三角恒等变化试题及答案

三角恒等变化试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共10分）

1.在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是：

A.45°B.60°C.75°D.90°

2.在直角三角形ABC中，若∠C=90°，且a=3，b=4，则三角形ABC的面积是：

A.6B.8C.12D.16

3.在三角形ABC中，若∠A=50°，∠B=40°，则sinA与sinB的比值是：

A.2/3B.3/2C.5/4D.4/5

4.若在直角三角形ABC中，∠A=30°，则tanA的值是：

A.1/2B.2/1C.√3/1D.1/√3

5.在三角形ABC中，若∠A=45°，∠B=30°，则sinC的值是：

A.√3/2B.1/2C.√2/2D.2/√2

二、填空题（每题2分，共10分）

1.在三角形ABC中，若∠A=45°，∠B=45°，则∠C的度数是________。

2.在直角三角形ABC中，若∠A=90°，且a=5，b=12，则斜边c的长度是________。

3.在三角形ABC中，若sinA=3/5，∠B=30°，则sinC的值是________。

4.在直角三角形ABC中，若∠A=60°，则tanB的值是________。

5.在三角形ABC中，若∠A=70°，∠B=50°，则cosC的值是________。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.已知三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，求sinC的值。

2.在直角三角形ABC中，若∠A=90°，a=6，b=8，求三角形ABC的面积。

3.在三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=75°，求sinA与cosB的比值。

四、应用题（每题10分，共20分）

1.在三角形ABC中，已知AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，求∠BAC的正弦值。

2.一根绳子被拉紧后，两端固定在两个柱子上，绳子与地面形成30°的角，绳子长度为10米，求绳子与地面接触点到两个柱子之间的距离。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2.证明：在任意三角形中，三个角的正弦值之和等于2。

六、综合题（每题10分，共20分）

1.在三角形ABC中，已知∠A=40°，∠B=60°，AB=10cm，求BC和AC的长度。

2.在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=90°，∠C=60°，若AB=2cm，求三角形ABC的周长。

试卷答案如下：

一、选择题（每题2分，共10分）

1.答案：C

解析思路：三角形内角和为180°，∠A+∠B+∠C=180°，已知∠A=60°，∠B=45°，代入得∠C=180°-60°-45°=75°。

2.答案：C

解析思路：直角三角形的面积公式为S=1/2*a*b，代入a=3，b=4，得S=1/2*3*4=6。

3.答案：D

解析思路：在三角形中，正弦值与角度成正比，已知∠A=50°，∠B=40°，则sinA/sinB=50/40=5/4。

4.答案：A

解析思路：在30°-60°-90°的直角三角形中，tan30°=1/√3，所以tanA=1/2。

5.答案：D

解析思路：在三角形中，sinC=sin(180°-A-B)=sin(A+B)，已知∠A=45°，∠B=30°，则sinC=sin(45°+30°)=sin75°=2/√2。

二、填空题（每题2分，共10分）

1.答案：75°

解析思路：与选择题1相同，三角形内角和为180°，已知∠A=45°，∠B=45°，代入得∠C=180°-45°-45°=90°。

2.答案：10

解析思路：根据勾股定理，c²=a²+b²，代入a=5，b=12，得c=√(5²+12²)=√(25+144)=√169=13。

3.答案：4/5

解析思路：在三角形中，sinC=sin(180°-A-B)=sin(A+B)，已知sinA=3/5，∠B=30°，则sinC=sin(45°+30°)=sin75°=4/5。

4.答案：1/√3

解析思路：在30°-60°-90°的直角三角形中，tan30°=1/√3，所以tanA=1/√3。

5.答案：√3/2

解析思路：在三角形中，cosC=cos(180°-A-B)=cos(A+B)，已知∠A=70°，∠B=50°，则cosC=cos(70°+50°)=cos120°=-1/2。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.答案：√3/2

解析思路：在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°，sinC=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2*√3/2+√2/2*1/2=√6/4+√2/4=√3/2。

2.答案：24

解析思路：在直角三角形ABC中，∠A=90°，a=6，b=8，根据勾股定理，c²=a²+b²，代入得c=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10，所以三角形ABC的周长为6+8+10=24。

3.答案：√3

解析思路：在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=75°，sinA/sinB=30/75=2/5，sinA=2/5*sinB，已知sinB=1/2，代入得sinA=2/5*1/2=1/5，所以sinA与cosB的比值是1/5。

四、应用题（每题10分，共20分）

1.答案：√3/2

解析思路：在三角形ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，根据勾股定理，AC²=AB²+BC²，代入得13²=5²+12²，所以AC²=169，AC=13cm，因为AC是斜边，所以∠BAC是直角，sinBAC=BC/AC=12/13，所以sinBAC的值是√3/2。

2.答案：5米

解析思路：在直角三角形中，sinθ=对边/斜边，已知sin30°=对边/10，代入得对边=10*sin30°=10*1/2=5米。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.答案：证明如上

解析思路：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可以构造一个等腰三角形，证明中位线等于斜边的一半。

2.答案：证明如上

解析思路：在任意三角形中，三个角的正弦值之和等于2，可以通过三角函数的性质和三角形内角和定理进行证明。

六、综合题（每题10分，共20分）

1.答案：BC=5√6cm，AC=5√2cm

解析思路：在三角形ABC中，∠A=40°，∠B=60°，AB=10cm，由正弦定理，AC/sinB=AB/sinA，代入得AC/sin60°=10/sin40°，解得AC=5√6cm，同理，BC=5√2cm。

2.