2024年高考模拟数学试卷(理)

数学科试题（理科）

留意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题片上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只

有一项是符合题目要求的

1.已知集合4={4^-2X一3>0},8={2,3,4},贝iJ（C；A）c8=

A.{2,3}B.[2,3,4}C.{2}D.0

1—

2.已知i是虚数单位，z=—，则z-z=

A.V5B.Vio

执行如图所示的程序框图，若输入的点为则输出的〃值为

CW)

/输入P（*J）/

71=1|

n=n+l

（第3题）（第4题）

4.如图，A8CO是边长为8的正方形，若且尸为BC的中点，则以•四=

3

A.10B.12C.16D.20

p+y<2

5.若实数MV满意,y—xKl.则z=2。8》的最大值是

y>0

A.4B.8C.16D.32

6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为

A.16A/5+8A/2+32

B.32括+32

力28»li8—*1

正碉.例襁图

C.16后+32r

D.16石+16&+32

R8»l

7.5张卡片上分别写有0,1,2,3,4,若从这5张卡片中随机就履图张，则取出的2张卡片

上的数字之和大于5的概率是

A.1B,1

c.AD.i

1()51()5

8.设S”是数列｛凡｝的前〃项和，旦q：=T，4用=S“5+I,则%=

A.±B.」C.±D.」

3()3()2()20

9.函数/("=In匕土的大致图像为

小4

\\T'HT

ABCD

10.底面为矩形的四棱锥P-A8CD的体积为8,若PA_L平面A8CO,且E4=3,则四棱锥

P-ABCD的外接球体积最小值是

25125

A.—7iB.125/rC.----TVD.25万

66

11.已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点，以AB

为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3,则抛物线的准线方程为

A.x=-1R.丫=————C.x=———D.x——>/3

23

12.已知函数/(x)=x2-lnx(xN专),函数g(x)=x-J,直线)，=/分别与两函数交于

A.B两点,则|Aq的最小值为

13

A.—B.1C.—D.2

22

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设样本数据芭，马----v2(ll8的方差是5,若y=3七+1(i=1,2,…2018),则乃，为，…，

y加8的方差是________

14.已知函数/(x)=sin3•一百COS5(3>0),若/=3,则方程/(x)=T在(0,乃)的实

数根个数是_

15.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2.9填入3x3的方格内，

使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15(如图).一般地，将连续的正整数1,2,

3,…，填入〃x〃的方珞内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方

形就叫做〃阶幻方.记〃阶幻方的一条对角线上数的和为N”(如：在3阶幻方中,

M=15),则N$=

16.已知AABC中，内角力，氏。所对的边分别为a,b,c,且c=l,C=-.

3

若sinC+sin(A-B)=sin2B,则MBC的面积为

三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考

题，考生依据要求做答，每题10分.

17.(本小题满分12分)

设数列伍”｝是公差为d的等差数列.

(I)推导数列｛%｝的通项公式；

(II)设"工0,证明数列｛成+1｝不是等比数列.

18.(本小题满分12分)

某中学为了解全校学生的上网状况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)

进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0,

5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25],得到如图所示的频率分布直方图.

女生组男生组

(I)写出女生组频率分布直方图中。的值；

(II)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X表示随

机抽I仅的2人中男生的人数，求X的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

在直三棱柱A8C-AMG中，AB=AC=AA1=2,BA1CA

(I)证明:BC}1AB.；

(II)求直线A。与平面46G所成的角.

20.(木小题满分12分)

22

在平而直角坐标系xoy中，已知椭圆E:二+冬=1(。＞力＞0),

a~b~

圆0：/+丫2=尸(0＜’.＜勿，若圆。的一条切线/：),=履+〃7与椭圆石相交于A8两

点.

(1)当k=一，/=1,若点A,3都在坐标轴的正半轴上,求椭圆的方程；

3

(II)若以A8为直径的圆经过坐标原点，探究。,上广之间的等量关系.

21.(本小题满分12分)

已知函数/(幻=/一以(e是自然对数的底数).

(I)求/(用的单调区间；

(II)若a之一1,当.叶⑺之1一头匚主2+3办一1+，〃对随意工£[0,+8)恒成

立时，，〃的最大值为1,求实数a的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分，做答时请先将

对应题号用铅笔涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程

在直角坐标系戈Oy中，曲线G的参数力程为•y1]+3s：g(9为参数)•以坐标原点为

极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=2cosO.

(I)写出G的一般方程和的直角坐标方程：

(II)设点P在G上，点。在02上，推断G与C2的位置关系并求I尸QI的最小值.

23.(本小题满分10分)选修4一5：不等式选讲

已知函数f(x)=k+H+|2x-l](m>0).

(I)当"7=1时，解不等式/(x)22：

(H)当时，不等式:/。)之,+1|恒成立，求实数”的取值范围.

数学科答案(理科)

一、选择题1-5AC4。力6-10A8C8C

二、填空题13.返14.315.6516.彳或不

三、解答题

17解：(1)因为｛〃，，｝是等差数列且公差为d,所以。“一可7="(〃22)i

=d,a3-a2=d...,an-an_x=d3

将上述式子相加，得an-ax=(n-\)d

所以，数列｛凡｝的通项公式为凡=4+(〃T)"6

(2)假设数列伍”+1)是等比数列，7

当〃22时，〃2+1，%+1，成等比数列

所以(/+1)2=«*+1).(/+]+1)9

所以(4+l)2=Kq+D-dH&+l)+d]

所以j=0,所以”=0,这与dw0冲突

所以，数列伍〃+1｝不是等比数列.......................12

18.解：(1)由频率分布直方图，得a.-Qx0。2+；03+0.08)x5错误!未找到引用

源。=0.05.3

(2)在抽取的女生中，月上网次数不少于20的学生的频率为0.02X5=0.1,

学生人数为0.1X20=2.4

同理，在抽取的男生中，月上网次数不少于20的

学生人数为0.03X5X20=3,5

故X的全部可能取值为0,1,2,

则P(X=0)=2=,错误！未找到引用源。，P(X=1)=华=9错误！未找到引

C；10C；10

C23

用源。，P{X=2)=—v=—

c；io.....................

所以X的分布列为

0i2

133

P

io5To

所以爪A)=0X5错误！未找到引用源。+1x2错误！未找到引用源。_3_=6

105To5

错误！未找到引用源。.12

19.解：(1)由题意，以A为坐标原点，以AB,AC,所在直线分别为轴，y

轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz.

因为A8=AC=A4|=2

则40,0,0)，3(2,0,0),0(0,2,0),A(0,0,2),耳(2,0,2),C,(0,2,2)............3

所以犯二(-2,2,2),淳=(2,0,2)

所以心瓯=-4+0+4=0.....................................................................................4

所以届J.丽,所以

BC}1AB{f

(2)又因为“=(2,0-2),所以心•还=4+()-4=0

所以蔽_1_而又因为A8c8G=8

所以AM_L平面A/G，..........................................................................................€

—>—►—>—4I

又AC=(0,2,-2),所以COS<4C，A4>==一一.................10

V8,V82

—>—>24

所以<ACA8|>=y,........................................................................................11

所以直线AC与平面A8G所成的角为£..............................12

6

20.解（1）因为圆。的一条切线为/：y=kx+m

所以，i^=〃，当攵=一!,r=l,所以帆=萼

2

又点A"都在坐标轴的正半轴上，所以〃?=半，所以切线/：）,=—；工+半

所以两点坐标是（。，罟■）和（师）

4,B,0,4

所以椭圆的方程为法=1

5

（2）设4（内,凹），3（通,必），以48为直径的圆经过坐标原

所以用占+%乂=。，所以芭々+（&%+〃川攵玉+"。=06

所以(1+«2)芭4+&〃2(X]+々)+〃/=0

X4=i

由下十+户所以(从+a-k~)x~+2knurx+a-m--crb~=0

y=kx+m

a2m2-a2b2-Ikma2

所以王当=a2k2+b，'芭

8

所以(222222222

1+k)(am-ab)+kui(-2kirkr)+m(ak+b)=O10

且〃/=r2(\+k2)

所以(a2+b2)r2(l+Z:2)=(1+k2)a2b2,11

111

所以r+77=-7

a-b-r....................................................12

21.解(1)因为/'*)=--〃1

①aWO时，/'(©NO恒成立，所以/(x)在R上单调递增，无减区间；.......2

rx

②々>0时，f(x)=e-a=0^x=\naf

且x€(-oo,Ina)时，f\x)<0xe(lna,+oo)时，f\x)>0,

所以/(A)的增区间是(In凡+2)，减区间是(-8,Ina)4

32

(2)xf'(x)>x-"+3x+3ax-1+〃?对随意xe[0,+8)恒成立，

2

r32

所以x(e-ax)>x-"+3x+30r-1+m对随意xw|0,+8)恒成立

2

所以/〃Wx(ex-x2+.0x-3a)+l对随意xe[0,十s)恒成立..............5

2

设g(x)=e"一x?+"x-3a,xe[0,+8),因为m的最大值为1,..........6

2

所以g(x)=ex-x2+Dx-3a>0恒成立

ga)=e'-2x+^^,..................................................7

令〃(幻=犬_2/3*1)

f

所以"(x)=e'一2=。有x=ln2,且xe[0,ln2),h(x)<0fxe[ln2,+oo),h'(x)>0

所以，(x)Ng'(ln2)=2+永〃+1)-21n2>0

所以g(x)在x£[0,+8)是单调递增的。...................................10

所以g(x)Ng(0)=1-3〃20恒成立，所以.............................11

所以实数。的取值范围是[—1,1]...........................................12

22.解：(I)G的一般方程为：2+—1)2=9............(2分)

将