高等数学下册（第2版）课件：级数的收敛、求和与展开习题课

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习题课级数的收敛、求和与展开三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法

一、数项级数的审敛法必要条件不满足发散满足正项级数任意项级数

发散正项级数比值法比较法部分和极限收敛与同敛散

发散正项级数任意项级数条件收敛绝对收敛收敛交错级数由比值法得发散发散

例1.判别下列级数的敛散性:解(1)据比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,

利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数因n充分大时∴原级数发散.用比值判别法可知:时收敛;时,与p

级数比较可知时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛.时发散.发散,收敛,

例2.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:解(1)P>1时,绝对收敛;0<p≤1时,条件收敛;p≤0时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数

原级数绝对收敛.故

因单调递减,且但所以原级数仅条件收敛.由Leibniz判别法知级数收敛;

因所以原级数绝对收敛.

二、求幂级数收敛域的方法•标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论•

非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法处的敛散性.

解:因故收敛域为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;

例3

求级数的收敛域•

求部分和的极限三、幂级数和函数的求法求和逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等•数项级数求和

解先求出收敛区间则设和函数为

例4.求幂级数四、函数的幂级数展开法•直接展开法•

间接展开法例5将函数展开成

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