数as5=5,则表中所有数之和为.

anai?•••a：9

aiiai2•••a；9

•••••••••

a9i392•••309

答案：(1)15(2)405

S(>=2,

解析：(1)解法1:由等差数列的求和公式及

lSy=5,

6X5C1

6a,+—d=2,Ja产一药15X14

9X84-.S15=15a,+^-d=15.

(9ai+—2-d=5,Ld=27*

522

员u•S9-S6---=-

解法2:由等差数列性质，知成等差数列，设其公差为D,*9969

・

••uD=,27，

s52

S9-

115-9-・・・

27Si5=15.

(2)S=(a“+…+a〔9)+…+(a<)i+…+a99)=9(ais+a25+…+a95)=9X9Xas5=405.

照型4冬麦教列中的米依向敢

例4已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,n£N*,且满足a2+iu=14,S7=70.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)若b0=空#,则数列｛悦｝的最小项是第几项，并求该项的值.

2ai+4d=14,ai=l,

解：(1)设公差为d,则有解得J

7a)4-21d=70,d=3,

/.an=3n—2.

n,3n2-n

(2)S„=2[l+(3n-2)]=^—,

bn=――：+48=311+修-122d窕*一1=23,当且仅当3n=*,即n=4时取等号.

・•・｛%｝最小项是第4项,该项的值为23.

各也或式(我师专U

已知在等差数列｛an｝中，ai=31,Sn是它的前n项和，Sio=S22.

(1)求Sn；

(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值.

解：(1)*.*Sio=a1+a2+…+a]o,S22=ai+a2~l---Fa22,S)o=S22,»,•aii+ai2+…+a22

12(aii+a”)

=0,-----~--=0,即a“+a22=2ai+31d=0.又a[=31,/.d=—2,

,n(n-1)-

2

:.Sn=nai+--------d=31n—n(n—1)=32n—n.

(2)解法1:由(1)知Sn=32n-M,当n=16时，Sn有最大值,Sn的最大值是256.

2

解法2:由Sn=32n-n=n(32-n),欲使Sn有最大值，应有l<n<32,从而SnW(二野二封)

2

=256,当且仅当n=32—n,即n=l6时，Sn有最大值256.

;新题推荐.

1.(2013・重庆)若2、a、b、c、9成等差数列，则c-a=.

答案：\

解析：由9=2+4<1得(1=：,则c—a=2d=J.

2.(2013•广东)在等差数列｛an｝中，已知a3+a8=10，则3a5+27=.

答案：20

解析：3a5+a7=2a5+2a6=2(as+as)=20.

3.(2013•安徽)设Sn为等差数列｛aj的前n项和，S8=4a3,a7=-2,则ag=.

答案：一6

8义7

〃,,8ai+-v-d=4(ai+2d),

解析：由条件得〈2

a+6d=-2,

ai=10,

解得故a=10+8X(-2)=-6.

d=-2,9

4.(2013•新课标)设等差数列｛aj的前n项和为Sn，Sm-i=-2,Sm=0,Sm(i=3,则m=

答案：5

===—==

解析：amSm—Sm-i2,am+1Sm+1Sm=3,则d=1,由am2及Sm0得

ai+(m—I)=2,

m(m—1)承得m=5.

ma।+---------------=0,

._精品题库(教师考享)

1.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn，且Sk=110.

(1)求a及k的值；

(2)设数列｛bn｝的通项bn=中，证明数列｛bn｝是等差数列，并求其前n项和

解；(1)设该等差数列为｛an｝,则ai=a,az=4,a,i=3a,由已知有aI3a=8,得ai=a

k(k~~|)k(k—|)

=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka.+----------------d=2k+---------------义2=1?+1<.由Sk=110,

得k2+k—U0=0,解得k=10或k=-11(舍去)，故a=2,k=10.

(2)由⑴Sn=“=响+1),则bn=+=n+l,故bn+Lbn=(n+2)—(n+1)=1,

即数列｛1｝是首项为2,公差为1的等差数列，所以Tn=''(2+；+l)=n(n)3)

2.已知数列1册)为等差数列，若普〈一I，且它们的前n项和工有最大值，求使得Sn<

aio

0的n的最小值.

rai4-9d>0,

a)+10d<0,|9ai

解：由题意知d<0,aio>0,an<0,aio+an<O,由彳,得一行〈才〈一90

2ai+19d<0,2d

、d<0,

2-

=na(4-0d=^n+,由Sn=0得n=0或n=1一乎.

,・,19<1一斗<20,・•・SO的解集为［n£N［n>l一争，故使得Sn〈O的n的最小值为

20.

3.已知数列｛厮｝中，ai=8,初=2,且满足an+2+a1i=2an+i.

(1)求数列｛加｝的通项公式；

(2)设Sn是数列｛|叫的前n项和,求Sn.

a，］@o_§

解：(1)由2an+i=an+2+an可得｛aj是等差数列，且公差d=/_〔=一?一=—2.a=ai

*T1，n

+(n—l)d=-2n+10.

(2)令&会()，得nW5.即当nW5时，.2。；n»6时,a„<O.A当nW5时,Sn=|ai|4-|a2|

2

H----F|an|=ai+a2H----Fan=-n+9n:当n26时，Sn=|ai|4-|a2|H----F|an|=ai4-a2H---Fas

=——22

一(a+a7HFan)­(ai+azdFan)+2(ai+a2Hba5)=(n+9n)4-2X(—5+45)=

[-n24_9n,nW5,

n2—9n+40,S=\、

nln2-9n+40,n26.

4.(2013•大纲卷)等差数列｛an｝中，a7=4,al9=2a9.

(1)求｛aj的通项公式；

(2)设bn=《，求数列｛bn｝的前n项和Sn.

解：(1)设等差数列(如｝的公差为d,则an=ai+(n—l)d.

a7=4,同+6d=4,

因为-所以,、

a)9=2a9,|ai+18d=2(a)+8d).

解得ai=l,d=2-

=

所以｛an｝的通项公式为an一~.

⑵”一叫一门（n+1：-nn+1*

所以sRHMH）+…+1缶尸磊.

1.等差数列问题，首先应抓住山和d,通过列方程组来解，其他也就迎刃而解了.但若

恰当地运用性质，可以减少运算量.

2.等差数列的判定方法有以下几种：①定义法：%+|—an=d（d为常数）；②等差中项

2

法：2an+i=an+an^2；③通项公式法：an=pn+q（p,q为常数）；④前n项和公式法：Sn=An

+Bn（A,B为常数）.

3.注意设元，利用对称性，减少运算量.

4.解答某曲数列问题，有时不必（有时也不可能）求出某些具体量的结果，可采用整体代

换的思想.

隹型际:请使用课时训练（B）第2课时（见活页）.

［备课札记］

第3课时等比数歹IJ(对应学生用书(文”(理)74〜75页)

课前・李咫引，领八

考恃分析考点新知

①理解等比数列的概念.

理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n②掌握等比数列的通项公式与前

项和公式，并能用有关知识解决相应的问题.n项和公式.

③了解等比数列与指数函数的关

系.

篌回归教材

Hll<»<UIA<X\1

1.(必修5Pss习题2(1)改编)设Sn是等比数列｛an｝的前n项和,若a1=l,或=32,则S3

答案：7

解析：奇=32,q=2,S3」％j,Z)=7.

2.(必修5P49习题I改编)｛an｝为等比数列，32=6,a5=l62,则｛a"的通项公式an=

答案:an=2X3n-1

a】q=6,

==

解析：由az6,as162,得J4所以ai=2,q=3.

[aiq4=162,

3.（必修5P49习题6改编）等比数列｛aj中，ai>0,a2a4+2a3a5+a4a（,=36,则a34-a5=

答案：6

解析：a2a4+2a3as+a4a6=(a3+a5)2=36,又ai>0,as,as>(),a?+a5=6.

4.(必修5P49习题7(2)改编)已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k,则k=.

答案：3

解析：由已知得(2k)2=(k+9)(6-k),kEN*,Z.k=3.

5.(必修5P5］例2改编)等比数列⑶｝中,S3=7,S6=63,则斯=.

答案：

解析：由已知得a1=l,q=2：/.an=2n

7a识清单

1.等比数列的概念

(1)文字语言：如果一个数列从第三项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,

那么这个数列叫做等比数列.

(2)符号语言：乎_=q(n£N,q是等比数列的公比).

an

2.等比数列的通项公式

设｛an｝是首项为ai,公比为q的等比数列，则第n项斯=药£二.

推广：an=amq^^-

3.等比中项

若a,G,b成等比数列，则G为a和b的等比中项且G=生痛.

4.等比数列的前n项和公式

(1)当q=1时，Sn=nai.

(2)当qrl时，SL

5.等比数列的性质

nm

(l)a„=a,nq-.

(2)等比数列(a"中，对任意的m、n、p、qUN",若m+n=p+q,则如四三%细.特殊

的，若m+n=2p,则%冏=蜃.

(3)等比数列［anl中依次每m项的和仍成等比数列,即Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、…仍成

等比数列,其公比为吧旺二

［备课札记］

课中-技巧点拨&U

■题很固阿Q理”.

------同打小

电.型1塔比教列的家存运事

例1等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S|,S3,S2成等差数列.

(1)求｛&J的公比q；

(2)若a1一aa=3,求Sn.

解：(1)VS),S3,S2成等差数列，

2s3=Si+S2,即2(ai+a2+aa)=ai+ai+a?,

aj1

・・.2a3=-a?,.・.q=£=一亍

(2)a3=aiq2=^ai,:.ai—|ai=3,:.a)=4,

.4一(4)”]88(

•,.1-3A2广

1+2

变式制拄

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，ai=L且2an+i=Sn+2(n£N).

(1)求a2,a3的值，并求数列｛a“｝的通项公式；

n3

⑵解不等式Lr>Sn(neN).

i=l

3

解：(1):2a2=Si+2=ai+2=3,a2=g.

99

■:2a3=S2+2=a【+a2+2=5，:.a3=].

*.*2an+i=Sn+2,2an=Sn-i+2(n22),两式相减，得2an+1—2an=Sn—2an+i

33

a2?-

—2an=an.则an+i=5an(n22).2

・•・Vi=^,即｛an｝为等比数列,

dn乙

⑵言=3乂停>-1,...数列图是首项为3,公比为争的等比数列.数列图的前5项为:

c-4816,、必人-丁虫.392781

3,2,yg,而.｛aj的前）项为：1,g,a于而

n3n33

An=l,2,3时，2；>Sn成立；而n=4时，£-<S:Vn25时，7-<1,a]>l,

dididnn

i=1i=|

n3

：,£产50.

di

i=1

:.不等式Z=>Sn(n£N)的解集为｛1,2,3).

i=I

题型2与比惑.列的利恁S证明

例2已知数列佰力的前n项和为Sn，3Sn=an-l(neN).

(1)求ai,a2;

(2)求证：数列｛an｝是等比数列；

⑶求即和Sn.

(1)解：由3S]=a]-1,得3al=a]-1,a】=—

又3s2=az—1,即3a1+3a2=az—1,得az=1.

(2)证明：当n22时，an=Sn—Sn-i=；(an—1)—/an-i-1),得；，所以｛an｝是首

项为一口，公比为一;的等比数列.

(3)解：由(2)可得加=(一

备也卖蚊(及婶专U

+

在数列｛斯｝中,ai=2,an+i=4an—3n+1,nGN.

(1)求证：数列｛an-n｝是等比数列；

(2)求数列｛aQ的前n项和工；

(3)求证：不等式Sn+iW45n对任意n£N”皆成立.

(1)证明：由题设an+：=4an—3n+1,得an+i—(n+l)=4(an—n),n£N".又a]-1=1,所

以数列｛an-n)是首项为1,公比为4的等比数列.