高考数学总复习2.9函数模型及其应用

§2.9函数模型及其应用[考纲要求]

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数增加特征，知道直线上升、指数增加、对数增加等不一样函数类型增加含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用函数模型)广泛应用．1/491．几类常见函数模型及其增加差异(1)几类函数模型2/493/49(2)三种基本初等函数模型性质4/495/492.解函数应用问题步骤(四步八字)(1)审题：搞清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立对应数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题意义．6/49以上过程用框图表示以下：7/498/49(4)在(0，＋∞)上，伴随x增大，y＝ax(a＞1)增加速度会超出并远远大于y＝xa(a＞0)增加速度．(

)(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增加速度越来越快形象比喻．(

)(6)指数函数模型，普通用于处理改变较快，短时间内改变量较大实际问题．(

)【答案】

(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

(6)√9/491．(·广州模拟)在某个物理试验中，测量得变量x和变量y几组数据，以下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.0010/49则对x，y最适合拟合函数是(

)A．y＝2x

B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x【解析】

依据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，能够排除A；依据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，能够排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.【答案】

D11/492．(·福建八县(市)一中上学期半期联考)如图是张大爷晨练时所走离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系图象，若用黑点表示张大爷家位置，则张大爷散步行走路线可能是(

)12/49【解析】

由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心圆周上运动，最终匀速回家．故选D.【答案】

D13/49【答案】

D14/494．用长度为24材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙长度为(

)A．3B．4C．6D．12【答案】

A15/495．(·四川)某食品保鲜时间y(单位：小时)与储备温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数底数，k，b为常数)．若该食品在0℃保鲜时间是192小时，在22℃保鲜时间是48小时，则该食品在33℃保鲜时间是________小时．16/49【答案】

2417/49题型一用函数图象刻画改变过程【例1】

(1)(·九江模拟)设甲、乙两地距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过旅程y和其所用时间x函数图象为(

)18/4919/49(2)(·日照模拟)物价上涨是当前主要话题，尤其是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在要求时间T内完成预测运输任务Q0，各种方案运输总量Q与时间t函数关系如图所表示，在这四种方案中，运输效率(单位时间运输量)逐步提升是(

)20/49【解析】

(1)y为“小王从出发到返回原地所经过旅程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.(2)由运输效率(单位时间运输量)逐步提升得，曲线上点切线斜率应该逐步增大，故函数图象应一直是下凹，故选B.【答案】

(1)D

(2)B21/49【方法规律】

判断函数图象与实际问题改变过程相吻合两种方法(1)构建函数模型法：当依据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当依据题意不易建立函数模型时，则依据实际问题中两变量改变快慢等特点，结合图象改变趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况，选择出符合实际情况答案．22/49跟踪训练1

已知正方形ABCD边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动旅程为x，△ABP面积为S，则函数S＝f(x)图象是(

)23/49【解析】

依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.【答案】

D24/49题型二已知函数模型实际问题【例2】

(·四川)某食品保鲜时间y(单位：小时)与储备温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数底数，k，b为常数)．若该食品在0℃保鲜时间是192小时，在22℃保鲜时间是48小时，则该食品在33℃保鲜时间是(

)A．16小时B．20小时C．24小时

D．28小时25/4926/49【方法规律】

求解所给函数模型处理实际问题关注点(1)认清所给函数模型，搞清哪些量为待定系数．(2)依据已知利用待定系数法，确定模型中待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．27/4928/4929/49【答案】

D30/49命题点2构建指数函数、对数函数模型【例4】

(1)(·四川)某企业为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该企业年整年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入研发资金比上一年增加12%，则该企业整年投入研发资金开始超出200万元年份是(

)(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．年

B．年C．年

D．年31/49(2)某位股民购进某支股票，在接下来交易时间内，他这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票盈亏情况(不考虑其它费用)为(

)A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况32/4933/49(2)设该股民购进这支股票价格为a元，则经历n次涨停后价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．【答案】

(1)B

(2)B34/49命题点3构建分段函数模型【例5】

(·辽宁锦州期末)国家要求个人稿费纳税方法是：不超出800元不纳税；超出800元而不超出4000元按超出800元部分14%纳税；超出4000元按全部稿酬11.2%纳税，已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为(

)A．2800元

B．3000元C．3800元

D．3818元35/49令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3800，令0.112x＝420，得x＝3750(舍去)，故这个人应得稿费(扣税前)为3800元．故选C.【答案】

C36/49【方法规律】

构建数学模型处理实际问题，要正确了解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量限制．37/49跟踪训练3(1)一个人喝了少许酒后，血液中酒精含量快速上升到0.3mg/mL，在停顿喝酒后，血液中酒精含量以每小时25%速度降低，为了保障交通安全，某地依据《道路交通安全法》要求：驾驶员血液中酒精含量不得超出0.09mg/mL，那么，此人最少经过________小时才能开车．(准确到1小时)38/49(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年运转费用是0.5万元，另外每年都要花费一定维护费，第一年维护费为2万元，因为设备老化，以后每年维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备年数为(

)A．10B．11C．13D．2139/49【解析】

(1)设经过x小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5.(2)设该企业需要更新设备年数为x，设备年平均费用为y，40/49【答案】

(1)5

(2)A41/4942/49【思维点拨】

依据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数最值结论．【规范解答】

(1)当0＜x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，(2分)当x＞40时，W＝xR(x)－(16x＋40)43/4944/49即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值为5760.(10分)综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6104万元．(12分)【答题模板】

解函数应用题普通程序第一步：审题——搞清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立对应数学模型；45/49第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到结论还原为实际问题意义；第五步：反思——对于数学模型得到数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题合理性．46/49【温馨提醒】

(1)这类问题关键是正确了解题意，建立适当函数模型．(2)分段函数主要是每一段自变量改变所遵照规律不一样，能够先将其看成几个问题，将各段改变规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量范围，尤其是端点