高等数学下册（第2版）课件：三重积分

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三重积分

1.定义设存在,，任取则称此极限为函数在

上的三重积分.称为体积元素,

在直角坐标系下常写作如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，极限定义在空间闭区域

上，将

任意分为n个小闭区域记为即一、三重积分的概念2.三重积分的性质（与二重积分相似）（空间区域

的体积）主要性质：作用1：常用来求空间区域的体积.作用2：当的体积易求时，积分值等于体积。二、利用直角坐标计算三重积分则若

上方曲面下方曲面投影域z

：的下方曲面z表达式（用x、y表示）上方曲面z表达式

若：

则，

是化围成闭区域.例1.为三次积分，解：、D的图形见右，xyxyO11

由三个坐标面及例2.求围成.

111xyz0

yx011解：就称为点M的柱面坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:空间点M在xOy面上投影点N的极坐标为N，则三、利用柱面坐标计算三重积分1.柱面坐标的概念2.。3.利用柱面坐标计算三重积分（化为先z,中的三次积分）,最后上、下限的确定方法：z

：的下方曲面z表达式（用表示）上方曲面z表达式：

由的投影域确定，同二重积分极坐标。4.适合柱面坐标计算的情形（1）在xOy面上的投影域与圆有关；（2）被积函数形如：。

其中

是化所围成的闭区域.例3.为柱面坐标下三次积分，解：、D的图形见右，xyxyO11其中

为由例4.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.

例5.

计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中

由抛物面原式=

四、三重积分的应用1．空间物体的质量2．空间物体的质心设空间物体在点的密度为（三）转动惯量。3．空间物体对于轴的转动惯量例6求半径为

R的均匀半球体的质心．解建立如图所示的空间直角坐标系，由对称性：

故质心坐标为

作业P1041(1),(2);3(1)(3);4;5(1)(3);

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