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文档简介

二、泰勒(Taylor)级数

三、函数展开成幂级数方法函数展开成幂级数

一、函数展开成幂级数的概念

一、函数展开成幂级数的概念上一节中已得到结论和函数求和展开幂级数

归纳：给定函数，按照给定的构造出幂级数，该幂级数收敛，且在收敛域内收敛于函数，这类问题称为函数展开为幂级数。如：给定给定

如果任意给定函数，如何构造幂级数的关键是找出系数的关系与设令，得令，得令，得一般地，

为f(x)

的泰勒级数.当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.定义：设函数的某邻域内具有任二、泰勒(Taylor)级数意阶导数，则称

1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:

其中(

在x与x0之间)称为拉格朗日余项.定理1：若函数的某邻域内具有此式称为f(x)的n阶泰勒公式,n+1阶导数，则在该邻域内有：

定理2.内能展开成泰勒级数的充要条件是中的余项满足：设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有任意阶导数，则f(x)在该邻域定理3.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.f(x)的泰勒公式

三、函数展开成幂级数的方法

1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下:0.

例1.将展开成x

的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为

2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的例2.将函数展开成x的幂级数.解:

把x

换成,得运算性质，将所给函数展开成幂级数.

例3.将函数展开成x

的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛

例4.将展成解:

的幂级数.

例5.将展成x－1的幂级数.解:

内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.

思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?

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