2025年九年级中考数学复习专题：二次函数综合之角度问题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考二次函数综合题之角度问题一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接，若上方抛物线上有一点P，且P到直线的距离为，求点P的坐标；(3)如下图，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线交x轴于、两点，交轴于点．

(1)求出抛物线的解析式；(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图，将抛物线的图像先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在平移后的抛物线上有一点，连接，射线绕点顺时针旋转交直线于点，若时，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个值的求解过程．3．已知抛物线(a，b为常数，经过两点，与y轴交于点C，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式；(2)求四边形的面积；(3)若P是直线上方该抛物线上一点，且，求点P的坐标．4．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线y=的图像与轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求二次函数的解析式和点D的坐标；（2）若点M是抛物线在轴下方图像上的一动点，过点M作MN∥轴交线段BC于点N，当MN取最大值时，点M的坐标；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点D落在x轴上，原抛物线上一点P平移后的对应点为Q，如果∠OQP=∠OPQ，试求点Q的坐标．6．已知抛物线与轴交于点．(1)求抛物线的解析式（结果化成一般形式）及顶点坐标；(2)设抛物线与轴的正半轴的交点为点①若点是抛物线上一点，它的横坐标是5，在抛物线的对称轴上有一点，使最小，请求出此时点的坐标．②点为轴上一动点，点在抛物线上．点满足，．求点的坐标．7．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值；(3)如图2，连接，在抛物线上求出点Q，使．8．已知抛物线经过点，点，与x轴交于另一点C，顶点为D，连接．（１）求该抛物线的解析式；（２）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t，①当点P在直线的下方运动时，求面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标．11．如图，已知抛物线经过A(，0)，B(，)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值及点P的坐标；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案1．(1)(2)(3)存在，点的坐标为或【分析】（1）代入和，直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出点的坐标，得到的解析式，作交于点，轴交轴于点，交于点，通过证明是等腰直角三角形，得出，再设点P的坐标为，表示出的长度，解方程求出的值即可解答；（3）将绕点顺时针方向旋转至，可得，，则，进而得到的解析式，结合图形和题意可知直线上存在符合题意的点，联立抛物线和直线的解析式得到一个点的坐标；连接、，过点作交于点，通过证明得到，结合图形和题意可知直线上也存在符合题意的点，再根据点在抛物线上可知点与点重合，得到另一个点的坐标，即可得出结论．【详解】（1）解：代入和，得，解得：，抛物线的解析式为．（2）解：令，则，，，，，又，，设直线的解析式为，代入和，得，解得：，直线的解析式为；作交于点，轴交轴于点，交于点，轴，轴，，，，，，是等腰直角三角形，，由题意得，，，设点P的坐标为，则点N的坐标为，，解得：，，点P的坐标为．（3）解：存在，理由如下：令，则，解得：，，，如图，将绕点顺时针方向旋转至，则，，，由（2）中的结论得，，，，直线上存在符合题意的点，设直线的解析式为，代入和得，，解得：，直线的解析式为，联立，解得：或，；如图，连接、，过点作交于点，，，轴，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，又，，，，，直线上也存在符合题意的点，又点在抛物线上，点与点重合，即；综上所述，点P的坐标为或．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，学会利用数形结合思想和正确添加辅助线求解是解题的关键．2．(1)；(2)点的坐标为，的最大值为；(3)或．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）求出直线的解析式为，过点作轴，交于点，得出，，进而设，则，求得的关系式，根据二次函数的性质求得的最值，即可求出的最大值；（3）求出平移后的抛物线解析式为，画图象如下，过点作轴于，过点作轴于点，可证，得到，，分在第二象限和第一第二象限解答即可求解；本题考查了二次函数的几何问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的平移，解直角三角形，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】（1）解：、把代入得，，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：把代入得，，∴，设直线的解析式为，把，代入得，，∴，∴直线的解析式为，、如图所示，过点作轴，交于点，∴∵，∴∴，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，设，则∴∵，∴当时，取得最大值，此时点的坐标为，∴的最大值为；（3）解：∵，∴平移后的抛物线解析式为，画图象如下，过点作轴于，过点作轴于点，则，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，，设，当在第二象限时，点在第一象限，，，∴，把代入得，，整理得，，解得或（不合题意，舍去）；当点在第一象限时，点在第四象限，，，∴，把代入得，，整理得，，解得或（不合题意，舍去）；∴点的横坐标为或．3．(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）求出，根据即可求出答案；（3）设，求出由得到，则．得到．求出的解析式为联立得到解得(舍去)或即可求出点P的坐标．【详解】（1）解∶∵点在抛物线上，，解得，∴该抛物线的解析式为；（2）由得顶点，如图，过点D作轴，垂足为E．当时，，可得点C的坐标为．∴，

；（3）如图，过点C作，交于点F，过点F作轴，垂足为G，设，∵，∴．∴，由，，又，∴．∴．设直线的解析式为，则，解得，∴直线，

即，解得(舍去)或，∴，∴点P的坐标为．【点睛】此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法、解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题的关键．4．（1）；（2）；（3）存在，或．【分析】（1）直接将，两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点的坐标，接着表示出Q点和M点的坐标后，求出线段PQ和QM的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值；（3）先利用锐角三角函数证明出，进而得到F点的其中一个位置，在BC另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF与y轴的交点，进而求出BF的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为：；（2）∵经过点A，∴，∴，∴直线：；设，则，∵抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称，∴M点横坐标为，∴；又∵，∴，当时，的值最小，为；∴该矩形周长的最小值为；（3）存在，或；由（2）可知，，∵抛物线的函数表达式为：；且，∴顶点D坐标为，如图4，作DE⊥QM，因为，，∴；又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，∴令，解得：，；∴,,∴,∴，∴当F点在点A处时，能使得，此时;如图5，在BC另一侧，当时，，过C点作CN⊥BH，垂足为点N，由角平分线的性质可得：CN=CO=2，∴BN=BO=4，由勾股定理可得：且,即，且；解得：，;∴设直线BH的函数解析式为：，∴，∴，∴直线BH的函数解析式为：，联立抛物线解析式与直线BH的函数解析式，得：解得：（与B点重合，故舍去），或，∴，综上可得，抛物线上存在点，使得，或．【点睛】本题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容，解决本题的关键是能结合图形理解题意，能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，本题计算量较大，对学生的综合分析思维能力要求也较高，属于压轴题类型，本题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思想等．5．（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，顶点D（1，﹣4）；（2）点M的坐标为（，）；（3）Q（，2）或（，2）【分析】（1）把点A（-1，0），C（0，﹣3）代入解析式求解，然后化为顶点式即可；（2）由（1）的解析式求出函数与x轴的交点坐标，即可得到B（3,0），根据已知条件求出直线BC的解析式，根据M在二次函数的图像上，N在一次函数图像上，可设两个点的坐标为M，N，可得MN，得到关于m的方程，化为顶点式即可得到结果；（3）先根据顶点在x轴上确定函数平移的距离，再根据∠OQP=∠OPQ得到OP=OQ，即可得到结果．【详解】解：（1）∵抛物线y=经过A（-1，0），C（0，﹣3）;得;∴;∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;∴y=（x﹣1）2﹣4;∴顶点D（1，﹣4）.（2）∵y=x2﹣2x﹣3;当y=0时，x2﹣2x﹣3=0;解得，;

∴B（3,0）.设直线BC解析式为y=kx+b（k≠0）;把B（3，0）、C（0，-3）代入y=kx+b;可得;解得：;∴直线BC解析式为;设M，N;∴MN;∴当MN最大时，点M的坐标为（，）．（3）由（1）可得抛物线顶点坐标D（1，﹣4），根据题意可得抛物线向上平移4个单位长度;∵点P在原抛物线y=x2﹣2x﹣3上;∴设P（x,x2﹣2x﹣3）,则Q(x,x2﹣2x+1);∵∠OQP=∠OPQ;∴OP=OQ;∴得到或;∴Q（，2）或（，2）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用题型，准确理解题目的条件是关键点．6．(1)；顶点坐标为：；(2)①；②或或或【分析】（1）将点代入，即可求解；（2）①先根据解析式得出，，，连接交对称轴直线于点M，则最短，求出解析式为，即可得出答案；②设，分两种情况讨论：当D点在点P右侧时，过点D作轴交于点N，通过证明，可得，再将D点代入二次函数解析式求出t的值，从而求出D的坐标；当点D在点P的左侧时，同理可得，再将D点代入二次函数解析式求出t的值，即可求解；【详解】（1）解：将点代入，得，∴，∴，∵，顶点坐标为：；（2）①解：在中，当时，，，∴，，当时，，∴，如图，连接交对称轴直线于点M，则最短，设解析式为，得：，解得：，∴解析式为，当时，，∴；②解：根据①可得：，设，如图1，当D点在点P右侧时，过点D作轴交于点N，∵，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，解得或，∴或；当点D在点P的左侧时，同理可得，∴，解得：，∴或；综上所述：D点的坐标为：或或或；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造直角三角形，利用三角形的全等及性质进行求解是解题的关键．7．(1)；(2)；(3)点Q的坐标为或【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、最值的确定等，分类求解是解题的关键．（1）由待定系数法即可求解；（2）证明，由，即可求解；（3）当点Q在下方时，证明，则，得到，即可求解；当点Q在上方时，同理可解．【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，则，则，则抛物线的表达式为：；（2）解：由抛物线的表达式知，点，则为等腰直角三角形，则，则，设直线的表达式为，将点A、C的坐标代入得：，解得：，∴直线的表达式为：，设点P的坐标为：，则点，则，，故有最大值，当时，的最大值为：，则的最大值为：；（3）解：当点Q在下方时，如下图，设交y轴于点H，，，，，即，即，则，则直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，解得：（舍去）或，则点；当点Q在上方时，同理可得，直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，解得：（舍去）或，则点；综上，点Q的坐标为或．8．（1）；（2）①当时，的面积取得最大值，最大值为；②存在．满足条件的点P坐标为和【分析】（1）将点，点代入抛物线中求出a，b即可；（2）①过点P作轴于点E，交直线于点F，先求出直线BC的解析式，进而设P的坐标为，F的坐标为，从而求出的面积表达式即可求得最值；②分两种情况进行讨论，当点P在直线BC的上方时，当时，则和当点P在直线BC的下方时，设直线PB与CD交于点M，若，则，进而即可求得点P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线经过点，点∴解得∴抛物线的解析式为；（2）①如图①，过点P作轴于点E，交直线于点F在抛物线中，令则，解得，∴点C的坐标为由点和点可求得直线的解析式为设点P的坐标为，由题意可知则点F的坐标为∴∴∵∴当时，的面积取得最大值，最大值为；②存在．满足条件的点P坐标为和∵∴抛物线的顶点D的坐标为由点和点可求得直线的解析式为如图②，当点P在直线的上方时，当时，则设直线的解析式为，把点的坐标代入，得∴直线的解析式为由，解得，（舍去）当时，∴点P坐标为；如图③，当点P在直线的下方时设直线与交于点M，若，则过点B作轴于点N，则点∴∴垂直平分线段设直线与交于点G，则线段的中点G为．由点和点可求得解析式为∵直线，与直线交∴由，解得∴点M的坐标为由点和点可求得直线的解析式为∴由，解得，（舍去）∴点P坐标为；∴综上所述，满足条件的点P坐标为和．【点睛】本意主要考查了二次函数的几何综合，其中涉及到待定系数法求函数解析式，动点问题，几何图形面积的求法，最值问题等相关内容，熟练掌握二次函数的综合解题方法是解决本题的关键．9．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点D（1，4）或（2，3）；（3）当点P在x轴上方时，点P（，）；当点P在x轴下方时，点（﹣，﹣）【分析】(1)c=3，点B(3，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+3，解得a=﹣1即可得出答案；(2)由S△COF：S△CDF=3：2得OF：FD=3：2，由DH∥CO得CO：DM=3：2，求得DM=2，而DM==2，即可求解；(3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．【详解】(1)∵OB=OC=3，∴点C的坐标为C(0，3)，c=3，点B的坐标为B(3，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+3，解得：a=﹣1，故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+3；(2)如图，过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于点M，∵S△COF：S△CDF=3：2，∴OF：FD=3：2，∵DH∥CO，∴CO：DM=OF：FD=3：2，∴DM=CO=2，设直线BC的表达式为：，将C(0，3)，B(3，0)代入得，解得：，∴直线BC的表达式为：y=﹣x+3，设点D的坐标为(x，﹣x2+2x+3)，则点M(x，﹣x+3)，∴DM==2，解得：x=1或2，故点D的坐标为：(1，4)或(2，3)；(3)①当点P在x轴上方时，取OG=OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM=∠GBO，则∠OBP=2∠OBE，过点G作GH⊥BM，如图，∵点E的坐标为(0，)，∴OE=，∵∠GBM=∠GBO，GH⊥BM，GO⊥OB，∴GH=GO=OE=，BH=BO=3，设MH=x，则MG=，在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，解得：x=2，故MG==，则OM=MG+GO=+，点M的坐标为(0，4)，设直线BM的表达式为：，将点B(3，0)、M(0，4)代入得：，解得：，∴直线BM的表达式为：y=x+4，解方程组解得：x=3(舍去)或，将x=代入y=x+4得y=，故点P的坐标为(，)；②当点P在x轴下方时，如图，过点E作EN⊥BP，直线PB交y轴于点M，∵∠OBP=2∠OBE，∴BE是∠OBP的平分线，∴EN=OE=，BN=OB=3，设MN=x，则ME=，在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，解得：，∴，则OM=ME+EO=+，点M的坐标为(0，-4)，设直线BM的表达式为：，将点B(3，0)、M(0，-4)代入得：，解得：，∴直线BM的表达式为：，解方程组解得：x=3(舍去)或，将x=代入得，故点P的坐标为(，)；综上，点P的坐标为：(，)或(，)．【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理、勾股定理、角平分线的性质等，其中第(3)问要注意分类求解，避免遗漏．10．(1)y＝﹣x2＋2x＋3(2)M（，）(3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12）【分析】（1）根据二次函数的交点式，即可求解；（2）先求出C（0，3），可得直线BC的解析式为y＝-x＋3，然后设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），再利用二次函数的性质，即可求解；（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，先求出点P坐标（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，从而得到△PBC为直角三角形，进而得到tan∠PBC＝，然后设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3；（2）解：当时，，∴C（0，3），设直线BC的解析式为，把点B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝-x＋3，设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），∴MN＝-m2＋2m＋3-（-m＋3）＝-m2＋3m＝-（m-）2＋，当m＝时，MN的长度最大，此时M（，）；（3）如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，∵，∴点P坐标（1，4），∵点B（3，0），C（0，3），∴PC＝，