高等数学下册（第2版）课件：多元微分

推广

一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用

第一节二、区域一、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念

一、多元函数的概念1.定义：设有变量x、y和z，如果当变量

x、y在一定范围内任意取定一对值时，变量z按照一定的法则f总有唯一确定的数值与它们对应，则称这个对应法则f为x、y的二元函数。变量x、y称为自变量。自变量x、y取值的范围称为函数的定义域。记作同理可定义x、y、z的三元函数。主要以二元函数为例研究多元函数。

二元函数的两个要素：对应法则f定义域D

例1.求下列函数的定义域（1）定义域Dxyo（2）定义域Dxyo解：解：

xyo（3）定义域D解：

例2.

设，且当时，，求函数z。解：将，代入，得

例3.设，求解：

2.二元函数的几何意义定义域为圆域一般情形:二元函数图形是球心在原点的上半球面.的图形为空间曲面.定义域为整个xy面z=f(x,y),(x,y)

D

二、区域1.区域由一条闭曲线或几条闭曲线围成的平面上一部分称为一个平面区域。二元函数的定义域是一个平面区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域；包括边界的区域称为闭区域。如果区域能够被原点为中心，适当大的数为半径的圆包含在内，则称区域为有界区域；否则为无界区域。

2.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为

三、二元函数的极限定义2.

设二元函数为定义域内一点,则称常数A为函数记作的定义域为D，当点以任意方式无限接近于时，相应的函数值如果无限接近于一个确定的常数A，当时的极限，或任意方式任意方向任意路径

解:原式例4.求

例5.设，求故解:当时，有（有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小）

注意：当点趋于不同值或有的极限不解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.存在，则可以断定二元函数极限不存在。则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以两种不同方式趋于例6.讨论函数函数

四、二元函数的连续性定义3

.设二元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称二元函数连续.连续,

例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.

定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的(证明略)如下性质:

例7.求函数的连续域.解:

内容小结1.区域2.多元函数概念常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数

3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续

作业P471，3(1，2)，4(1,3,4),5(1)第二节

第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数

一、偏导数定义及其计算法1.定义在点存在,的偏导数，记为则称此极限为函数的某邻域内有定义，设函数如果极限

注意:同样可定义对y的偏导数

若函数z=f(x,y)在域D内每一点

(x,y)则该偏导数称为偏导也简称为偏导数,记为处对x或y偏导数存在,函数,

例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.处对x的偏导数定义为2.偏导数的求法给出二元函数求在中将y

看作常数而对x求导数求在中将x看作常数而对y求导数

例1.求解:在点(0,1)处的偏导数.

例2.设证:求证

偏导数记号是一个例3.已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,

3.二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的切线

求例4解：

对二元函数,已得到这样一些结论：对函数注意：连续（2）f(x,y)在点(0,0)不连续；不存在；（1）（3）可偏导，即可偏导；

二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:

类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为

例5.求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及

连续，则定理.说明:函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等

内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)

作业P521（1，3，5，7）；2(1,2);3；4；

6（1,3）；7第三节

备用题

设方程确定u

是x,y

的函数,连续,且求解:

二、全微分的计算第三节一、全微分的定义全微分

一、全微分的定义回忆一元函数y=f(x)的微分可微可导，且

1.定义:如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可以写成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作则称函f(x,y)在点(x,y)处可微，的全增量数

函数在D内可微.则称若函数在域D内每一点处都可微，可微设函数可微，得连续即2.可微与连续的关系由微分定义:

定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微必存在,且有3.可微与可偏导的关系:，即习惯上把自变量的增量写成微分,得全微分计算公式,则函数在该点的偏导数可微偏导数存在定理表明：

例1:设易知但因此,函数在点(0,0)不可微.证明：函数在点(0,0)处可偏导，但不可微。证：（可偏导），

定理2(充分条件)若函数的偏导数则函数在该点可微。4.函数可微的充分条件:说明:函数在其定义区域内是连续的,故初等函数在定义域内可微。因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等可微偏导数连续定理表明：在已知可微的前提下，按计算公式计算全微分。

推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可例如,三元函数且有叠加原理的全微分为微性问题.称为函数关于x的偏微分；的偏微分；为函数关于y为函数关于z的偏微分。函数的全微分等于函数关于各个自变量的偏微分之和

例2.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:

例3.求函数的全微分.解:例4.计算函数的全微分.解:

例5.计算函数的全微分.解:

内容小结1.微分定义:

2.重要关系:极限存在函数可微偏导数连续函数连续偏导数存在

P571(2)(4)(6);2(1)作业第四节

第四节一、多元复合函数求导的链式法则多元复合函数的求导法则

体现出

回忆一元复合函数的求导法则求导法则变量y、u、x之间yux的关系一条“链”

一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数且有链式法则这种中间变量多于一个，而最终自变量仅有一个的复合函数的导数称为全导数。

推广:1)中间变量多于两个的情形.设下面所涉及的函数都可微.例如：

例如：2)中间变量是多元函数的情形.

例如,注意:这里表示固定y对x求导,表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,

3)中间变量与自变量并存的情形.例1.设解:

例2.解:

例3.设

求全导数解:

引入记号：例4.设

f

具有二阶连续偏导数,求解:表示f对第一个变量求偏导数表示f对第一个变量求偏导数后再对第二个变量求偏导数

偏导数计算中的三大原则：（1）对某变量求偏导数时，除了该变量以外的其他变量均看作常数，而对该变量求导（2）偏导数计算中仍然是关注函数的最后一道运算（3）如果函数表达式中有复合成份（特别是抽象复合）对自变量求导数，则首先对中间变量求导数，再乘以中间变量

例5.设

f

具有二阶连续偏导数,求解:

内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,

P622;4;7（1）（3）;8;10（2）

作业第五节

第五节隐函数的求导公式隐函数求导的实质：用F对x、y的偏导数来表示f对x的导数

定理1.

设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一②③满足条件导数邻域内满足

两边对x求导在的某邻域内函数，则

，将代入原方程，得

例1.，求解:令将及代入，得

两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时导数的另一求法—利用隐函数求导

定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足满足:②在点③某一邻域内可唯一确①

例2.设解法1利用隐函数求导再对x求导

解法2

利用公式设则两边对x求偏导

例3.设F(x,y)具有连续偏导数，解:已知方程故

例4.求解作业P651,3，5,6第七节

第六节微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线复习位置.空间光滑曲线在点M

处的切线为此点处割线的极限一、空间曲线的切线与法平面过点M

与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.设曲线方程为参数方程：（1）点

处曲线的切线方程为

（

对应）处切线的方向向量为点—三个导数（2）点处曲线的法平面方程为

称为切向量。向量注：上式分母同除以得割线的方程为推导：点对应参数点对应参数在上式中令，得直线:解切线为法平面为,切线的方向向量:处切线的方向向量——三个导数例1

求在点处的切线及法平面方程.点

对应

求曲线在点处的切线方程和法平面方程。练习题处切线的方向向量——三个导数切平面的法向量为———三个偏导数二、曲面的切平面与法线设曲面则曲面在点处在点处切平面为:

法线为:

过点的平面:例2.

求曲面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以曲面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令

曲面在处切平面的法向量——三个偏导数上求一点,使该点处的法线垂直于例3.在曲面并写出该法线方程.解:设所求点为平面

依题意,有令则法向量曲面在处切平面的法向量——三个偏导数解之得（法线垂直于平面）（点在曲面上）则法线方程为处的解1.求曲面在点切平面及法线方程.练习令切平面方程为法线方程为则即曲面在处切平面的法向量——三个偏导数。习题

P691.(2)2.3.(1)6.

第七节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值多元函数的极值及其求法

回忆一元函数极值的讨论体系定义:

可导函数的极值点为极大值为极小值必要条件：驻点判定极值的充分条件：第一充分条件：按驻点两侧的变号情况判定第二充分条件：为极大值为极小值

一、多元函数的极值

定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有

例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.

已知在点处取极值用平面与曲面相截得交线在处取极值同理

说明:使偏导数都为0的点称为驻点.定理1(必要条件)函数存在偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值驻点且在该点取得极值,则有故可偏导函数的极值点

时,具有极值定理2

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若

例1.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(0,0),(2,2).第二步判别.解方程组的极值.求二阶偏导数

(0,0)(2,2)时,A<0时取极大值;A>0时取极小值.为极大值.不是极值驻点ABC极值情况

例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为

二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值嫌疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据

例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym

,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.

例4.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为

,积最大.为问怎样折法才能使断面面

令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.

三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如在(0,0)点处取极小值(无条件极值)求在限制条件下的极值问题

条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题例如：转化上题中，从限制条件中解出代入

方法2拉格朗日乘数法.例如,引入辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.

例5某厂生产两种产品的日产量为x和y

(件),

利润函数为z=6x-x2+16y–4y2(元),每件产品均需消耗某种原料2公斤,现有原料12公斤,问两种产品各生产多少件时,利润最大?解2x+2y=12,约束条件:即x+y=6,令解方程组得故当x=3.8,y=2.2时,利润最大.

作业P751，2,4,5，7习题课

求抛物线到直线的最短距离。

备用题

习题课一、