模型20“两点一线”　　2025年中考数学几何模型专题复习

模型20“两点一线”模型基础模型类型异侧两点求线段和最小值同侧两点求线段和最小值图示条件两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P,使PA+PB的值最小两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小结论连接AB交直线l于点P，此时PA+PB的值最小，最小值为线段AB的长作点B关于直线l的对称点B'，连接AB',交直线l于点P,此时PA+PB的值最小，最小值为线段AB'的长结论分析结论：连接AB交直线l于点P，此时PA+PB值最小，最小值为线段AB的长证明：如图①，∵AP结论：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，此时PA+PB的值最小，最小值为线段AB'的长自主证明：模型拓展拓展方向：求线段差的最值类型同侧两点求线段差最大值异侧两点求线段差最大值图示条件两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P,使|PA-PB|值最大两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P,使得|PA-PB|值最大结论连接AB并延长，与直线l交于点P，此时|PA-PB|的值最大，最大值为线段AB的长作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，与直线l交于点P，此时|PA-PB|的值最大，最大值为线段AB'的长模型解题三步法例1如图,在矩形ABCD中,AB=3,∠CBD=30∘,,点E在边BC上且BE=13BC,例2如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4,BD=6,点E为边AB的中点，点P为对角线BD上一点,则|PC-PE|的最大值为.题以类解1.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的点,且AE=3,点Q为对角线AC上一点，则DQ+QE的最小值为()A.3B.4C.5D.62.如图,直线y=x+2与x轴,y轴分别交于A，B两点，点C为线段AB的中点，点P是y轴上一动点，当PA+PC的值最小时，点P的坐标为()A.130C.0−23.如图,在等边△ABC中,AB=4,AD是中线,点E是AD的中点，点P是边AC上一动点，则BP-EP的最大值是.4.x−12+15.如图，⊙O的直径MN=1,点A是⊙O上一点,且∠AMN=30°,点B是⌢AN的中点，点P在直径MN上运动,则BP+AP的最小值为.6.如图，在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点F,交AB于点E,连接EC,AB=10,△BEC的周长是18，若点P在直线EF上，连接PA,PB.(1)PA+PB的最小值为;(2)|PA-PB|的最大值为.7.如图，抛物线y=x(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找到一点M，使△ACM的周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长的最小值.模型20“两点一线”模型模型展现自主证明：如图②，由轴对称性质可知,PB=PB',∵PA+PB=PA+PB'≥AB',∴当点A,P,B'三点共线时，PA+PB的值最小，最小值是线段AB'的长(也可以作点A关于直线l的对称点A'，同理也可求出PA+PB的最小值).模型解题三步法例1921+23【解析】根据“两点一线”模型作解图，当C，P，E'三点共线，即点P与点P'重合时，PE+PC的值最小(同侧两点求线段和最小值).连接BE',过点E'作E'H⊥BC于点H,∵∠DBC=30°,AB=CD=3,∴BC=33.∵BE=13BC,∴BE=3,CE=23.∴点E'是点E关于BD的对称点,∴∠E'BD=∠CBD=30°,BE'=BE,∴∠E'BH=60°,∴△BEE'是等边三角形(一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，E例2点C点EBD点P132【解析】根据“两点一线”模型作解图,点C'与点A重合,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD(菱形的对角线互相平分),∴AP=PC,∴|PC-PE|=|AP-PE|≤AE,∴当点A,E,P三点共线时,|PC-PE|取得最大值,最大值为AE的长(异侧两点求线段差最大值).∵AC=4,BD=6,∴OA=2,OB=3,∴在Rt△ABO中,AB=13,，又∵点E为边AB的中点，∴AE=12AB题以类解1.C【解析】找模型：是否存在两个定点：点E和点D.是否存在一条定直线和该直线上一动点：定线段：AC，动点：点Q.是否求最值：DQ+QE的最小值.抽离模型：如解图.用模型：连接DE,∵DQ+QE≥DE,∴当D,Q,E三点共线时,DQ+QE取得最小值(异侧两点求线段和最小值)，∵四边形ABCD是正方形,∴AD=4,∠DAE=90°(正方形的性质),.∴DE=A2.B【解析】找模型：是否存在两个定点：点A和点C.是否存在一条定直线和该直线上一动点：定直线：y轴，动点：点P.是否求最值：PA+PC的最小值.抽离模型：如解图.用模型：根据“两点一线”模型作解图，作点A关于y轴的对称点A',连接A'C交y轴于点P.∵直线y=x+2与x轴,y轴分别交于A,B两点,∴A(-2,0),B(0,2),∵点C为线段AB的中点,∴C(-1,1),∵点A'与点A关于y轴对称,∴A'(2,0),设直线A'C的解析式为y=kx+b,∴2k+b=0−k+b=1,解←k=−13b=23,直线A'C的解析式为y=−3.7【解析】如解图，连接BE并延长交AC于点P',当点P与点P'重合时,BP-EP取得最大值，最大值为BE的长(同侧线段差最大值),在等边△ABC中,AD是中线,∴BD=DC=2,AD⊥BC(等边三角形三线合二),∴AD=BD⋅tan60∘=2×34.5【解析】由两点间距离公式可将x−12+1看作点(x,0)和点(1,1)两点间的距离，将x−52+4看作点(x，0)和点(5，2)两点间的距离，建立如解图坐标系，设点A(1,1),B(5,2),作点A关于x轴的对称点A',则x−12+15.22【解析】如解图，作点A关于MN的对称点A',连接A'B,A'B与MN交点即为点P,此时BP+AP的值最小，最小值为AB'的长(同侧线段和最小值)由对称性可知AP=A'P，∴BP+AP=BP+A'P=A'B,连接OA,OB,OA',可知AN=A'N,,则∠NOA'=∠NOA=2∠AMN=60°(同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)，∵点B为.AN的中点,∴∠BON=30°,∴∠BOA'=∠BON+∠NOA'=90°,∵MN=1,∴OA'=OB=6.(1)10;(2)8【解析】(1)∵EF垂直平分AC,∴EA=EC,又∵C△BEC=BE+EC+BC=18,BE+EA=AB=10,∴BC=18-10=8,当P与点E重合时,PA+PB的值最小,最小值为AB的长(异侧两点求线段和最小值)，∴PA+PB的最小值为10;(2)如解图,FE与CB的延长线交于点P',连接PC,∵EF垂直平分AC,∴PA=PC,∴PA-PB=PC-PB≤P'C-P'B=BC,当点P,B,C三点共线时,|PC-PB|有最大值(异侧两点求线段差最大值)，此时P'C-P'B=BC=8,∴|PA-PB|的最大值为8.7.解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴−b∵抛物线与y轴交于点C(0,-3),∴c=-3,∴抛物线的解析式为y=(2)∵抛物线的解析式为y=∴A(-1,0),B(3,0),如解图，取点C关于抛物线对称轴x=1的对称点D