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压轴题专训二隐形圆问题1．[2021·福建中考]如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G.(1)求证：DE∥A′F；证明：如图，设AG与DE的交点为O.∵点A关于DE的对称点为A′，∴AO＝A′O，AA′⊥DE.∵E，F为边AB上的两个三等分点，∴AE＝EF＝BF，∴EO是△AA′F的中位线，∴EO∥A′F，即DE∥A′F.21(2)求∠GA′B的大小；解：如图，连接GF.∵AA′⊥DE，四边形ABCD是正方形，∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，AD＝BA，∴∠ADE＋∠DEA＝90°＝∠DEA＋∠EAO，∴∠ADE＝∠EAO，即∠ADE＝∠BAG.在△ADE和△BAG中，

∴△ADE≌△BAG，∴AE＝BG，∴BF＝BG，∴∠GFB＝∠FGB＝45°.易知∠FA′G＝90°，又∵∠FBG＝90°，∴点F，B，G，A′四点共圆，∴∠GA′B＝∠GFB＝45°.21(3)求证：A′C＝2A′B.证明：设AE＝EF＝BF＝BG＝a，则AD＝BC＝3a，∴CG＝2a.在Rt△ADE中，DE＝由(2)知△ADE≌△BAG，∴AG＝DE＝

a.∵∠EAO＝∠ADE，∴sin∠EAO＝sin∠ADE，

∵EO是△AA′F的中位线，∴A′F＝2OE＝

a.∵∠FA′G＝∠FBG＝90°,∴∠A′FB＋∠A′GB＝180°.又∵∠A′GC＋∠A′GB＝180°，∴∠A′FB＝∠A′GC.21【提分笔记】1.利用圆的定义(平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合)构造隐形圆．2．折叠问题中经常用到隐形圆，考虑方向：某一边翻折时，此边长度不变，轨迹为圆.3．定弦定角：∠APB，AB为定值→P点轨迹为圆弧．

常见特殊图形：2.在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，点A在EB边上，且CA＝BE.以AC为斜边作Rt△DAC，使得B、D两点在直线AC的异侧，且∠DAC＝∠E，AD与EC交于点F.(1)求证：∠DCF＝∠ACB；21证明：(1)∵∠EBC＝90°，∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°，∠E＋∠ECB＝90°.∵∠DAC＝∠E，∴∠DCA＝∠ECB，即∠DCF＋∠ECA＝∠ACB＋∠ECA，∴∠DCF＝∠ACB.(2)求证：CF＝AD；21∵∠DAC＝∠E，∠ACE＝∠ACE，∴△CAF∽△CEA，

∵∠DAC＝∠E，∠EBC＝∠ADC＝90°，∴△CAD∽△CEB，∵CA＝BE，∴CF＝AD.(3)过点A作AH⊥EC，垂足为H.求证：EH＝AF.以AC为直径作⊙O，连结BH，如图．∵∠EBC＝∠AHC＝90

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