2024年高考数学一轮复习第五、六章_第1页
2024年高考数学一轮复习第五、六章_第2页
2024年高考数学一轮复习第五、六章_第3页
2024年高考数学一轮复习第五、六章_第4页
2024年高考数学一轮复习第五、六章_第5页
已阅读5页,还剩74页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第五章数列

第1课时数列的概念及其简单表示法(对应学生用书(文”(理)70〜71页)

、’课前,李原引领,陈启口,

考情分析考点新知

理解数列的榻念,认识数列是反映自然规律

的基本数学模型,探索并掌握数列的几种简

①了解数列的概念和几种简单的表示方法

单表示法(列表、图象、通项公式);了解数列

(列表、图象、通项公式).

是一种特殊的函数;发现数列规律找出可能

②了解数列是自变量为正整数的一类函数.

的通项公式.

嚷回归教材

HlUI\1

1.(必修5P32习题1改编)一个数列的前四项为T,一/¥则它的一个通项公式是

答案:an=(-l)^

2.(必修5P3i练习2改编)已知数列{a0}的通项公式是加=黑:则这个数列的第5项是

答案:as=yj

2

3.(必修5P44习题8改编)若数列{an}的前n项和Sn=n+3n,则a6+a7+a8=.

答案:48

解析:at,+a7+as=Ss—S5=88—40=48.

4.(必修5P32习题6改编)已知数列{aj的通项公式是an=n2—8n+5,这个数列的最小项

是.

答案:一11

解析:由an=(n—4尸一11,知n=4时,an取最小值为一11.

、知识清单

1.数列的概念

按照一定顺序排列的一列数.

2.数列的分类

项数有限的数列叫做有穷数列.

项数互联的数列叫做无分数列.

3.数列与函数的关系

从函数观点看,数列可以看成是以正整数为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小

到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=l,2,

3,…)有意义,那么可以得到一个数列3L.

4.数列的通项公式

如果数列1a目的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式an=f(n)(n=l,2,3,…)来

表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式可以看成数列的函数解析式.

S],n=1,

5.数列{加}的前n项和Sn与通项前的关系是组三

Sq—Sn-1,n,2.

[备课札记]

课中-技巧点拨&U

.题抿阳网UL9'j工

------同打小

电.型1由超列的嘛几项专通项公式

例1写出下列数列的一个通项公式:

(1)I,一3,5,-7,9,…

⑵1,0,g,0,p0,节

(3)a,b,a,b,a,b,

(4)0.9,0.99,0.999,0.9999,…

当11

-

5!\-

7夕

2,

解:⑴an=(一l严(2n-l).

1一(一1)n

(2)a=

n2n

(-1)n+,(a-b)+a+b

(3)an=5

(4)an=1-*.

,-n

(5)an=(V2).

变式制依

写出下列数列的一个通项公式:

19

-3-25

-T-8,-

2,2,

(2)5,55,555,5555,…

(3)1,3,6,10,15,…

解:⑴an=(—l冷.

(2)an=1(吁1).

n(n+1)

=

(3)an5•

致型2由anSSn泉系求an

例2日知数列{&J的前n项和5”求通项即.

(l)Sn=3n-l;

2

⑵Sn=n4-3n+1.

解:(l)n=l时,ai=Si=2.

n,

n22时,an=Sn-Sn-i=2-3~.

=

当n=l时,an1符合上式.

:.an=2-3n",.

(2)n=1时,ai=Si=5.

n22时,Zln=Sn—Sn-1=2nH-2.

当n=1时a1=5不符合上式.

5,n=l,

2n+2,n>2.

各送变蚊(及棘与U

已知函数f(x)=ax2+bx(aK0)的导函数F(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn»点P£n,

Sn)(n£N')均在函数y=f(x)的图象上,求数列{aj的通项公式及Sn的最大值.

解:由题意可知::f(x)=ax2+bx(a#0),:.f'(x)=2ax+b,由P(x)=-2x+7对应相

等可得a=-l,b=7,

・•・可得f(x)=-x2+?x.因为点P£n,Sn)(n£N*)均在函数y=f(x)的图象上,所以有S0=

—n2+7n.

当n=l时,ai=S)=6:

当n22时,an=Sn—Sn-i=—2n+8,ai=6适合上式,

K

・•・an=-2n+8(nGN).

令an=-2n+820得n<4,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.

综上,an=-2n+8(nEN*),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.

效型3救列的代质

例3如下表定义函数f(x);

X12345

f(x)54312

对于数列{an},ai=4,an=f(an-i)»n=2,3,4,•••,求azoos.

解:ai=4,a2=1,a3=5,如=2,a§=4,可得an+4=an.所以a2008=a4=2.

各也支共(我卿与U

己知数列{拆}的通项公式an=台瑞(n£N)求数列前30项中的最大项和最小项.

解:・.・an=l+簟・••当n<9时,*随着n的增大越来越小且小于I,当

时,an随着n的增大越来越小且大于1,・••前30项中最大项为a。最小项为a%

新题推荐

1.已知ai=Lan=n(an+|-all)(neN*),则数列伯力的通项公式是

答案:an=n

解析:由已知整理得(n+l)an=nan+i,

:.箸一个J数列榭是常数列,且看华平T

•e•3n=n.

2(3-a)n-3,nW7,

设心°'若即=/3n>7,且数歹如}是递增数歹人则实数a的范围是

答案:2<a<3

3-a>0,

解析:由{an}是递增薮列,得<a>l,

a8>a7,

l<a<3,

解得2<a<3.

aV—9或a>2,

3.己知数列{aj的前项和为S„,满足log2(l+S„)=n+l,则{aj的通项公式为

3,n=1

答案:a=-

n2n,n22

解析:由10g2(l+Sn)=n+l,得Sn=2n+-1.

n=l时,ai=Si=3.

n

n22时,an=Sn—Sn-i=2.

[3,n=1,

当n=l时ai=3不符合上式,,an=Ln

⑵,n22.

4.(2OI3・湖南)设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=(T),n-/,nWN,则a3=.

答案:T

解析:当n=3时,S3=ai+a2+a3=—a3—I,则a[+a2+2a3=—当n=4时,S4=ai

+22+23+04=34—七,两式相减得a3=一七.

5.若数列卜(n+4)俘>)中的最大项是第k项,则1<=.

答案:4

解析:设最大项为第k项,

fk(k+4)0》(k+1)

(k+5)

则有”k

[k(k+4)M2(k-1)(k+3)

.1k2^I0.,Jk2E或kW-®.

|k2—2k—9<0,解得[1—

k=4.

_精品题库(教师考享)

1.若an=n2+入n+3(其中X为实常数),n£N*,且数列{aj为单调递增数列,则实数X

的取值范围为.

答案:(-3,+8)

解析:解法1:(函数观点)因为{an}为单调递增数列,所以an+i>an,即(n+l)2+Mn+l)

+3>/+九n+3,化简为Z>—2n—1对一切n£N'都成立,所以入>—3.

故实数人的取值范围为(-3,+8).

解法2:(数形结合法)因为{a/为单调递增数列,所以ai〈a2,要保证a^Va?成立,二次

函数f(x)=x2+入x+3的对称轴x=-j应位于1和2中点的左侧,即一3<5,亦印入>—3,

故实数人的取值范围为(-3,+8).

2.已知an=nX0.8n(n£N").

(1)判断数列{an}的单调性;

(2)是否存在最小正整数k,使得数列{aj中的任意一项均小于k?请说明理由.

4-n

解:(1)・.・即+]—an=~^-X0.8n(n£N*),...iiVd时,a“Van+];n=4时,a4=a5;n>4时,

3n>an+l.

即a1,az,a3,船单调递增,iu=a5,而as,a6,…单调递减.

451()24399

(2)由(1)知,数列{斯}的第4项与第5项相等且最大,最大项是亲=蟹=1*.

故存在最小的正整数k=2,使得数列{aj中的任意一项均小于k.

3.若数歹U{an}满足an•尸anIan+2(nUN*),则称数列⑶}为“凸数列”.

(1)设数列{an}为“凸数列”,若如=1,a2=-2,试写出该数列的前6项,并求出前6

项之和;

(2)在“凸数列”{aj中,求证:a„+3=-a„,neN*;

(3)设a产a,az=b,若数列{%}为“凸数列”,求数歹3前2011项和Szo”.

(1)解:ai=l,a2=-2,aa=­3,如=—1,a5=2,a6=3,故S6=0.

Hn+I-an+an+2,

(2)证明:由条件得J_所以an+3=—an.

Hn+2a(i+1।3n+39

(3)解:由Q)的结论得an+6=-an+3=an,即an+6=an.

ai=a,a2=b,a?=b—a,34=­a,a§=-b,ao=a—b,

.\S6=0.

由(2)得S6n+k=Shn£N*,k=l,…,6,

故S2O11=S335X6+I=ai=a.

4.已知数列的前n项和为Sn,并且满足ai=2,na"i=Sn+n(n+l).

(1)求{加}的通项公式;

(2)令Tn=&Sn,是否存在正整数m,对一切正整数n,总有T„^Tin?若存在,求m

的值;若不存在,说明理由.

解:(1)令n=l,

由ai=2及nan+i=Sn+n(n+1),①

得32=4,故32—a|=2,

当n22时,有(n—l)an=Sn-i+n(n—1),②

①一②,得

nan+)—(n—l)an=an4-2n.

_

整理得an+ian=2(n^2).

当n=l时,a2-ai=2,所以数列{aj是以2为首项,以2为公差的等差数列,

故an=2+(n-l)X2=2n.

(2)由⑴得Sn=n(n+1),所以Tn=(§(n2+n).

TnNTn+|

故「十[(n+l)2+(n4-l)],令

Tn'Tn-l

传J(n2+n)(n+l)2+(n+l)1,

即《

[⑥(n2+n)2图1(n-1)2+(n-l)],

fn>7(n+2),

即仆一

仁(n+1)2n—I,

解得8WnW9.

故T|〈T2V…<T8=T9>TIO>T||>…

故存在正整数m对一切正整数n,总有TnWTm,

此时m=8或m=9.

?|疑难指津〃

1.数列中的数的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列的项和数集中元素的异同,

数列可以看作是一个定义域为正整数集或其子集的函数,因此在研究数列问题时,既要注意

函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊性.

2.根据所给数列的前几项求其通项,需要仔细观察分析,抓住特征:分式中分子、分母

的独立特征,相邻项变化的特征,拆项后的特征,各项的符号特征和绝对值特征,并由此进

行化归、归纳、联想.

3.通项an与前n项和Sn的关系是一个十分重要的考点.运用时不要忘记讨论an=

Si(n=1),

Sn—Sn-1(n22).

'艮涔梃示:请使用课时训练(A)第1课时(见活页).

I备课札记]

第2课时等差数歹IJ(对应学生用书(文)、(理)72〜73页)

课前・李咫引,领八

考恃分析考点新知

①理解等差数列的概念

理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n

.②掌握等差数列的通项公式与

项和公式,能在具体的问题情境中用等差数列的有关知

前n项和公式.

识解决相应的问题.

③了解等差数列与一次函数的关

系.

篌回归教材

Hll<»<UIA<X\1

1.(必修5P5S习题2改编)在等差数列{an}中,ai=2,d=3,则如=

答案:17

解析:a6=ai+(6—l)d=17.

2.(必修5PM习题6改编)在等差数列{aQ中

(1)己知04+ai4=2,贝ijS17=:

(2)已知a”=10,则S2产;

(3)已知S“=55,则济=;

(4)已知S8=100,Si6=392,则S24=.

答案:(1)17(2)210(3)5(4)876

鲍柘・二17(ai+aQ」7(g+ai4)

解析•(1)S17—2—2—17.

21(ai+azi)_21X2a”

⑵S2产2221。.

11(ai+an)11X2a6

(3)Sn=--------2-------=-2-=55,J也=5・

(4)S8,Si6-S8,S24—Si6成等差数列,.100+S24-392=2(392-100),:.$24=876.

3.(必修5P44习题7改编)在等差数列{an}中,S12=354,前12项中偶数项和与奇数项和

之比为32:27,则公差d=.

答案:5

S寺+Sw=354,

解析:'旦_丝'S4=162,SN=192,:.6d=30,d=5.

,SZ=27»

4.(必修5P44习题10改编)已知数列{加}为等差数列,若如=-3,1匕5=5即,则使前n

项和Sn取最小值的n=.

答案:2

22

解析:•・•ai=-3,lla5=5a8,:.d=2,:.Sn=n-4n=(n-2)-4,:.当n=2时,

Sn最小.

、知识清单

/HIM心

1.等差数列的定义

(1)文字语言:如果一个数列从第二项起,每一项减去前一项所得的差都等于回二仝蜜

数,那么这个数列就叫做等差数列.

=

(2)符号语舌:,an11Snd(n£N).

2.等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项为加,公差为d,则其通项公式为an=ai+(n-l)d.

推广:an=am+(n—m)d.

3.等差中项

如果三个数a,A,b成等差数列,则A叫a和b的等差中项,且有A=^.

4.等差数列的前n项和公式

n(n-1)

(l)Sn=nai+=^---d-

n(ai+an)

(2)Sn=~•

5.等差数列的性质

(1)等差数列{an}中,对任意的m、n、p、q£N',若m+n=p+q,Main+an=ap4-au.特

殊的,若m+n=2p,则am+an=2ap.

(2)等差数歹1J{a。}的通项公式可以写成an=am+(n—in)d(n、m£N").

(3)等差数列{an}中依次每m项的和仍成等差数列,即Sm、S2m—Sm、S:5m—S2m、…仍成

等差数列.

[备课札记]

课中-技巧点拨

.题很因回7=91”

致型1粼列中的宗龙步的材熏

例1设等差数列{即}的前n项和为Sn,已知a3=5,S3=9.

(1)求首项山和公差d的值;

(2)若Sn=100,求n的值.

aa=ai+2d=5,

解:(1)由已知得,

Sj=3ai+3d=9,

解得a1=l,d=2.

(2)由Sn=nai+-「I”Xd=100,得/=100,解得n=10或一10(舍),所以n=10.

变蚊制优

设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=-62,S6=-75,求:

(1){aj的通项公式an及其前n项和Sn;

(2)|ai|+|a2H-|a3H--4-|ai4|.

4ai+6d=-62,

解:(1)设等差数列首项为山,公差为d,依题意得,,解得ai=-20,d

,6ai+15d=—75,

-

an=ai4-(n—l)d=3n23,

(aj4-an)nn(—20+3n—23)3,43

n=9=9211

⑵•・・ai=-20,d=3,

...{aj的项随着n的增大而增大.

设ak^0且ak+i20得3k—23W0,且3(k+1)—2320,

2023

yWkWh(k£Z),故k=7.

即当nW7时,a„<0:当n28时,an>0.

|ai|+|a2|+|a3|4"…+|ai4l=—(ai+az+…+a7)+(a&+ag+…+ai4)=S14—2S7=147.

魏型2判断或证明一小熬利是否是博差叙列

例2已知等差数列同}中,公差d>0,其前n项和为Sn,且满足a2・a3=45,ai+&=14.

(1)求数列{加}的通项公式;

(2)设由bn=①(cW0)构成的新数列为{bn},求证:当且仅当c=一}时,数列{bn}是等

n十■c4

差数列.

(1)解:;等差数列{an}中,公差d>0,

Ja2•a?=45Ja2,as=4532=5

d=4

Ui+a4=14[32+33=14a3=9

an=4n-3.

—can(1+4n—3)Sn(2n—1),,12

=-=n==

(2)证明:Sn=n(2n1),bnii_|_c“十。.由2b?bi4-bi,付:十.

115

r+c+3+c,

化简得2c2+c=(),c#=0,c=—

反之,令C=一/即得bn=2n,显然数列{bn}为等差数列,

・•・当且仅当C=一,时,数列佃}为等差数列.

备达更K(献斡与手)

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn—Sn—i+2SnSnT=0(n22),ai=1.

(1)求证:12}是等差数列:

(2)求an的表达式.

⑴证明:等式两边同除以SnSnT,得甘一一*+2=0,即*—p-=2(n22).・••山是

on—1On12nJ

以f='=2为首项,以2为公差的等差数列.

Siai

(2)解:由(1)知R=1+(n—l)d=2+(n—l)X2=2n,

=

**•Sn=彳,当n22时,an=-2Sn•Sn-i-2n(n-])•

)住『1,

又ai=2,不适合上式,故an=1]

12n(l-n)'BZ

•鼠型3塔晏数列的收质

例3(1)已知等差数列⑶}的公差为d(d#O),且的+a6+a]o+ai3=32.若am=8,则m

(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a:+a8+a9=.

答案:(1)8(2)45

解析:(1)由等差数列性质,知a3+a64-ai()+ai3=(a3+ai3)H-(a6+aio)=2ax4-2ax=4ax=

32,**•38=8.;.m=8.

(2)由等差数列的性质,知S3,So-S3,S9-S6成等差数列,・•・2(Sft-S3)=S3f(S9-S6),

a7+as+a9=S9—So=2(S6—S3)—S?=45.

备送交灰(我卿与U

(1)等差数列⑶}中,Sn是⑶}前n项和,已知S6=2,S9=5,则$5=;

(2)给定81个数排成如图所示的数表,若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等

差数列,且表中正中间一个数as5=5,则表中所有数之和为.

anai?•••a:9

aiiai2•••a;9

•••••••••

a9i392•••309

答案:(1)15(2)405

S(>=2,

解析:(1)解法1:由等差数列的求和公式及

lSy=5,

6X5C1

6a,+—d=2,Ja产一药15X14

9X84-.S15=15a,+^-d=15.

(9ai+—2-d=5,Ld=27*

522

员u•S9-S6---=-

解法2:由等差数列性质,知成等差数列,设其公差为D,*9969

••uD=,27,

s52

S9-

115-9-・・・

27Si5=15.

(2)S=(a“+…+a〔9)+…+(a<)i+…+a99)=9(ais+a25+…+a95)=9X9Xas5=405.

照型4冬麦教列中的米依向敢

例4已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n£N*,且满足a2+iu=14,S7=70.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若b0=空#,则数列{悦}的最小项是第几项,并求该项的值.

2ai+4d=14,ai=l,

解:(1)设公差为d,则有解得J

7a)4-21d=70,d=3,

/.an=3n—2.

n,3n2-n

(2)S„=2[l+(3n-2)]=^—,

bn=――:+48=311+修-122d窕*一1=23,当且仅当3n=*,即n=4时取等号.

・•・{%}最小项是第4项,该项的值为23.

各也或式(我师专U

已知在等差数列{an}中,ai=31,Sn是它的前n项和,Sio=S22.

(1)求Sn;

(2)这个数列的前多少项的和最大,并求出这个最大值.

解:(1)*.*Sio=a1+a2+…+a]o,S22=ai+a2~l---Fa22,S)o=S22,»,•aii+ai2+…+a22

12(aii+a”)

=0,-----~--=0,即a“+a22=2ai+31d=0.又a[=31,/.d=—2,

,n(n-1)-

2

:.Sn=nai+--------d=31n—n(n—1)=32n—n.

(2)解法1:由(1)知Sn=32n-M,当n=16时,Sn有最大值,Sn的最大值是256.

2

解法2:由Sn=32n-n=n(32-n),欲使Sn有最大值,应有l<n<32,从而SnW(二野二封)

2

=256,当且仅当n=32—n,即n=l6时,Sn有最大值256.

;新题推荐.

1.(2013・重庆)若2、a、b、c、9成等差数列,则c-a=.

答案:\

解析:由9=2+4<1得(1=:,则c—a=2d=J.

2.(2013•广东)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+27=.

答案:20

解析:3a5+a7=2a5+2a6=2(as+as)=20.

3.(2013•安徽)设Sn为等差数列{aj的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则ag=.

答案:一6

8义7

〃,,8ai+-v-d=4(ai+2d),

解析:由条件得〈2

a+6d=-2,

ai=10,

解得故a=10+8X(-2)=-6.

d=-2,9

4.(2013•新课标)设等差数列{aj的前n项和为Sn,Sm-i=-2,Sm=0,Sm(i=3,则m=

答案:5

===—==

解析:amSm—Sm-i2,am+1Sm+1Sm=3,则d=1,由am2及Sm0得

ai+(m—I)=2,

m(m—1)承得m=5.

ma।+---------------=0,

._精品题库(教师考享)

1.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.

(1)求a及k的值;

(2)设数列{bn}的通项bn=中,证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和

解;(1)设该等差数列为{an},则ai=a,az=4,a,i=3a,由已知有aI3a=8,得ai=a

k(k~~|)k(k—|)

=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka.+----------------d=2k+---------------义2=1?+1<.由Sk=110,

得k2+k—U0=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.

(2)由⑴Sn=“=响+1),则bn=+=n+l,故bn+Lbn=(n+2)—(n+1)=1,

即数列{1}是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn=''(2+;+l)=n(n)3)

2.已知数列1册)为等差数列,若普〈一I,且它们的前n项和工有最大值,求使得Sn<

aio

0的n的最小值.

rai4-9d>0,

a)+10d<0,|9ai

解:由题意知d<0,aio>0,an<0,aio+an<O,由彳,得一行〈才〈一90

2ai+19d<0,2d

、d<0,

2-

=na(4-0d=^n+,由Sn=0得n=0或n=1一乎.

,・,19<1一斗<20,・•・SO的解集为[n£N[n>l一争,故使得Sn〈O的n的最小值为

20.

3.已知数列{厮}中,ai=8,初=2,且满足an+2+a1i=2an+i.

(1)求数列{加}的通项公式;

(2)设Sn是数列{|叫的前n项和,求Sn.

a,]@o_§

解:(1)由2an+i=an+2+an可得{aj是等差数列,且公差d=/_〔=一?一=—2.a=ai

*T1,n

+(n—l)d=-2n+10.

(2)令&会(),得nW5.即当nW5时,.2。;n»6时,a„<O.A当nW5时,Sn=|ai|4-|a2|

2

H----F|an|=ai+a2H----Fan=-n+9n:当n26时,Sn=|ai|4-|a2|H----F|an|=ai4-a2H---Fas

=——22

一(a+a7HFan)­(ai+azdFan)+2(ai+a2Hba5)=(n+9n)4-2X(—5+45)=

[-n24_9n,nW5,

n2—9n+40,S=\、

nln2-9n+40,n26.

4.(2013•大纲卷)等差数列{an}中,a7=4,al9=2a9.

(1)求{aj的通项公式;

(2)设bn=《,求数列{bn}的前n项和Sn.

解:(1)设等差数列(如}的公差为d,则an=ai+(n—l)d.

a7=4,同+6d=4,

因为-所以,、

a)9=2a9,|ai+18d=2(a)+8d).

解得ai=l,d=2-

=

所以{an}的通项公式为an一~.

⑵”一叫一门(n+1:-nn+1*

所以sRHMH)+…+1缶尸磊.

1.等差数列问题,首先应抓住山和d,通过列方程组来解,其他也就迎刃而解了.但若

恰当地运用性质,可以减少运算量.

2.等差数列的判定方法有以下几种:①定义法:%+|—an=d(d为常数);②等差中项

2

法:2an+i=an+an^2;③通项公式法:an=pn+q(p,q为常数);④前n项和公式法:Sn=An

+Bn(A,B为常数).

3.注意设元,利用对称性,减少运算量.

4.解答某曲数列问题,有时不必(有时也不可能)求出某些具体量的结果,可采用整体代

换的思想.

隹型际:请使用课时训练(B)第2课时(见活页).

[备课札记]

第3课时等比数歹IJ(对应学生用书(文”(理)74〜75页)

课前・李咫引,领八

考恃分析考点新知

①理解等比数列的概念.

理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n②掌握等比数列的通项公式与前

项和公式,并能用有关知识解决相应的问题.n项和公式.

③了解等比数列与指数函数的关

系.

篌回归教材

Hll<»<UIA<X\1

1.(必修5Pss习题2(1)改编)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若a1=l,或=32,则S3

答案:7

解析:奇=32,q=2,S3」%j,Z)=7.

2.(必修5P49习题I改编){an}为等比数列,32=6,a5=l62,则{a"的通项公式an=

答案:an=2X3n-1

a】q=6,

==

解析:由az6,as162,得J4所以ai=2,q=3.

[aiq4=162,

3.(必修5P49习题6改编)等比数列{aj中,ai>0,a2a4+2a3a5+a4a(,=36,则a34-a5=

答案:6

解析:a2a4+2a3as+a4a6=(a3+a5)2=36,又ai>0,as,as>(),a?+a5=6.

4.(必修5P49习题7(2)改编)已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k,则k=.

答案:3

解析:由已知得(2k)2=(k+9)(6-k),kEN*,Z.k=3.

5.(必修5P5]例2改编)等比数列⑶}中,S3=7,S6=63,则斯=.

答案:

解析:由已知得a1=l,q=2:/.an=2n

7a识清单

1.等比数列的概念

(1)文字语言:如果一个数列从第三项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,

那么这个数列叫做等比数列.

(2)符号语言:乎_=q(n£N,q是等比数列的公比).

an

2.等比数列的通项公式

设{an}是首项为ai,公比为q的等比数列,则第n项斯=药£二.

推广:an=amq^^-

3.等比中项

若a,G,b成等比数列,则G为a和b的等比中项且G=生痛.

4.等比数列的前n项和公式

(1)当q=1时,Sn=nai.

(2)当qrl时,SL

5.等比数列的性质

nm

(l)a„=a,nq-.

(2)等比数列(a"中,对任意的m、n、p、qUN",若m+n=p+q,则如四三%细.特殊

的,若m+n=2p,则%冏=蜃.

(3)等比数列[anl中依次每m项的和仍成等比数列,即Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、…仍成

等比数列,其公比为吧旺二

[备课札记]

课中-技巧点拨&U

■题很固阿Q理”.

------同打小

电.型1塔比教列的家存运事

例1等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S|,S3,S2成等差数列.

(1)求{&J的公比q;

(2)若a1一aa=3,求Sn.

解:(1)VS),S3,S2成等差数列,

2s3=Si+S2,即2(ai+a2+aa)=ai+ai+a?,

aj1

・・.2a3=-a?,.・.q=£=一亍

(2)a3=aiq2=^ai,:.ai—|ai=3,:.a)=4,

.4一(4)”]88(

•,.1-3A2广

1+2

变式制拄

已知数列{an}的前n项和为Sn,ai=L且2an+i=Sn+2(n£N).

(1)求a2,a3的值,并求数列{a“}的通项公式;

n3

⑵解不等式Lr>Sn(neN).

i=l

3

解:(1):2a2=Si+2=ai+2=3,a2=g.

99

■:2a3=S2+2=a【+a2+2=5,:.a3=].

*.*2an+i=Sn+2,2an=Sn-i+2(n22),两式相减,得2an+1—2an=Sn—2an+i

33

a2?-

—2an=an.则an+i=5an(n22).2

・•・Vi=^,即{an}为等比数列,

dn乙

⑵言=3乂停>-1,...数列图是首项为3,公比为争的等比数列.数列图的前5项为:

c-4816,、必人-丁虫.392781

3,2,yg,而.{aj的前)项为:1,g,a于而

n3n33

An=l,2,3时,2;>Sn成立;而n=4时,£-<S:Vn25时,7-<1,a]>l,

dididnn

i=1i=|

n3

:,£产50.

di

i=1

:.不等式Z=>Sn(n£N)的解集为{1,2,3).

i=I

题型2与比惑.列的利恁S证明

例2已知数列佰力的前n项和为Sn,3Sn=an-l(neN).

(1)求ai,a2;

(2)求证:数列{an}是等比数列;

⑶求即和Sn.

(1)解:由3S]=a]-1,得3al=a]-1,a】=—

又3s2=az—1,即3a1+3a2=az—1,得az=1.

(2)证明:当n22时,an=Sn—Sn-i=;(an—1)—/an-i-1),得;,所以{an}是首

项为一口,公比为一;的等比数列.

(3)解:由(2)可得加=(一

备也卖蚊(及婶专U

+

在数列{斯}中,ai=2,an+i=4an—3n+1,nGN.

(1)求证:数列{an-n}是等比数列;

(2)求数列{aQ的前n项和工;

(3)求证:不等式Sn+iW45n对任意n£N”皆成立.

(1)证明:由题设an+:=4an—3n+1,得an+i—(n+l)=4(an—n),n£N".又a]-1=1,所

以数列{an-n)是首项为1,公比为4的等比数列.

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论