2024年高考数学一轮复习第4章第8讲：正弦定理余弦定理（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第4章第8讲：正弦定理余弦定理

学生版

【考试要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形2理解三角形的面积公式并能应用3能利用

止弦定理、余弦定理解决一些筒单的三角形度量问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.正弦定理、余弦定理

在△A8C中，若角A,B,。所对的边分别是a,b,c,R为△人8c外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

f=、+-2〃ccosA；

__e_______庐=»+〃；

内容sinACinB-sinC~1K42—2ccosB

c2=a2+b?-2abcosC

(l)«=2/?sin4,

Z>=2/?sinB,

护+C2一〃

c=2/?sinC；cosA-2bc；

(2)sin4-2*“/十序一序

变形COS8-2比；

.b.c

sinB-2R，sinC—?R；“2+〃一/

cosC-2ab

(3)t/bc

=sin,4:sin8：sinC

2.三角形解的判断

A为锐角力为钝角或直角

c

/^\0

图形

AzLBA'......A，B

关系式a=bsinAbainA<a<ba》ba>b

解的个数一解两解一解一解

3.三角形中常用的面积公式

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(1)S=2(fha(htl表示边a上的高)；

⑵S=%〃sinC=%csinB=^bcs\nA；

(3)S=；«+〃+c)(r为三角形的内切圆半径).

【常用结论】

在△ABC中，常有以下结论：

(1)NA+N8+NC=TL

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(3)〃>方0A>8QsinA>sinB,cosA<cosB.

(4)sin(A+B)=sinC：cos(A+B)=—cosC：tan(A+8)=—tanC：sin~^~=cosA±B_

1-=

sinf.

(5)三角形中的射影定理

在△AHC中，a=/x:osC+ccosB；b=acosC+ccosA：c=/?cosA+acos及

⑹三角形中的面积S=#p(p_«)(〃-b)(p-cjp=[a+%+

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(X)

(2)在△ABC中，若sin4>sinB,则A>B.(J)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.[X)

(4)当分+°2—〃>0时，△AHC为锐角三角形.(X)

【教材改编题】

I.在△A8C中，48=5,AC=3,BC=1,则N8AC等于()

B号C至D.普

A6

答案C

解析在△48C中,

设八8=c=5,AC=b=3,BC=a=lt

〃+/一/_9+25—49

由余弦定理得cos/BAC1

~lbc——30~V

因为/ZMC为△A8C的内角，

所以N84C=专.

2.记△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为4,。=2,8=30°,

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则C等于()

A.8B.4

J33

答案A

解析由S&A8C=］acsin8=：X2cX尹4,得c=8.

3.在△ABC中，角A,B,C的时边分别为“，b,c,已知8=30。，c=2,则C=.

答案45。或135。

刖at分二施汨•厂csin82sin30°啦

解析由正弦定理得smC=—^―==-y>

因为c>b,8=30。，

所以C=45。或C=135。.

■探究核心题型

题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

reqA

例I(12分)(2022•新高考全国I)记448。的内角4&C的对边分别为小儿c,已知之一?

1Isinr\

sin2B

=I+cos2£

⑴若。若，求&［切入点：二倍角公式化简］

>)119

(2)求气工的最小值.［关键点：找到角8与角C,A的关系］

思路分析

(1)二倍角公式化简一去分

母、两角和与差公式化简一

求出sinB.

(2)由角8,C正余弦关系一

角8与角C,A的关系一丝手

化成正弦一用角3表示角A,

。化简一角8的关系式一基

本不等式.

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答题模板规范答题不丢分

.、e<cosAsin2B2sinBcosBsinS®八■,：

解(1)因为^-r-：--—--——u-------------»*口r分，…①处二倍角公式化简

1+sinA1+cos2B2cos2ficosB

即sin8=cosAcosB-sinAsin8=ccs(A+8)=-cosC=x,2［3分］<②处两角和与差公式化简

而0<8〈号,所以B=*.［4分］

(2)由(I)知，sin8=_cosC>0,

所以*<C<F,

币［分］■*--

sin5=_cosC=sin(c-*6③处找角乩C的正弦关系

所以。=£+用即有A=£-28@[7分]，④处用角5表示角C.A

屋+〃_sin?4+sin?8隼［8分］«

所以⑤处正弦定理化边为角正弦

c2sin2C

22

cos2fi+l-cosZJ1®

—-----------------------------⑥处将角C.人代人化角

cos2B

=(2cos28-l)2+l-cos28

COSsB

2

2⑦处基本不等式求最值

=4cosZ?+coszg-5^472-5.：：10分卜一

当且仅当cos28=1|■时取等号，

所以产-的最小值为44-5.[12分]

思维升华解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果

式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两

个定理都有可能用到.

跟踪训练1（2022•全国乙卷）记△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin（4

—B)=sinBsin(C—A).

(I)证明：2a2=从+~

(2)若a=5,cosA=^,求△ABC的周氏.

⑴证明方法一

由sinCsin(A—B)=sin8sin(C—A),

可得sinCsinAcosB-sinCeosAsinB

=sin/?sinCeos-4—sinAcosCsinA,

b

结合正弦定理

sinAsinBsinC,

可得ciccosB—bccosA=bccosA—abcosC,

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即ocxosB-habeasC=2bccos4*).

由余弦定理可得

八4+c2—从

«ccosB=-----2------，

八『+从一/

a/KosC=-----2------，

2bccosA=/r+c2—a2,

将上述三式代入(*)式整理，

得2/=〃+/.

方法二因为A+8+C=M

所以sinCsin(4—B)=sin(A+£<)sin(A—B)

=sin2Acos22?-cos2Asin2fi

=siirA(l—sin27?)—(1—sin2A)sin2^

=sin?A-sin%,

同理有sinZJsin(C_4)=sin(C+4)sin(C—A)=sin2C_siirA.

又sinCsin(A-8)=sin5sin(C—A),

所以sinM-sin2S=sin2C-sin2A,

即2sin2A=sin2B+sin2C,

故由正弦定理可得2〃2=从+。2.

(2)解由(1)及/n//+c2-2〃ccosA得，a2=2bccosA,所以26c=31.

因为从+。2=21=50,

所以(〃+C)2=〃+C2+2A=81,

得b+c=9,

所以△ABC的周长/=a+/)+c=l4.

题型二正弦定理、余弦定理的简单应用

命题点I三角形的形状判断

例2(1)在△ABC中，角A,8,。所对的边分别是a,b,c,若c—“cos8=(2〃-b)cosA,

则4ABC的形状为()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角二角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案D

解析因为c-acosB=(2a—Z?)cosA,

。=兀一(4+8),

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所以由止弦定理得sin。一sinAcosB

=2sinAcosA—sinBcosA,

所以sinAcos8+cosAsinsinAcosB

=2sin八cosA—sin8cosA,

所以cosA(sinB-sinA)=0,

所以cos4=0或sin8=sinA,

所以A=]或B=A或8=7i—A(舍去)，

所以△A4C为等腰三角形或直角三角形.

⑵在△ABC中，a,4c分别为角A,B,。的对边，守=$而孝，则△48C的形状为()

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

解析由CQSB=1—2sin号，

.1-cosB6/1-cosB

wsin»一，所以,(.一)»

即cosB=*.

方法一由余弦定理得上族宜=%

即4+c2—力2=2/,

所以a2-]-b2=c2.

所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.

方法二由正弦定理得cos3=鬻，

ol11V*

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC=0,又sin3W0,

所以cosC=0,又角。为ZLAEC的内角，

所以。=看所以AABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.

延伸探究将本例(2)中的条件“爱=sii?f"改为“%=崇S+c+4)S+La)=3A",

试判断△ABC的形状.

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解因为黑=*所以由正弦定理得田=*所以8=c

o1II**VIJv

又S+c+4)3+c—a)=3/)c,

所以尻+/-/=*,

•o।o_2»

所以由余弦定理得cos八='，：一一笔二)

AvCZVXrt/C-J

因为A£(0,7i),所以A=W，

J

所以△ABC是等边三角形.

思维升华判断三角形形状的两种思路

(I)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角肪的形状.此时要注意应用人

+4+C=TC这个结论.

命题点2三角形的面积

例3(2022•浙江)在△ABC中,角A,B,。所对的边分别为a,b,c.

3

-

已知4a=yl5c,5

(1)求sinA的值：

(2)若。=11,求△ABC的面积.

解⑴由正弦定理卷=康，

ZB.."SinC

件sinA——~.

34

因为cosC=。所以sinC=w，

-7a亚心”..VBsinC小

又1=：',所以sinA=J——=彳~.

(2)由(1)知sinA=乎，

因为〃=华々，所以0<4§,

所以COSA=¥，

在

5

£

v

-

5

所以c=4小,

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所以S.ABc=^bcsinA=^X11X4小X坐=22.

思维升华三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S=；“〃sinC=T«csinB=^bcs\nA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

乙乙L

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

命题点3与平面几何有关的问题

例4(2023•厦门模拟)如图，已知△ABC的内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,仇1+cos

0=45csinNA8C且△ABC的外接圆面积为号.

(1)求边c的长:

(2)若a=5,延长C3至M,使得cosNAMC=X^-,求

解(I)设△A3C的外接圆半径为R,由题意兀华，解得R=岁.

由题意及正弦定理可得sinNABC(1+cosC)

=yf3sinCsin/ABC,

因为sin/A8CW0,所以I+cosC=^/5sinC,

即2sin(c—5)=1,

因为OVCVTC,所以0一色(一志引，故—尹率即C=§.

故c=2RsinC=2X^^X坐=7.

25+〃一49

(2)因为。=5,c=7,,得后一5。-24=0,

2X5X方

解得6=8(。=一3舍去).

52+72―o2I

在△ABC中，由余弦定理可得COSNABC=\Y<YT=5,

ZA3A//

4、八

所以sin/A〃

由cosNAMC=^^得sinZAMC=^^.

故sinZBAM=sin(ZABC-ZAMC)

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=sin/ABCcosNAMC—cos/AHCsinNAMC=-4

在△ABM中，由正弦定理可得.%片.则8W=Wx喈=5.

sinZB/LWsinNAMB2V749

7

思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问

题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具

体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出

来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方秽即可.若研究最值，常使用函数思想.

跟踪训练2（1）（多选）（2023•合肥模拟）已知△A8C的内角A,B,C所对的边分别为。，Ac,

下列四个命题中正确的是（）

A.若“cosA=Aos8,则△ABC一定是等腰三角形

B.若bcosC+ccosB=b,则aABC是等腰三角形

C•若会=熹=»京，则△ABC一定是等边三角形

D.若8=60。庐=讹，则△A8C是直角三角形

答案BC

解析对于A,若“cosA=Aos3,则由正弦定理得sinAcosA=sin8cos3,

，sin24=sin28,则2A=28或24+28=180°,即A=B或A+8=90°,则△A8C为等腰三

角形或直角三角形，故A错误；

对于B,若bcosC+ccosB=b,则由正弦定理得sinBcosC+sinCeosB=sin（B+O=sinA=

sinfi,即A=&则△ABC是等腰三角形，故B正确；

对于C，若87=出而=京亍则由正弦正理何示7=示而=正］，则tanA=tan3=tanC,

即A=8=C,即△ABC是等边三角形，故C正确；

对于D,由于8=60。，b2=ac,由余弦定理可得力2=ae=/+/—ac,可得（a—c）2=0,解得

a=c,可得A=C=A,故△ABC是等边三角形，故D错误.

（2）在①庐+啦4（'=。2+°2；②8s3=Zxx）sA；③sin8+cos8=啦这三个条件中任选一个填在

卜面的横线中，并解决该问题.

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,,人=W，〃=啦，求△A8C的

面积.

解若选①，则由序+啦

得也%:=/+/一尻

）十02—Wy[iacy[2

由余弦定理得B—

coslac2ac2'

第9页共37页

因为8W（0,it）,

所以8寸

由正弦定理得总=磊，

即啖=弓，解得。=小.

sin?sin1

因为。=兀一4_8=九一/一今=卷

所以sinC=sin!?=S皿（专+今）

.it7t.njt#十小

=sin[cos工十cos彳sin4=4

所以S.M8c=3。戾inC=3X4X巾X#：巾

若选②，因为cos8=Z>cosA,A=三，b=y[i,

aA/2

所以cosB=bcosA=A/2COS京=半.

因为8£（0,兀），

所以8=今

由正弦定理得;13=磊，

即号=当，解得。=小.

因为C=7i—A—B=n—

5it.n

所以sinC=sini2=s,<6+<

,64.

.itit,n.7t#十市

=sm^coscos^sin4=4

所以5乙次=5戾inC=3义小X巾义乖:=兰产

若选③，则由sin8+cosH=dL

得正sin（8+空）=小,

所以sin（B—§=1.

第10页共37页

因为BW（O,兀），

所以B+和你引，

所以3+；=看所以8=全

由正弦定理得*■=&,

sinAsinB

即告=坐？解得〃=木・

sinmsin

因为

5”.仅if

所以sinC=sinT2=s,nl6+4.

.itn.兀.兀#+啦

=sm^cosj4-cos^sin4=4

所以S&A8C=%入sinC=2乂小X•X

（3）（2022•重庆八中模拟）已知△.”（?的内角A,B,C所对的边分别为小b,c,在①cfsinA-

sinC）=（«—Z?）（sinA+sinB）：②2反os八+a=2c：③^^acsin8=『+<?］三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，并解答.

①若，求角8的大小;

②求sinA+sinC的取值范围；

③如图所示，当sinA+sinC我得最大值时，若在△A8C所在平面内取一点D（。与8在4c

两侧），使得线段OC=2,DA=\,求△8CZ）面积的最大值.

解①若选①，

因为c<sinA—sinQ=(«—Z>)(sinA+sinB),

由正弦定理得c)=(a—〃)[〃+〃)，

整理得a2+cr-b2=ac,

*以c©Rcr-\-r-lrac

所以cos8-2ac-2讹

又0<5<7t,所以fi=5.

J

第11页共37页

若选②,

因为2反os/l+a=2c,

"十^一42

由余弦定理得2b.2^+rt=2c,

化筒得，『+/一/=«c,

并卜j二一+4—ac1

所以c°sB=―诟—=赤=5,

又0<3<兀，所以

若选③,

因为斗脑"sinB=a2-1-c2—b2,

2A

由余弦定理得得zcsinB=2accosB,

化简得tanB=小,

又0<8<几，所以

②由①得，4+C=y,

则0<A<y,

34

sinA+sinC=sinA+sin(年-A-2

2

所以3<sin（A+5）Wl,

则sinA+sinC的取值范围是（坐，小.

③当sinA+sinC取得最大值时，A+5=壬

解得A=1,

又，所以△"（：为等边三角形,

令NACO=9.NA£)C=a.AB=AC=BC=a.

则由正弦定理可得总=1

511J（Asin^'

所以sin«=t?sin0.

又由余弦定理得，4=22+12-2X2X1Xcosa,

第12页共37页

所以a2cos20=a2-a2shrO=cos2a_4cosa十4,

所以“cos6=2—cosa.

SLBCD=5XaX2sin（q+e

2

LeosO+gosin6

—cosa）+gsina

—小十sin（。一节W小十1,

当且仅当a=NAOC=需时等号成立,

所以△BCO面积的最大值为小+1.

课时精练

0基础保分练

1.在△ABC中，C=60。，a+2b=8,sinA=6sinB,则c等于（）

A.A/35B.小lC.6D.5

2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若（a+b）（sinA-sinB）=（b+c）sinC,

a=7,则△4AC外接圆的直径为（）

A.14B.7C邛D.-^

JJ

3.（2022•北京模拟）在△ABC中,a,b,c分别是角4,B,。的对边，若小asin8=〃cosA,

且力=25，c=2,则a的值为（）

A.2sB.2

C.25一2D.1

4.（2023•枣庄模拟）在△A3C中，内角A,B,C所对的边分别为如h,c,A=60。，b=\,SAABC

a+b+c

=小，则:sinA+sin8+sin。等」（

A.零B.挈C呼D.2小

5.（2023•马较山模拟）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,设（sin8+sin

=sin2A+（2—也）sinBsinC,\EsinA—2sinB=0,则sin。等于（）

A.gB近

D,2

第13页共37页

V6-V2A/6+V2

4“4

6.(2023•衡阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为“，b,c,已知2cos8(“cosC

+ccosA)=b,lgsinC=|lg3-lg2,则的形状为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

7.(2022•全国甲卷)已知△ABC中，点。在边8C上，/A。8=120。，AD=2,CO=2BD当能

取得最小值时，BD=.

8.(2023•宜春模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,△c,已知〃sinC+csin8=4asin

fisinC,)2+，一/=&,则△HBC的面积为.

9.己知△48C的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,且仪:osC=(2a-c)cos仇

⑴求B：

(2)若力=3,sinC=2sinA,求AABC的面积.

10.(2023・湖州模拟)在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知所sin住+A)=

«sinB.

(1)求角A的大小；

(2)若。，a,c成等比数列，判断△ABC的形状.

第14页共37页

D综合提升练

11.（多选）对于△48C,有如下判断，其中正确的是（）

A.若cosA=cosB,则△ABC为等腰三角形

B.若A>R,则sin4>sinH

C.若。=8,c=10,8=60。，则符合条件的△ABC有两个

D.若:siMA+sMbvsin2G则△ABC是钝角三角形

第15页共37页

在中，内角。所对的边分别为的面

12.AABCA,B,a,b,c,sinAsinBsinC=Qo,4ABC

积为2,则下列选项错误的是（）

A.abc=16^/2

B.若a=4L则

C.△A3。外接圆的半径R=入尼

D・.+磊）峰32sinC

13.（2023・嘉兴模拟）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csinA=4§"cosC,

c=2小，"=8,则a+〃的值是.

14.在△ABC中，已知AB=4,AC=7,3C边的中线AO=£,那么8C=.

D拓展冲刺练

15.（多选）（2023•珠海模拟）已知aABC满足sinA:sinB：sinC=2：3：巾，且△ABC的面枳

、—=乎.则下列命题正确的是（）

A.△ABC的周长为5+巾

B./XABC的三个内角A,B,C1满足关系A+8=2C

C.△ABC的外接同半径为挈

D.ZXABC的中线CO的长为华

16.如图,zMBC的内角A,B,。的对边分别是a,b,c.已知序+/二从+叱，则”,

若线段AC的垂直平分线交AC.于点"，交于点&且8C'=4,则AAC七的面积

为•

2024年高考数学一轮复习第4章第8讲：正弦定理余弦定理

教师版

【考试要求】I.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用3能利用

正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.

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■落实主干知识

【知识梳理】

1.正弦定理、余弦定理

在△A8C中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=2》ccosA；

q=-^-=q=2R

内容sinAjinBsinC"加=。2+/-2C〃CQSB：

2欣osC

(l)fl=2/Csin4,

1=2-sinB,

c=2/?sinC：coM-2bc:

(2)sinA—2R，(r+(r—tr

变形cosB—2ac:

.„b.c

sinB—,R,s】nC-2犬：cr+lr—c2-

cosC-2ah

(3)a:b：c

=sinA:sin8：sinC

2.三角形解的判断

A为锐角A为钝角或直角

C

图形

rK一》

ABAg^^B必

zLA，li

关系式a=bsinAbsinA<a<ba?ba>b

解的个数一解两解…解一解

3.三角形中常用的面积公式

(l)S=gah£%表示边a上的高)；

(2)S=；absinC=|«csin8=g》csin4：

(3)S=Ya+〃+c)(r为三角形的内切圆半径).

<w

【常用结论】

在△AHC中，常有以下结论：

⑴NA+NB+NC=TL

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(2)任意两边之和大于第三边，化总两边之差小于第三边.

(3)a>b^>A>B<=>sinA>sinB,cos/l<cosB.

A+BCA+B

(4)sin(A+B)=sinC：cos(A+Bi=_cosC；tan(A+B)=_tanC：sin-5-=cos

2'cos-2~

C

sm

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosb=acosC+ccosA：c=〃cosA+acos8.

(6)三角形中的面积S=7p(p—a)(p—b)(p-c)(p=1(a+-+e)).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(X)

(2)在aABC中，若sin4>sinB,则A>B.(J)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.[X)

(4)当〃+,2—/>()时，△ABC为锐角三角形.(X)

【教材改编题】

I.在△A8C中，48=5,AC=3,8c=7,则/8AC等于()

A71n兀c2兀八5兀

A6B3CT人不

答案C

解析在△A8C中，

设A8=c=5,AC=b=3,BC=a=7,

,人八Ae/e)/9+25-49I

由余弦定理得cosZBAC=赤=--------=-5，

因为/8AC为△A8C的内角，

所以N84C=专.

2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为小b,c,若△ABC的面积为4,a=2,8=30。,

则c等于()

A.8B.4

「驱D过

L•3•3

答案A

解析由S&A8c=〃sin8=gx2cx/=4,得c=8.

3.在△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知8=30。，〃=巾，c=2,则C=.

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答案45°或135°

而出.「csin82sin30°更

斛析由正弦穴.理得sinC=-%=—于=2

因为c>b,3=30。,

所以C=45°或C=135°.

■探究核心题型

题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1(12分)(2022・新高考全国I)记4/18。的内角A,8,C的对边分别为a",c,已知

sin2B

I+cosIB'

(1)若。=尊求8：［切入点：二倍角公式化简］

/+P

(2)求一-的最小值.［关键点：找到角8与角C,4的关系］

思路分析

(1)二倍角公式化简一去分

母、两角和与差公式化简一

求出sinB.

(2)由角8,C正余弦关系一

a2s

角8与角C,A的关系一

化成正弦一用角3表示角A,

。化简一角8的关系式一•基

本不等式.

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答题模板规范答题不丢分

.、e<cosAsin2B2sinBcosBsinS®八■,：

解(1)因为^-r-：--—--——u-------------»*口r分，…①处二倍角公式化简

1+sinA1+cos2B2cos2ficosB

即sin8=cosAcosB-sinAsin8=ccs(A+8)=-cosC=x,2［3分］<②处两角和与差公式化简

而0<8〈号,所以B=*.［4分］

(2)由(I)知，sin8=_cosC>0,

所以*<C<F,

币［分］■*--

sin5=_cosC=sin(c-*6③处找角乩C的正弦关系

所以。=£+用即有A=£-28@[7分]，④处用角5表示角C.A

屋+〃_sin?4+sin?8隼［8分］«

所以⑤处正弦定理化边为角正弦

c2sin2C

22

cos2fi+l-cosZJ1®

—-----------------------------⑥处将角C.人代人化角

cos2B

=(2cos28-l)2+l-cos28

COSsB

2

2⑦处基本不等式求最值

=4cosZ?+coszg-5^472-5.：：10分卜一

当且仅当cos28=1|■时取等号，

所以产-的最小值为44-5.[12分]

思维升华解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果

式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两

个定理都有可能用到.

跟踪训练1（2022•全国乙卷）记△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin（4

—B)=sinBsin(C—A).

(I)证明：2a2=从+~

(2)若a=5,cosA=^,求△ABC的周氏.

⑴证明方法一

由sinCsin(A—B)=sin8sin(C—A),

可得sinCsinAcosB-sinCeosAsinB

=sin/?sinCeos-4—sinAcosCsinA,

b

结合正弦定理

sinAsinBsinC,

可得ciccosB—bccosA=bccosA—abcosC,

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即ocxosB-habeasC=2bccos4*).

由余弦定理可得

八4+c2—从

«ccosB=-----2------，

八『+从一/

a/KosC=-----2------，

2bccosA=/r+c2—a2,

将上述三式代入(*)式整理，

得2/=〃+/.

方法二因为A+8+C=M

所以sinCsin(4—B)=sin(A+£<)sin(A—B)

=sin2Acos22?-cos2Asin2fi

=siirA(l—sin27?)—(1—sin2A)sin2^

=sin?A-sin%,

同理有sinZJsin(C_4)=sin(C+4)sin(C—A)=sin2C_siirA.

又sinCsin(A-8)=sin5sin(C—A),

所以sinM-sin2S=sin2C-sin2A,

即2sin2A=sin2B+sin2C,

故由正弦定理可得2〃2=从+。2.

(2)解由(1)及/n//+c2-2〃ccosA得，a2=2bccosA,所以26c=31.

因为从+。2=21=50,

所以(〃+C)2=〃+C2+2A=81,

得b+c=9,

所以△ABC的周长/=a+/)+c=l4.

题型二正弦定理、余弦定理的简单应用

命题点I三角形的形状判断

例2(1)在△ABC中，角A,8,。所对的边分别是a,b,c,若c—“cos8=(2〃-b)cosA,

则4ABC的形状为()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角二角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案D

解析因为c-acosB=(2a—Z?)cosA,

。=兀一(4+8),

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所以由止弦定理得sin。一sinAcosB

=2sinAcosA—sinBcosA,

所以sinAcos8+cosAsinsinAcosB

=2sin八cosA—sin8cosA,

所以cosA(sinB-sinA)=0,

所以cos4=0或sin8=sinA,

所以A=]或B=A或8=7i—A(舍去)，

所以△A4C为等腰三角形或直角三角形.

⑵在△ABC中，a,4c分别为角A,B,。的对边，守=$而孝，则△48C的形状为()

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

解析由CQSB=1—2sin号，

.1-cosB6/1-cosB

wsin»一，所以,(.一)»

即cosB=*.

方法一由余弦定理得上族宜=%

即4+c2—力2=2/,

所以a2-]-b2=c2.

所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.

方法二由正弦定理得cos3=鬻，

ol11V*

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC=0,又sin3W0,

所以cosC=0,又角。为ZLAEC的内角，

所以。=看所以AABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.

延伸探究将本例(2)中的条件“爱=sii?f"改为“%=崇S+c+4)S+La)=3A",

试判断△ABC的形状.

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解因为黑=*所以由正弦定理得田=*所以8=c

o1II**VIJv

又S+c+4)3+c—a)=3/)c,

所以尻+