不等式课件高一上学期数学人教B版

人教B版

数学

必修第一册第二章等式与不等式习题课——不等式课标定位素养阐释1.掌握不等式的性质,并能应用性质证明一些简单问题.2.掌握证明不等式的常用方法:作差法、分析法、综合法和反证法.3.会解一元二次不等式.4.能灵活运用均值不等式求最值.5.提升逻辑推理和数学运算素养.自主预习新知导学一、不等式的性质1.(1)a>b,c>0⇒ac>bc;(2)a>b,c<0⇒ac<bc;(3)a>b,b>c⇒a>c;(4)a>b,c>d⇒a+c>b+d;(5)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;(6)a>b>0⇒an>bn(n∈N,n>1);2.(1)下列命题是真命题的是(

)A.若,则a<bB.若a>b,则a3>b3C.若a>b,b≥c,则a≥cD.若a≥b,c≥d,则ac≥bd答案:B(2)已知a<b<0,c>d>0,求证:ac<bd.证明:∵a<b<0,∴-a>-b>0.又c>d>0,∴-ac>-bd,∴ac<bd.二、一元二次不等式1.(1)如果x1<x2,则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1,x2),不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).(2)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式,然后根据k的正负等知识可得到原不等式的解集.2.解下列不等式:(1)(3-x)(x+6)≥0;(2)x2-4x+3≤0.解:(1)原不等式等价于(x-3)(x+6)≤0,解得-6≤x≤3,故原不等式的解集为[-6,3].(2)∵x2-4x+3≤0,∴(x-2)2≤1,∴-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.故原不等式的解集为[1,3].三、均值不等式1.(1)如果a,b都是正数,那么,当且仅当a=b时,等号成立.(2)a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.(1)已知t>0,求

的最小值.(2)已知x,y都是正实数,且x+2y-xy=0,求x+2y的最小值.令x+2y=t,则t2≥8t,∴t≤0或t≥8.∵t=x+2y>0,∴t≥8,即x+2y的最小值为8.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立.(

)(2)不等式x2≤0的解集为⌀.(

)(3)若-6<a<8,-4<b<2,则-2<a-b<6.(

)(4)若a<b,c>d,则a-c<b-d.(

)×××√合作探究释疑解惑探究一证明不等式【例1】

已知a>0,a2-2ab+c2=0,bc>a2,求证:b>c>a.分析:已知条件中含有等式和不等式,可考虑从等式出发,找出未知数间的等量关系,再代入不等式证明.证法一：由a2-2ab+c2=0,a>0,得b=,a2+c2=2ab.∵a>0,∴b>0.又bc>a2>0,∴c>0.∵(a-c)2≥0,即a2+c2-2ac≥0,∴2ab-2ac≥0,即2a(b-c)≥0,∴b-c≥0.若b-c=0,即b=c,则由a2-2ab+c2=0,得a=b=c,∴bc=a2.这与bc>a2矛盾,∴b-c>0,即b>c.∴(a-c)(2a2+ac+c2)<0.∵a>0,b>0,c>0,∴a-c<0,即a<c.∴b>c>a.证法二：由a2+c2=2ab>0,a>0,得b>0.由b>0,bc>a2,得c>0.∵2ab=a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时,等号成立.∴b≥c.若b=c,则a=b=c,∴bc=a2,这与bc>a2矛盾.∴b>c.由b>c,bc>a2,得b2>bc>a2,∴b>a.又a2+c2=2ab>2a2,∴c2>a2,∴c>a.综上可知b>c>a.不等式的性质和均值不等式是进行不等关系推理运算的理论基础和工具,应注意准确应用,保证每一步的推理都有根据.证明时可灵活运用不等式证明的各种方法,如作差法、分析法、综合法、反证法等.【变式训练1】

已知x,y,z都是正实数,且满足条件xyz(x+y+z)=1,求证:(x+y)(y+z)≥2.证明:∵x,y,z都是正实数,xyz(x+y+z)=1,探究二一元二次不等式恒成立问题【例2】

已知关于x的不等式x2+(a+1)x+1>0,x∈(0,2)恒成立,求实数a的取值范围.将本例变为关于a的不等式x2+(a+1)x+1>0,a∈(0,2)恒成立,求x的取值范围.一元二次不等式恒成立问题可转化为函数最值问题求解或根据相应函数图象特点求解.【变式训练2】

若关于x的不等式ax2+(a-1)x+a-1<0对x∈R恒成立,则a的取值范围为

.

解析:当a>0时,二次函数y=ax2+(a-1)x+a-1的图象开口向上,不合题意;当a=0时,不等式化为x+1>0,也不合题意.易错辨析

忽略等号成立的一致性致错

答案:D以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述在求解过程中使用了两次均值不等式:但这两次取等号的条件分别需满足x=2y与x=y,所以取不到等号.答案:B随堂练习1.下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使不等式≥2成立的个数是(

)A.3 B.2 C.1 D.0答案:AA.1 B.2 C.3 D.4答案:D答案:AC4.若关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立,则实数a的取值范围是

.

解析:由题意,得(-a)2-4a<0,即a2-4a<0,解得0<a<4.答案:(0,4)5.已知三个不等式:①ab>0,②

,③bc>ad,用其中两个作为条件,剩下的一个作为结论,则可组成

个真命题.

答案:36.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价为40元,两侧墙砌砖,每米造价为45元,顶部每平方米造价为20元,求仓库占地面积S的最大允许值是多少?为使S达到最