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文档简介
2024年高考数学一轮复习第4章第8讲:正弦定理余弦定理
学生版
【考试要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形2理解三角形的面积公式并能应用3能利用
止弦定理、余弦定理解决一些筒单的三角形度量问题.
■落实主干知识
【知识梳理】
1.正弦定理、余弦定理
在△A8C中,若角A,B,。所对的边分别是a,b,c,R为△人8c外接圆半径,则
定理正弦定理余弦定理
f=、+-2〃ccosA;
__e_______庐=»+〃;
内容sinACinB-sinC~1K42—2ccosB
c2=a2+b?-2abcosC
(l)«=2/?sin4,
Z>=2/?sinB,
护+C2一〃
c=2/?sinC;cosA-2bc;
(2)sin4-2*“/十序一序
变形COS8-2比;
.b.c
sinB-2R,sinC—?R;“2+〃一/
cosC-2ab
(3)t/bc
=sin,4:sin8:sinC
2.三角形解的判断
A为锐角力为钝角或直角
c
/^\0
图形
AzLBA'......A,B
关系式a=bsinAbainA<a<ba》ba>b
解的个数一解两解一解一解
3.三角形中常用的面积公式
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(1)S=2(fha(htl表示边a上的高);
⑵S=%〃sinC=%csinB=^bcs\nA;
(3)S=;«+〃+c)(r为三角形的内切圆半径).
【常用结论】
在△ABC中,常有以下结论:
(1)NA+N8+NC=TL
(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(3)〃>方0A>8QsinA>sinB,cosA<cosB.
(4)sin(A+B)=sinC:cos(A+B)=—cosC:tan(A+8)=—tanC:sin~^~=cosA±B_
1-=
sinf.
(5)三角形中的射影定理
在△AHC中,a=/x:osC+ccosB;b=acosC+ccosA:c=/?cosA+acos及
⑹三角形中的面积S=#p(p_«)(〃-b)(p-cjp=[a+%+
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(X)
(2)在△ABC中,若sin4>sinB,则A>B.(J)
(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.[X)
(4)当分+°2—〃>0时,△AHC为锐角三角形.(X)
【教材改编题】
I.在△A8C中,48=5,AC=3,BC=1,则N8AC等于()
B号C至D.普
A6
答案C
解析在△48C中,
设八8=c=5,AC=b=3,BC=a=lt
〃+/一/_9+25—49
由余弦定理得cos/BAC1
~lbc——30~V
因为/ZMC为△A8C的内角,
所以N84C=专.
2.记△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为4,。=2,8=30°,
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则C等于()
A.8B.4
J33
答案A
解析由S&A8C=]acsin8=:X2cX尹4,得c=8.
3.在△ABC中,角A,B,C的时边分别为“,b,c,已知8=30。,c=2,则C=.
答案45。或135。
刖at分二施汨•厂csin82sin30°啦
解析由正弦定理得smC=—^―==-y>
因为c>b,8=30。,
所以C=45。或C=135。.
■探究核心题型
题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形
reqA
例I(12分)(2022•新高考全国I)记448。的内角4&C的对边分别为小儿c,已知之一?
1Isinr\
sin2B
=I+cos2£
⑴若。若,求&[切入点:二倍角公式化简]
>)119
(2)求气工的最小值.[关键点:找到角8与角C,A的关系]
思路分析
(1)二倍角公式化简一去分
母、两角和与差公式化简一
求出sinB.
(2)由角8,C正余弦关系一
角8与角C,A的关系一丝手
化成正弦一用角3表示角A,
。化简一角8的关系式一基
本不等式.
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答题模板规范答题不丢分
.、e<cosAsin2B2sinBcosBsinS®八■,:
解(1)因为^-r-:--—--——u-------------»*口r分,…①处二倍角公式化简
1+sinA1+cos2B2cos2ficosB
即sin8=cosAcosB-sinAsin8=ccs(A+8)=-cosC=x,2[3分]<②处两角和与差公式化简
而0<8〈号,所以B=*.[4分]
(2)由(I)知,sin8=_cosC>0,
所以*<C<F,
币[分]■*--
sin5=_cosC=sin(c-*6③处找角乩C的正弦关系
所以。=£+用即有A=£-28@[7分],④处用角5表示角C.A
屋+〃_sin?4+sin?8隼[8分]«
所以⑤处正弦定理化边为角正弦
c2sin2C
22
cos2fi+l-cosZJ1®
—-----------------------------⑥处将角C.人代人化角
cos2B
=(2cos28-l)2+l-cos28
COSsB
2
2⑦处基本不等式求最值
=4cosZ?+coszg-5^472-5.::10分卜一
当且仅当cos28=1|■时取等号,
所以产-的最小值为44-5.[12分]
思维升华解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果
式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两
个定理都有可能用到.
跟踪训练1(2022•全国乙卷)记△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(4
—B)=sinBsin(C—A).
(I)证明:2a2=从+~
(2)若a=5,cosA=^,求△ABC的周氏.
⑴证明方法一
由sinCsin(A—B)=sin8sin(C—A),
可得sinCsinAcosB-sinCeosAsinB
=sin/?sinCeos-4—sinAcosCsinA,
b
结合正弦定理
sinAsinBsinC,
可得ciccosB—bccosA=bccosA—abcosC,
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即ocxosB-habeasC=2bccos4*).
由余弦定理可得
八4+c2—从
«ccosB=-----2------,
八『+从一/
a/KosC=-----2------,
2bccosA=/r+c2—a2,
将上述三式代入(*)式整理,
得2/=〃+/.
方法二因为A+8+C=M
所以sinCsin(4—B)=sin(A+£<)sin(A—B)
=sin2Acos22?-cos2Asin2fi
=siirA(l—sin27?)—(1—sin2A)sin2^
=sin?A-sin%,
同理有sinZJsin(C_4)=sin(C+4)sin(C—A)=sin2C_siirA.
又sinCsin(A-8)=sin5sin(C—A),
所以sinM-sin2S=sin2C-sin2A,
即2sin2A=sin2B+sin2C,
故由正弦定理可得2〃2=从+。2.
(2)解由(1)及/n//+c2-2〃ccosA得,a2=2bccosA,所以26c=31.
因为从+。2=21=50,
所以(〃+C)2=〃+C2+2A=81,
得b+c=9,
所以△ABC的周长/=a+/)+c=l4.
题型二正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点I三角形的形状判断
例2(1)在△ABC中,角A,8,。所对的边分别是a,b,c,若c—“cos8=(2〃-b)cosA,
则4ABC的形状为()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角二角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案D
解析因为c-acosB=(2a—Z?)cosA,
。=兀一(4+8),
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所以由止弦定理得sin。一sinAcosB
=2sinAcosA—sinBcosA,
所以sinAcos8+cosAsinsinAcosB
=2sin八cosA—sin8cosA,
所以cosA(sinB-sinA)=0,
所以cos4=0或sin8=sinA,
所以A=]或B=A或8=7i—A(舍去),
所以△A4C为等腰三角形或直角三角形.
⑵在△ABC中,a,4c分别为角A,B,。的对边,守=$而孝,则△48C的形状为()
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
答案A
解析由CQSB=1—2sin号,
.1-cosB6/1-cosB
wsin»一,所以,(.一)»
即cosB=*.
方法一由余弦定理得上族宜=%
即4+c2—力2=2/,
所以a2-]-b2=c2.
所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.
方法二由正弦定理得cos3=鬻,
ol11V*
又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,
所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,
即sinBcosC=0,又sin3W0,
所以cosC=0,又角。为ZLAEC的内角,
所以。=看所以AABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.
延伸探究将本例(2)中的条件“爱=sii?f"改为“%=崇S+c+4)S+La)=3A",
试判断△ABC的形状.
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解因为黑=*所以由正弦定理得田=*所以8=c
o1II**VIJv
又S+c+4)3+c—a)=3/)c,
所以尻+/-/=*,
•o।o_2»
所以由余弦定理得cos八=',:一一笔二)
AvCZVXrt/C-J
因为A£(0,7i),所以A=W,
J
所以△ABC是等边三角形.
思维升华判断三角形形状的两种思路
(I)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角肪的形状.此时要注意应用人
+4+C=TC这个结论.
命题点2三角形的面积
例3(2022•浙江)在△ABC中,角A,B,。所对的边分别为a,b,c.
3
-
已知4a=yl5c,5
(1)求sinA的值:
(2)若。=11,求△ABC的面积.
解⑴由正弦定理卷=康,
ZB.."SinC
件sinA——~.
34
因为cosC=。所以sinC=w,
-7a亚心”..VBsinC小
又1=:',所以sinA=J——=彳~.
(2)由(1)知sinA=乎,
因为〃=华々,所以0<4§,
所以COSA=¥,
在
5
£
v
-
5
所以c=4小,
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所以S.ABc=^bcsinA=^X11X4小X坐=22.
思维升华三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S=;“〃sinC=T«csinB=^bcs\nA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
乙乙L
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
命题点3与平面几何有关的问题
例4(2023•厦门模拟)如图,已知△ABC的内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,仇1+cos
0=45csinNA8C且△ABC的外接圆面积为号.
(1)求边c的长:
(2)若a=5,延长C3至M,使得cosNAMC=X^-,求
解(I)设△A3C的外接圆半径为R,由题意兀华,解得R=岁.
由题意及正弦定理可得sinNABC(1+cosC)
=yf3sinCsin/ABC,
因为sin/A8CW0,所以I+cosC=^/5sinC,
即2sin(c—5)=1,
因为OVCVTC,所以0一色(一志引,故—尹率即C=§.
故c=2RsinC=2X^^X坐=7.
25+〃一49
(2)因为。=5,c=7,,得后一5。-24=0,
2X5X方
解得6=8(。=一3舍去).
52+72―o2I
在△ABC中,由余弦定理可得COSNABC=\Y<YT=5,
ZA3A//
4、八
所以sin/A〃
由cosNAMC=^^得sinZAMC=^^.
故sinZBAM=sin(ZABC-ZAMC)
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=sin/ABCcosNAMC—cos/AHCsinNAMC=-4
在△ABM中,由正弦定理可得.%片.则8W=Wx喈=5.
sinZB/LWsinNAMB2V749
7
思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问
题时,通常是转化到三角形中,利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具
体问题时,常先引入变量,如边长、角度等,然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出
来,再利用正、余弦定理列出方程,再解方秽即可.若研究最值,常使用函数思想.
跟踪训练2(1)(多选)(2023•合肥模拟)已知△A8C的内角A,B,C所对的边分别为。,Ac,
下列四个命题中正确的是()
A.若“cosA=Aos8,则△ABC一定是等腰三角形
B.若bcosC+ccosB=b,则aABC是等腰三角形
C•若会=熹=»京,则△ABC一定是等边三角形
D.若8=60。庐=讹,则△A8C是直角三角形
答案BC
解析对于A,若“cosA=Aos3,则由正弦定理得sinAcosA=sin8cos3,
,sin24=sin28,则2A=28或24+28=180°,即A=B或A+8=90°,则△A8C为等腰三
角形或直角三角形,故A错误;
对于B,若bcosC+ccosB=b,则由正弦定理得sinBcosC+sinCeosB=sin(B+O=sinA=
sinfi,即A=&则△ABC是等腰三角形,故B正确;
对于C,若87=出而=京亍则由正弦正理何示7=示而=正],则tanA=tan3=tanC,
即A=8=C,即△ABC是等边三角形,故C正确;
对于D,由于8=60。,b2=ac,由余弦定理可得力2=ae=/+/—ac,可得(a—c)2=0,解得
a=c,可得A=C=A,故△ABC是等边三角形,故D错误.
(2)在①庐+啦4('=。2+°2;②8s3=Zxx)sA;③sin8+cos8=啦这三个条件中任选一个填在
卜面的横线中,并解决该问题.
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为“,b,c,,人=W,〃=啦,求△A8C的
面积.
解若选①,则由序+啦
得也%:=/+/一尻
)十02—Wy[iacy[2
由余弦定理得B—
coslac2ac2'
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因为8W(0,it),
所以8寸
由正弦定理得总=磊,
即啖=弓,解得。=小.
sin?sin1
因为。=兀一4_8=九一/一今=卷
所以sinC=sin!?=S皿(专+今)
.it7t.njt#十小
=sin[cos工十cos彳sin4=4
所以S.M8c=3。戾inC=3X4X巾X#:巾
若选②,因为cos8=Z>cosA,A=三,b=y[i,
aA/2
所以cosB=bcosA=A/2COS京=半.
因为8£(0,兀),
所以8=今
由正弦定理得;13=磊,
即号=当,解得。=小.
因为C=7i—A—B=n—
5it.n
所以sinC=sini2=s,<6+<
,64.
.itit,n.7t#十市
=sm^coscos^sin4=4
所以5乙次=5戾inC=3义小X巾义乖:=兰产
若选③,则由sin8+cosH=dL
得正sin(8+空)=小,
所以sin(B—§=1.
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因为BW(O,兀),
所以B+和你引,
所以3+;=看所以8=全
由正弦定理得*■=&,
sinAsinB
即告=坐?解得〃=木・
sinmsin
因为
5”.仅if
所以sinC=sinT2=s,nl6+4.
.itn.兀.兀#+啦
=sm^cosj4-cos^sin4=4
所以S&A8C=%入sinC=2乂小X•X
(3)(2022•重庆八中模拟)已知△.”(?的内角A,B,C所对的边分别为小b,c,在①cfsinA-
sinC)=(«—Z?)(sinA+sinB):②2反os八+a=2c:③^^acsin8=『+<?]三个条件中任选
一个,补充在下面问题中,并解答.
①若,求角8的大小;
②求sinA+sinC的取值范围;
③如图所示,当sinA+sinC我得最大值时,若在△A8C所在平面内取一点D(。与8在4c
两侧),使得线段OC=2,DA=\,求△8CZ)面积的最大值.
解①若选①,
因为c<sinA—sinQ=(«—Z>)(sinA+sinB),
由正弦定理得c)=(a—〃)[〃+〃),
整理得a2+cr-b2=ac,
*以c©Rcr-\-r-lrac
所以cos8-2ac-2讹
又0<5<7t,所以fi=5.
J
第11页共37页
若选②,
因为2反os/l+a=2c,
"十^一42
由余弦定理得2b.2^+rt=2c,
化筒得,『+/一/=«c,
并卜j二一+4—ac1
所以c°sB=―诟—=赤=5,
又0<3<兀,所以
若选③,
因为斗脑"sinB=a2-1-c2—b2,
2A
由余弦定理得得zcsinB=2accosB,
化简得tanB=小,
又0<8<几,所以
②由①得,4+C=y,
则0<A<y,
34
sinA+sinC=sinA+sin(年-A-2
2
所以3<sin(A+5)Wl,
则sinA+sinC的取值范围是(坐,小.
③当sinA+sinC取得最大值时,A+5=壬
解得A=1,
又,所以△"(:为等边三角形,
令NACO=9.NA£)C=a.AB=AC=BC=a.
则由正弦定理可得总=1
511J(Asin^'
所以sin«=t?sin0.
又由余弦定理得,4=22+12-2X2X1Xcosa,
第12页共37页
所以a2cos20=a2-a2shrO=cos2a_4cosa十4,
所以“cos6=2—cosa.
SLBCD=5XaX2sin(q+e
2
LeosO+gosin6
—cosa)+gsina
—小十sin(。一节W小十1,
当且仅当a=NAOC=需时等号成立,
所以△BCO面积的最大值为小+1.
课时精练
0基础保分练
1.在△ABC中,C=60。,a+2b=8,sinA=6sinB,则c等于()
A.A/35B.小lC.6D.5
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=(b+c)sinC,
a=7,则△4AC外接圆的直径为()
A.14B.7C邛D.-^
JJ
3.(2022•北京模拟)在△ABC中,a,b,c分别是角4,B,。的对边,若小asin8=〃cosA,
且力=25,c=2,则a的值为()
A.2sB.2
C.25一2D.1
4.(2023•枣庄模拟)在△A3C中,内角A,B,C所对的边分别为如h,c,A=60。,b=\,SAABC
a+b+c
=小,则:sinA+sin8+sin。等」(
A.零B.挈C呼D.2小
5.(2023•马较山模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,设(sin8+sin
=sin2A+(2—也)sinBsinC,\EsinA—2sinB=0,则sin。等于()
A.gB近
D,2
第13页共37页
V6-V2A/6+V2
4“4
6.(2023•衡阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为“,b,c,已知2cos8(“cosC
+ccosA)=b,lgsinC=|lg3-lg2,则的形状为()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形
7.(2022•全国甲卷)已知△ABC中,点。在边8C上,/A。8=120。,AD=2,CO=2BD当能
取得最小值时,BD=.
8.(2023•宜春模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,△c,已知〃sinC+csin8=4asin
fisinC,)2+,一/=&,则△HBC的面积为.
9.己知△48C的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,且仪:osC=(2a-c)cos仇
⑴求B:
(2)若力=3,sinC=2sinA,求AABC的面积.
10.(2023・湖州模拟)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知所sin住+A)=
«sinB.
(1)求角A的大小;
(2)若。,a,c成等比数列,判断△ABC的形状.
第14页共37页
D综合提升练
11.(多选)对于△48C,有如下判断,其中正确的是()
A.若cosA=cosB,则△ABC为等腰三角形
B.若A>R,则sin4>sinH
C.若。=8,c=10,8=60。,则符合条件的△ABC有两个
D.若:siMA+sMbvsin2G则△ABC是钝角三角形
第15页共37页
在中,内角。所对的边分别为的面
12.AABCA,B,a,b,c,sinAsinBsinC=Qo,4ABC
积为2,则下列选项错误的是()
A.abc=16^/2
B.若a=4L则
C.△A3。外接圆的半径R=入尼
D・.+磊)峰32sinC
13.(2023・嘉兴模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csinA=4§"cosC,
c=2小,"=8,则a+〃的值是.
14.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,3C边的中线AO=£,那么8C=.
D拓展冲刺练
15.(多选)(2023•珠海模拟)已知aABC满足sinA:sinB:sinC=2:3:巾,且△ABC的面枳
、—=乎.则下列命题正确的是()
A.△ABC的周长为5+巾
B./XABC的三个内角A,B,C1满足关系A+8=2C
C.△ABC的外接同半径为挈
D.ZXABC的中线CO的长为华
16.如图,zMBC的内角A,B,。的对边分别是a,b,c.已知序+/二从+叱,则”,
若线段AC的垂直平分线交AC.于点",交于点&且8C'=4,则AAC七的面积
为•
2024年高考数学一轮复习第4章第8讲:正弦定理余弦定理
教师版
【考试要求】I.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用3能利用
正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
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■落实主干知识
【知识梳理】
1.正弦定理、余弦定理
在△A8C中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
定理正弦定理余弦定理
a2=2》ccosA;
q=-^-=q=2R
内容sinAjinBsinC"加=。2+/-2C〃CQSB:
2欣osC
(l)fl=2/Csin4,
1=2-sinB,
c=2/?sinC:coM-2bc:
(2)sinA—2R,(r+(r—tr
变形cosB—2ac:
.„b.c
sinB—,R,s】nC-2犬:cr+lr—c2-
cosC-2ah
(3)a:b:c
=sinA:sin8:sinC
2.三角形解的判断
A为锐角A为钝角或直角
C
图形
rK一》
ABAg^^B必
zLA,li
关系式a=bsinAbsinA<a<ba?ba>b
解的个数一解两解…解一解
3.三角形中常用的面积公式
(l)S=gah£%表示边a上的高);
(2)S=;absinC=|«csin8=g》csin4:
(3)S=Ya+〃+c)(r为三角形的内切圆半径).
<w
【常用结论】
在△AHC中,常有以下结论:
⑴NA+NB+NC=TL
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(2)任意两边之和大于第三边,化总两边之差小于第三边.
(3)a>b^>A>B<=>sinA>sinB,cos/l<cosB.
A+BCA+B
(4)sin(A+B)=sinC:cos(A+Bi=_cosC;tan(A+B)=_tanC:sin-5-=cos
2'cos-2~
C
sm
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcosC+ccosb=acosC+ccosA:c=〃cosA+acos8.
(6)三角形中的面积S=7p(p—a)(p—b)(p-c)(p=1(a+-+e)).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(X)
(2)在aABC中,若sin4>sinB,则A>B.(J)
(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.[X)
(4)当〃+,2—/>()时,△ABC为锐角三角形.(X)
【教材改编题】
I.在△A8C中,48=5,AC=3,8c=7,则/8AC等于()
A71n兀c2兀八5兀
A6B3CT人不
答案C
解析在△A8C中,
设A8=c=5,AC=b=3,BC=a=7,
,人八Ae/e)/9+25-49I
由余弦定理得cosZBAC=赤=--------=-5,
因为/8AC为△A8C的内角,
所以N84C=专.
2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为小b,c,若△ABC的面积为4,a=2,8=30。,
则c等于()
A.8B.4
「驱D过
L•3•3
答案A
解析由S&A8c=〃sin8=gx2cx/=4,得c=8.
3.在△A8C中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知8=30。,〃=巾,c=2,则C=.
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答案45°或135°
而出.「csin82sin30°更
斛析由正弦穴.理得sinC=-%=—于=2
因为c>b,3=30。,
所以C=45°或C=135°.
■探究核心题型
题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1(12分)(2022・新高考全国I)记4/18。的内角A,8,C的对边分别为a",c,已知
sin2B
I+cosIB'
(1)若。=尊求8:[切入点:二倍角公式化简]
/+P
(2)求一-的最小值.[关键点:找到角8与角C,4的关系]
思路分析
(1)二倍角公式化简一去分
母、两角和与差公式化简一
求出sinB.
(2)由角8,C正余弦关系一
a2s
角8与角C,A的关系一
化成正弦一用角3表示角A,
。化简一角8的关系式一•基
本不等式.
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答题模板规范答题不丢分
.、e<cosAsin2B2sinBcosBsinS®八■,:
解(1)因为^-r-:--—--——u-------------»*口r分,…①处二倍角公式化简
1+sinA1+cos2B2cos2ficosB
即sin8=cosAcosB-sinAsin8=ccs(A+8)=-cosC=x,2[3分]<②处两角和与差公式化简
而0<8〈号,所以B=*.[4分]
(2)由(I)知,sin8=_cosC>0,
所以*<C<F,
币[分]■*--
sin5=_cosC=sin(c-*6③处找角乩C的正弦关系
所以。=£+用即有A=£-28@[7分],④处用角5表示角C.A
屋+〃_sin?4+sin?8隼[8分]«
所以⑤处正弦定理化边为角正弦
c2sin2C
22
cos2fi+l-cosZJ1®
—-----------------------------⑥处将角C.人代人化角
cos2B
=(2cos28-l)2+l-cos28
COSsB
2
2⑦处基本不等式求最值
=4cosZ?+coszg-5^472-5.::10分卜一
当且仅当cos28=1|■时取等号,
所以产-的最小值为44-5.[12分]
思维升华解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果
式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两
个定理都有可能用到.
跟踪训练1(2022•全国乙卷)记△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(4
—B)=sinBsin(C—A).
(I)证明:2a2=从+~
(2)若a=5,cosA=^,求△ABC的周氏.
⑴证明方法一
由sinCsin(A—B)=sin8sin(C—A),
可得sinCsinAcosB-sinCeosAsinB
=sin/?sinCeos-4—sinAcosCsinA,
b
结合正弦定理
sinAsinBsinC,
可得ciccosB—bccosA=bccosA—abcosC,
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即ocxosB-habeasC=2bccos4*).
由余弦定理可得
八4+c2—从
«ccosB=-----2------,
八『+从一/
a/KosC=-----2------,
2bccosA=/r+c2—a2,
将上述三式代入(*)式整理,
得2/=〃+/.
方法二因为A+8+C=M
所以sinCsin(4—B)=sin(A+£<)sin(A—B)
=sin2Acos22?-cos2Asin2fi
=siirA(l—sin27?)—(1—sin2A)sin2^
=sin?A-sin%,
同理有sinZJsin(C_4)=sin(C+4)sin(C—A)=sin2C_siirA.
又sinCsin(A-8)=sin5sin(C—A),
所以sinM-sin2S=sin2C-sin2A,
即2sin2A=sin2B+sin2C,
故由正弦定理可得2〃2=从+。2.
(2)解由(1)及/n//+c2-2〃ccosA得,a2=2bccosA,所以26c=31.
因为从+。2=21=50,
所以(〃+C)2=〃+C2+2A=81,
得b+c=9,
所以△ABC的周长/=a+/)+c=l4.
题型二正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点I三角形的形状判断
例2(1)在△ABC中,角A,8,。所对的边分别是a,b,c,若c—“cos8=(2〃-b)cosA,
则4ABC的形状为()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角二角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案D
解析因为c-acosB=(2a—Z?)cosA,
。=兀一(4+8),
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所以由止弦定理得sin。一sinAcosB
=2sinAcosA—sinBcosA,
所以sinAcos8+cosAsinsinAcosB
=2sin八cosA—sin8cosA,
所以cosA(sinB-sinA)=0,
所以cos4=0或sin8=sinA,
所以A=]或B=A或8=7i—A(舍去),
所以△A4C为等腰三角形或直角三角形.
⑵在△ABC中,a,4c分别为角A,B,。的对边,守=$而孝,则△48C的形状为()
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
答案A
解析由CQSB=1—2sin号,
.1-cosB6/1-cosB
wsin»一,所以,(.一)»
即cosB=*.
方法一由余弦定理得上族宜=%
即4+c2—力2=2/,
所以a2-]-b2=c2.
所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.
方法二由正弦定理得cos3=鬻,
ol11V*
又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,
所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,
即sinBcosC=0,又sin3W0,
所以cosC=0,又角。为ZLAEC的内角,
所以。=看所以AABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.
延伸探究将本例(2)中的条件“爱=sii?f"改为“%=崇S+c+4)S+La)=3A",
试判断△ABC的形状.
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解因为黑=*所以由正弦定理得田=*所以8=c
o1II**VIJv
又S+c+4)3+c—a)=3/)c,
所以尻+
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