第十一章三角形拔高易错重难点本章检测题型汇编课件人教版数学八年级上册

2023秋季学期八年级数学上·RJ十一章三角形--拔高、易错、重难点、本章检测题型汇编基础专练1．(教材P14例3变式)(2022－2023·贵州期中)如图，已知AD，CE是△ABC的高．试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由．类型一不同顶点处的两条高解：∠1＝∠2.理由如下：∵AD，CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.∴∠2＋∠B＝90°，∠1＋∠B＝90°.∴∠1＝∠2.【结论变式】(2022·乐平市期末)在△ABC中，两条高BD，CE所在的直线相交于点O.(1)当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠BOC＋∠BAC＝180°；(1)证明：∵BD，CE是△ABC的两条高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.∴∠BAC＋∠ABD＝90°，∠BOE＋∠ABD＝90°.∴∠BAC＝∠BOE.∵∠BOC＋∠BOE＝180°，∴∠BOC＋∠BAC＝∠BOC＋∠BOE＝180°.(2)当∠BAC为钝角时，如图②，请在图②中画出相应的图形(用三角尺)，并回答(1)中结论是否成立，不需证明(2)解：如图②所示．(1)中结论成立．解析：∵BD，CE是△ABC的两条高，∴∠OEB＝∠BDC＝90°.∴∠BOC＋∠OBE＝90°，∠DAB＋∠OBE＝90°.∴∠BOC＝∠DAB.∵∠DAB＋∠BAC＝180°，∴∠BOC＋∠BAC＝∠DAB＋∠BAC＝180°.【结论应用】(2022·新乡封丘县期末)在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于点O，若△ABC不是直角三角形，且∠A＝70°，则∠BOC＝110°或70°.类型二不同顶点处的角平分线与高结合求角度2．(2022－2023·孝义市期中)如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC，AD与BE相交于点P，∠ABC＝70°，∠C＝40°，求∠CAD和∠DPE的度数．解：∵△ABC中，∠ABC＝70°，∠C＝40°，AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－40°＝50°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝

∠ABC＝35°.∴∠DPE＝∠CBE＋∠BDP

＝35°＋90°＝125°.【图形变式】如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC，点F是射线BA上一点，过点F作FD⊥BC，垂足为D，FD与BE交于点P.已知∠BAC＝80°，∠C＝30°，求∠DPE的度数．解：在△ABC中，∠ABC＝180°－∠BAC－∠C

＝70°.【延伸设问】写出∠DPE与∠ABC之间的数量关系：∠DPE＝90°＋

∠ABC.∵FD⊥BC，BE平分∠ABC，∴∠PDB＝90°，

∠CBE＝

∠ABC＝35°.∴∠DPE＝∠CBE＋∠PDB

＝35°＋90°＝125°.类型三同一顶点处的角平分线与高结合求角度3．(教材P29复习题T8变式)如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，已知∠ABC＝α，∠ACB＝β(α＞β)．(1)若α＝55°，β＝35°，

则∠DAE＝10°；(2)小明说：“无需给出α，β的具体度数，只需确定α与β的差值，即可固定∠DAE的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确．解：∵∠ABC＝α，∠ACB＝β，∴∠BAC＝180°－α－β.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝

∠BAC＝

(180°－α－β)．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝90°－α.∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝

(180°－α－β)－(90°－α)＝

(α－β)．∴∠DAE的度数与α，β的具体度数无关，

只和α与β的差值有关．∴小明的说法是正确的．【图形变式】(1)在图①中，∠B＝x，∠C＝y(x＞y)，其他条件不变，若把“AD是△ABC的高”

改为“F是线段AE上一点，FD⊥BC于D”，试用x，y表示∠DFE＝

(x－y)；

(直接写结果)图①(2)在图②中，若把(1)中的“点F是线段AE上一点”改为“点F是AE延长线上一点”，

其余条件不变，试用x，y表示∠DFE＝

(x－y)．(直接写结果)图②【逆向变式】(2022·温州期中改编)如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，CD平分∠ACB，∠ACE＝

∠B，且∠ECD＝10°，∠A＞∠B，求∠B的度数．解：∵CE⊥AB，∴∠A＝90°－∠ACE＝90°－

∠B.易知∠ECD＝

(∠A－∠B)＝10°，∴90°－

∠B－∠B＝20°.∴∠B＝40°.【易错变式】在△ABC中，CD和CE分别是角平分线和高，若∠ECD＝10°，∠ACB＝80°，求∠A的度数．解：∵∠ACB＝80°，∴∠A＋∠B＝100°①.∵∠ECD＝10°，∴∠ECD＝

(∠A－∠B)＝10°②，或∠ECD＝

(∠B－∠A)＝10°③，联立①②，或①③，解得∠A＝60°或∠A＝40°.解题技巧专题类型一两内角平分线的夹角【教材P29复习题T11变式】【模型推理】1．如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．有位同学得出∠BPC＝90°＋

∠A的结论，你认为正确吗？请给出理由．解：正确．理由如下：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＋∠PCB＝

(∠ABC＋∠ACB)＝

(180°－∠A)＝90°－

∠A.∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－(90°－

∠A)＝90°＋

∠A.【模型应用】2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E.若∠BED＝45°，则∠C的度数为

90°.3．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，点P是∠BOC和∠OCB的平分线的交点．若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数为

.【解析】∵点P是∠BOC和∠OCB的平分

线的交点，∴∠OPC＝90°＋

∠OBC＝100°.∴∠OBC＝20°.∴∠ABC＝2∠OBC＝40°.∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠A

＝60°.4．如图，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的三等分线(∠DBC＝

∠ABC，∠DCB＝

∠ACB)，则∠D与∠A之间存在的数量关系是∠D＝120°＋

∠A.【延伸设问】若BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的n等分线(∠DBC＝

∠ABC，∠DCB＝

∠ACB)，则∠D与∠A之间存在的数量关系是

∠D＝180°－

(180°－∠A)

(用含n的式子表示)．类型二一内角平分线与一外角平分线的夹角5．如图，在△ABC中，E是边BC延长线上一点，∠ABC的平分线BO与∠ACE的平分线CO交于点O.求证：∠BOC＝

∠A.证明：∵∠ABC的平分线BO与∠ACE的平分线CO交于点O，∴∠ABO＝∠CBO＝

∠ABC，∠ECO＝∠ACO＝

∠ACE.∴∠BOC＝∠ECO－∠OBC＝

∠ACE－

∠ABC＝

(∠ACE－∠ABC)＝

∠A.【模型拓展】6．如图，在△ABC中，∠BAC＝m°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点，P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点，…，Pn是△BPn－1C的内角∠Pn－1BC的平分线BPn与外角∠Pn－1CE的平分线CPn的交点，则∠Pn的度数为

.7．(2022·巴中平昌县期末)如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为(A)A．30°B．45°C．20°D．22.5°【模型应用】8．如图，△ABC中，∠A＝50°，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为

102.5°.9．(2022－2023·天门期中)如图，∠XOY＝90°，点A是射线OX上的一个动点，点B是射线OY上的一个动点，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C.(1)当∠OAB＝50°时，求∠ACB的度数；解：(1)∵∠AOB＝90°，∠OAB＝50°，∴∠ABY＝∠AOB＋∠OAB＝140°.∵AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠1＝∠2＝

∠OAB＝25°，∠3＝∠4＝

∠ABY＝70°.∵∠4＝∠ACB＋∠1，∴∠ACB＝∠4－∠1＝45°.(2)试问动点A，B分别在射线OX，OY上运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A，B的运动发生变化，请求出变化的范围．(2)∠ACB的大小不发生变化．证明如下：∵AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠1＝

∠OAB，∠4＝

∠ABY.∵∠4＝∠ACB＋∠1，∴∠ACB＝∠4－∠1＝

∠ABY－

∠OAB＝

(∠ABY－∠OAB)＝

×90°＝45°.类型三两外角平分线的夹角【模型推理】10．(1)如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则∠BOC与∠A的关系为∠BOC＝90°－

∠A；(2)请就(1)中的结论进行证明．证明：如图，∵BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线，∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB＋∠A，∠ECB＝2∠2＝∠ABC＋∠A.∴2∠1＋2∠2＝∠A＋∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°.∴∠1＋∠2＝

∠A＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－(∠A＋90°)＝90°－

∠A.【模型拓展】11．如图，点O是△ABC内角平分线的交点，点I是△ABC外角平分线的交点，则∠O与∠I的数量关系是

∠O＋∠I＝180°.【模型应用】12．【注重分类讨论思想】如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．解：如图，延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线．易知∠E＝

∠A，∠EBQ＝∠EBC＋∠CBQ＝

∠ABC＋

∠MBC＝

(∠ABC＋∠MBC)＝90°.如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①若∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∴∠A＝2∠E＝90°.②若∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∴∠E＝45°.∴∠A＝2∠E＝90°.③若∠Q＝2∠E，则90°－

∠A＝∠A，解得∠A＝60°.④若∠E＝2∠Q，则

∠A＝2(90°－

∠A)，解得∠A＝120°.综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°.综合滚动练习类型一运用“A字形”结论求角度和模型与结论：如图，∠ADE＋∠AED＝∠ABC＋∠C.1．如图，已知∠A＝40°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．解：∵∠A＝40°，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4

＝180°－∠A＝140°.∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°.类型二运用“飞镖形”结论求角度和2．【模型推理】(1)如图①，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C；证明：如图①，连接AO并延长．∵∠3是△ABO的外角，∴∠1＋∠B＝∠3.∵∠4是△AOC的外角，∴∠2＋∠C＝∠4.∴∠3＋∠4＝∠1＋∠B＋∠2＋∠C，即∠BOC＝∠BAC＋∠B＋∠C.证明：如图，设AD，CE交于点N，利用(1)中的结论，可得∠DNE＝∠B＋∠D＋∠E.∵∠ANC＝∠DNE，∠ANC＋∠A＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.【模型应用】(2)如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋