2024-2025学年广东省梅州市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省梅州市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在平行六面体ABCD−A1B1CA.AA1=BB1

B.C2.已知直线l经过点(3,1)，且倾斜角为45°，则直线l的方程为(

)A.x−y−4=0 B.x+y−4=0 C.x+y−2=0 D.x−y−2=03.在等差数列{an}中，a1+a3A.−3 B.0 C.3 D.64.已知椭圆E：x216+y2A.4 B.43 C.8 5.在平面直角坐标系xOy中，已知定点Q(3,0)，点P在抛物线C：y2=4x上运动，则|PQ|的最小值为(

)A.22 B.3 C.26.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，AB=3，PA=4，点M为PC的中点，BN=13BD，则A.32 B.233 C.7.线段AB的长度为3，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB上靠近点A的三等分点的轨迹方程为(

)A.x2+y2=94 B.8.已知曲线C的方程为x2−xy+y2=4，则曲线A.2 B.322 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.圆C1：x2+y2=1与圆CA.1 B.2 C.3 D.410.已知an=1n+1+1A.a2=712 B.an+1−an=11.已知正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，点PA.当μ=12时，直线AP与平面BCC1B1所成角的最大值为60°

B.当λ+μ=1时，|AP|的最小值为2

C.当|AP|=7时，动点P的轨迹长为2π3

D.当直线AP与AB12.已知直线l1：(k−1)x+y−1=0，l2：x−2y+1=0，若l1//l213.已知x，y满足x2+y2−6x+2y+9=014.将自然数0，1，2，3，4.…按照如图排列，我们将1，3，6，10…称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还能够减轻环境的污染.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换2000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车.今年投入了电力型公交车64辆，混合动力型公交车100辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入m辆．

(1)求第3年该市投入的电力型公交车、混合动力型车分别是多少辆(注：3年后该市燃油型公交车未被全部更换)；

(2)设经过n年后，该市燃油型公交车未被全部更换，求该市n年后被更换的公交车总数S(n)；

(3)若该市计划5年内完成全部更换，求m的最小值．16.(本小题15分)

已知圆C的圆心在直线3x−y−1=0上，分别求满足下列条件的圆C的方程：

(1)若圆C与y轴相切于点(0,2)；

(2)若圆C的半径为2，且被x轴截得的弦长等于2317.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，AB=BC=1，AD=PA=2，点M为棱PC上的一点．

(1)若点M为PC的中点，求PC与平面ABM所成角的正弦值；

(2)若平面ABM⊥平面PCD，求PMPC的值．18.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，圆A的方程为(x+2)2+y2=4，点B的坐标为(2,0)，点P为圆A上的动点，线段BP的中垂线与直线AP相交于点Q．

(1)求交点Q的轨迹C的方程．

(2)若过点E(0,1)的直线与轨迹C相交于M、N两点，求OM⋅ON的取值范围．

(3)若D(−1,0)，点Q为轨迹C在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ(λ>0)19.(本小题17分)

对于无穷正项数列{an}和如下的两条性质：

P1：存在实数λ>1，使得∀i，j∈N∗且i<j，都有ajai≥λ；

P2：∀i,j∈N∗且i<j，都存在m∈N∗，使得am=aj2ai．

(1)若an=n⋅2n，n∈N∗，判断数列{an}是否满足性质P1，并说明理由；

(2)设无穷正项数列{a参考答案1.C

2.D

3.B

4.B

5.A

6.C

7.C

8.D

9.BD

10.ACD

11.AC

12.1213.−34

14.1275

15.解：(1)设an，bnf分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，

依题意，数列{an}是首项为64，公比为1+50%=32的等比数列，

{bn}是首项为100，公差为m的等差数列，

于是第三年投入的电力型公交车的数量为a3=64×(32)2=144，

第三年投入的混合动力型公交车的数量为b3=100+(3−1)m=100+2m，

(2)由(1)得，{an}的前n项和为An=64[1−(32)n]1−32=128[(32)n−1]16.解：(1)设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，圆心C在直线y=2上，

所以y0=2．

而圆心C在直线3x−y−1=0上，即有：3x0−2−1=0，

从而x0=1，且圆C的半径r=|x0|=1，

故所求圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=1．

(2)设所求圆的圆心为(x0,y0)，因为圆C的半径为2，且被x轴截得的弦长等于17.解：(1)以A为原点，AB、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标A−xyz，如图所示：

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，

若点M为PC上的中点，则M(12,12,1)，AB=(1,0,0)，AM=(12,12,1)，

设平面ABM的法向量为n=(x,y,z)，

则AB⋅n=x1=0AM⋅n=12x1+12y1+z1=0，

令z1=1，则n=(0,−2,1)，又PC=(1,1,−2)，

则cos<PC,n>=PC⋅n|PC||n|=−46×5=−23015，

所以PC与平面ABM所成角的正弦值为23015；

(2)设18.解：(1)易知||QA|−|QB||=||QA|−|QP||=2，

因为|AB|=4>2，

所以动点Q的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，

所以c=2，a=1，

则b2=3，

故轨迹C的方程为x2−y23=1；

(2)设直线MN的方程为y=kx+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立y=kx+1x2−y23=1，消去y并整理得(3−k2)x2−2kx−4=0，

此时3−k2≠0且Δ>0，

解得k2<4且k2≠3，

由韦达定理得x1+x2=2k3−k2，x1x2=−43−k2，

此时OM⋅ON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=−1−3k23−19.解：(1)数列{an}满足性质P1，

∀i，j∈N∗且i<j，ajai=j⋅2ji⋅2i=ji2j−i，因为j−i≥1，所以2j−i≥2，

又因为ji>1，所以ajai=j⋅2ji⋅2i=