高等数学下册（第2版）课件：微分方程

微分方程

—积分问题—微分方程问题

推广

微分方程的基本概念第一节二、微分方程的基本概念一、引例

引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得点处的切线斜率为2x,求该曲线的方程.

引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动解:设列车在制动后

t

秒行驶了s

米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为即求

s

=s(t).后列车的运动规律.

含未知函数及其导数的等式方程中所含未知函数导数的最高阶微分方程的基本概念数称为微分方程的阶.◆微分方程：称为微分方程.◆微分方程的阶：使方程成为恒等式的函数.◆微分方程的通解：解中所含独立的任意常数的个数等于方程的阶数.◆微分方程的特解：◆微分方程的解：将通解中的任意常数取定为一组值

引例2确定通解中任意常数的条件.引例1

通解:特解:◆初始条件：方程形式通解形式初始条件

例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解:

这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件第二节

内容小结微分方程的概念微分方程;定解条件;说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程解;阶;通解;特解y=–x

及

y=C

第二节

作业P1601,3,4.一阶微分方程第二节一、可分离变量的微分方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程

两边积分可分离变量方程的形式及解法：如果可以写成则目的：dx与dy拆开，且保证dx前面是一个dy前面是一个仅与y仅与x有关的函数，有关的函数实现两个变量的分离

一、可分离变量的微分方程例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)

例2.

解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为

例3.

求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:

例4:解：分离变量即(C<0

)(C为任意常数)

二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:

例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,

y=0也是方程的解)(C为任意常数)

例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然

x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.

例3.

积分得故有得

(抛物线)

三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为线性非齐次方程.方程的特点：称为线性齐次方程;

关于未知函数的部分、都是一次方、幂的形式如：是不是1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为

当C任取常数时，函数只能是齐次方程的解，要想得到非齐次方程的解，设想将常数C换成x的函数C(x)而成为非齐次方程的解目的是确定函数C(x)的具体形式对应齐次方程通解2.解非齐次方程常数变易法则故原方程的通解即设两端积分得

是非齐次方程的解，这种将齐次方程通解中的常数C换成x的函数而求得非齐次方程通解的方法称为由非齐次方程通解的公式：齐次方程通解非齐次方程特解即

记作：例1.解方程

解:故原方程通解为

例2.求方程

解:

的特解由得，特解：例3.求方程的通解.解:所求通解为这是以x为未知函数，y为自变量的一阶线性非齐次方程

即例4.

判别下列方程类型:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程

内容小结1.可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分;根据定解条件定常数.

2.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式思考与练习求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程变形为

作业P1681(3),(4),(5)；4；

5(1),(3),(5),(6)；

6(1),(2),(4)；7.

第三节

二、型的微分方程可降阶高阶微分方程第三节一、型的微分方程三、型的微分方程

一、令因此即同理可得依次通过

n

次积分,可得含

n

个任意常数的通解.型的微分方程

例1.解:

型的微分方程

设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、

例2.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为

三、型的微分方程

令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解

例3.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:

例4.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得

内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令

P1731(1，3,4,6,);2，4，6.作业

第六节

二阶常系数非齐次线性方程第四节二、三、

一、线性非齐次方程解的结构二阶常系数线性非齐次方程的一般形式:称①

一、二阶常系数线性非齐次方程解的结构②为相应于非齐次方程的齐次方程。定理：设是非齐次方程①的一个解，而是所相应的齐次方程②的解，则仍然是非齐次方程①的解。第一步：根据f(x)的形式,第二步：代入原方程以确定函数表达式中的待定系数.—待定系数法

如果是所相应的齐次方程②的通解则由上述定理得非齐次方程①通解的结构。定理：是非齐次方程①的一个特解，而是所相应的齐次方程②的通解，则成为非齐次方程①的通解。设求特解的方法的函数形式；确定二、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为已知的m

次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式

(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若

是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为即即

小结对方程不是特征根可设特解

其中为已知的m次多项式。是特征单根是特征重根其中为待定的m次多项式。例1.的一个特解.解:本题特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得所求特解为

写全一个二次多项式例2.的通解.

解:本题特征方程为特征根对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为

三、

对非齐次方程可设特解其中不是特征根是特征单根例3.的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解

例4.的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为

（其中为实数).例5.求微分方程的通解解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为

内容小结

为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为

作业P3651(3,4,7);2(4)

微分方程的应用第五节

氧气充足时，酵母增长规律为下，酵母的发酵过程中会产生酒精，酒精将抑制酵母的继续发酵，在酵母增长的同时，酒精量也相应增加，酒精的抑制作用也相应增加，致使酵母的增长率逐渐下降，直到酵母量稳定地接近于一个极限值为止。上述过程的数学模型如下其中，

求解此微分方程，并假定当为酵母量最后极限值，是一个常数。它表示在前期酵母的增长率逐渐上升，到后期酵母增长率逐渐下降。时，酵母的现有量为而在缺氧条件例1.如何求解

解:方程可变形为两边积分即得

因此所求微分方程的通解为又由初始条件时，可得于是微分方程的特解为即这就是在缺氧条件下，求得的酵母的现有量与时间的函数关系。其图形所对应的曲线叫做生物生长曲线，又名Logistic曲线，其图形为

在实际应用中常常遇到这样一类变量：变量的增长率与现有量种变量是按Logistic曲线方程变化的。、饱和值与现有量的差都成正比。这在生物学、经济学等学科中常可见到这种类型的模型。例2.力与速度成正比,(t=0)速度为0,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻降落伞下落速度与时间的函数关系.t

足够大时

在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例3.有一电路如图所示,电阻

R和电∼解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri

经过L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感L都是常量,

∼解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得

暂态电流稳态电流∼因此所求电流函数为解的意义:

例4.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间.解:建立坐标系如图.设在时刻t,链条较长一段下垂xm,又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律,得

由初始条件得故定解问题的解为解得当x=20m时,(s)微分方程通解:思考:若摩擦力为链条1m长的重量,定解问题的数学模型是什么?

摩擦力为链条1m长的重量时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来所需时间为

P1871,2,3，4.作业

第四节

微分方程的解法习题课一、一阶微分方程求解三、解微分方程应用问题及应用

二、二阶微分方程的解法一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解变量代换法——代换某组合式可分离变量方程线性方程

例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解

调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为

例2.求下列方程提示:令u=xy,得(分离变量方程)原方程化为

的通解例