高等数学下册（第2版）课件：二重积分的计算

一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法

设曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的

一、利用直角坐标计算二重积分同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算

先对y后对x的二次积分二重积分的计算是转化为：称D为X–型区域称D为Y–型区域对x,y相继的两次定积分来实现的。先对x后对y的二次积分D：D：

说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则

例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,

则

例2.计算其中D是曲线解:选择先对y后对x积分,则所围成的闭区域.直线及21思考:如果选择先对x后对y积分,是什么形式

注意：（1）二重积分的结果是一个常数（2）外层积分限一定是常数限（3）内层积分限可以是常数，也可以是外层积分积分变量的函数，不能含有本重积分变量（4）上限>下限

例3.计算其中D是解:所围成的闭区域.直线及2

例4.计算D是直线所围成的解:由被积函数可知,先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.

闭区域.例5.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则

例6.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,

二、利用极坐标计算二重积分1.极坐标系平面点P极坐标系与直角坐标系的一般关系：极坐标系下的基本曲线：ρ=常数表示以原点为中心的圆=常数表示从原点发出的射线

曲线的极坐标方程极坐标方程直角坐标方程曲线名称及图形圆圆直线直线直线

2.利用极坐标计算二重积分被积函数的处理积分区域D的处理面积元素的处理

在极坐标系下,用同心圆ρ=常数小区域及射线

=常数,分划区域D为n个可近似看作矩形面积,则小区域的面积

设则特别,对

若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问

的变化范围是什么?(1)(2)

例7.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.

注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例6的结果,得①故①式成立.

例8:计算其中

xyo解:在极坐标系下故当被积函数中含有因子、积分区

或域是圆域或圆的一部分区域时，这样的二重积分适合用极坐标计算，否则应用直角坐标计算。二重积分计算中坐标系的选取解:，其中及

y

轴围成.原式例9.求D

由02.例10

把下列积分化为极坐标形式的二次积分解:例11.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为

例12.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知

内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则

则极坐标系情形:若积分区域为

(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限，积分被积函数含积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式或域是圆或扇形时应考虑用极坐标，否则用直角坐标

作业P911(1,2);2(1,2);3(3);第三节

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