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文档简介
南阳市第一中学2025年高考数学试题全真模拟密押卷(八)注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.阿波罗尼斯(约公元前262~190年)证明过这样的命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点,间的距离为2,动点与,的距离之比为,当,,不共线时,的面积的最大值是()A. B. C. D.2.的展开式中,项的系数为()A.-23 B.17 C.20 D.633.在中,,则=()A. B.C. D.4.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为()A.8 B. C. D.5.记的最大值和最小值分别为和.若平面向量、、,满足,则()A. B.C. D.6.已知直线:与椭圆交于、两点,与圆:交于、两点.若存在,使得,则椭圆的离心率的取值范围为()A. B. C. D.7.如图所示,为了测量、两座岛屿间的距离,小船从初始位置出发,已知在的北偏西的方向上,在的北偏东的方向上,现在船往东开2百海里到达处,此时测得在的北偏西的方向上,再开回处,由向西开百海里到达处,测得在的北偏东的方向上,则、两座岛屿间的距离为()A.3 B. C.4 D.8.已知函数,对任意的,,当时,,则下列判断正确的是()A. B.函数在上递增C.函数的一条对称轴是 D.函数的一个对称中心是9.已知函数,,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.10.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示,在这一年中的水、电、交通开支(单位:万元)如图2所示,则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为()A. B. C. D.11.在等差数列中,若为前项和,,则的值是()A.156 B.124 C.136 D.18012.已知复数z满足,则在复平面上对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设等差数列的前项和为,若,,则数列的公差________,通项公式________.14.割圆术是估算圆周率的科学方法,由三国时期数学家刘徽创立,他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积,从而得出圆周率.现在半径为1的圆内任取一点,则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________.15.若双曲线C:(,)的顶点到渐近线的距离为,则的最小值________.16.若,则=______,=______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆,上、下顶点分别是、,上、下焦点分别是、,焦距为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)若为椭圆上异于、的动点,过作与轴平行的直线,直线与交于点,直线与直线交于点,判断是否为定值,说明理由.18.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.19.(12分)某公司打算引进一台设备使用一年,现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元,乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修,对于每台设备,一年间三次及三次以内免费维修,三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数,得到下面的频数分布表,以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数23456甲设备5103050乙设备05151515(1)设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和,求和的分布列;(2)若以数学期望为决策依据,希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低,且维修次数尽量少,则需要购买哪种设备?请说明理由.20.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)若,,,求证:.21.(12分)某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销,定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应,每天的销售数据按照,,,分组,得到如下频率分布直方图,以不同销量的频率估计概率.从试销售期间任选三天,求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率;试销结束后,这款酸奶正式上市,厂家只提供整箱批发:大箱每箱瓶,批发成本元;小箱每箱瓶,批发成本元.由于酸奶保质期短,当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考,决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表,比如销量为时看作销量为瓶).①设早餐店批发一大箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量,批发一小箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量,求和的分布列和数学期望;②以利润作为决策依据,该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?注:销售额=销量×定价;利润=销售额-批发成本.22.(10分)设,,,.(1)若的最小值为4,求的值;(2)若,证明:或.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
根据平面内两定点,间的距离为2,动点与,的距离之比为,利用直接法求得轨迹,然后利用数形结合求解.【详解】如图所示:设,,,则,化简得,当点到(轴)距离最大时,的面积最大,∴面积的最大值是.故选:A.本题主要考查轨迹的求法和圆的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.2.B【解析】
根据二项式展开式的通项公式,结合乘法分配律,求得的系数.【详解】的展开式的通项公式为.则①出,则出,该项为:;②出,则出,该项为:;③出,则出,该项为:;综上所述:合并后的项的系数为17.故选:B本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识,考查理解能力,计算能力,分类讨论和应用意识.3.B【解析】
在上分别取点,使得,可知为平行四边形,从而可得到,即可得到答案.【详解】如下图,,在上分别取点,使得,则为平行四边形,故,故答案为B.本题考查了平面向量的线性运算,考查了学生逻辑推理能力,属于基础题.4.D【解析】
根据三视图还原几何体为四棱锥,即可求出几何体的表面积.【详解】由三视图知几何体是四棱锥,如图,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2,所以,故选:本题主要考查了由三视图还原几何体,棱锥表面积的计算,考查了学生的运算能力,属于中档题.5.A【解析】
设为、的夹角,根据题意求得,然后建立平面直角坐标系,设,,,根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程,将和转化为圆上的点到定点距离,利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得,则,,,建立平面直角坐标系,设,,,由,可得,即,化简得点的轨迹方程为,则,则转化为圆上的点与点的距离,,,,转化为圆上的点与点的距离,,.故选:A.本题考查和向量与差向量模最值的求解,将向量坐标化,将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,考查化归与转化思想与数形结合思想的应用,属于中等题.6.A【解析】
由题意可知直线过定点即为圆心,由此得到坐标的关系,再根据点差法得到直线的斜率与坐标的关系,由此化简并求解出离心率的取值范围.【详解】设,且线过定点即为的圆心,因为,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以.故选:A.本题考查椭圆与圆的综合应用,着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用,难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的,大大简化运算.7.B【解析】
先根据角度分析出的大小,然后根据角度关系得到的长度,再根据正弦定理计算出的长度,最后利用余弦定理求解出的长度即可.【详解】由题意可知:,所以,,所以,所以,又因为,所以,所以.故选:B.本题考查解三角形中的角度问题,难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.8.D【解析】
利用辅助角公式将正弦函数化简,然后通过题目已知条件求出函数的周期,从而得到,即可求出解析式,然后利用函数的性质即可判断.【详解】,又,即,有且仅有满足条件;又,则,,函数,对于A,,故A错误;对于B,由,解得,故B错误;对于C,当时,,故C错误;对于D,由,故D正确.故选:D本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质,熟记性质是解题的关键,属于基础题.9.B【解析】
可判断函数在上单调递增,且,所以.【详解】在上单调递增,且,所以.故选:B本题主要考查了函数单调性的判定,指数函数与对数函数的性质,利用单调性比大小等知识,考查了学生的运算求解能力.10.A【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例,再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例,相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为.故选:A本题考查折线图与柱形图,属于基础题.11.A【解析】
因为,可得,根据等差数列前项和,即可求得答案.【详解】,,.故选:A.本题主要考查了求等差数列前项和,解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.12.A【解析】
设,由得:,由复数相等可得的值,进而求出,即可得解.【详解】设,由得:,即,由复数相等可得:,解之得:,则,所以,在复平面对应的点的坐标为,在第一象限.故选:A.本题考查共轭复数的求法,考查对复数相等的理解,考查复数在复平面对应的点,考查运算能力,属于常考题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】
直接利用等差数列公式计算得到答案.【详解】,,解得,,故.故答案为:2;.本题考查了等差数列的基本计算,意在考查学生的计算能力.14.【解析】
求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积,再用几何概型公式求出即可.【详解】半径为1的圆内接正十二边形,可分割为12个顶角为,腰为1的等腰三角形,∴该正十二边形的面积为,根据几何概型公式,该点取自其内接正十二边形的概率为,故答案为:.本小题主要考查面积型几何概型的计算,属于基础题.15.【解析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线,顶点,再利用点到直线的距离公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线C:(,,可得一条渐近线,一个顶点,所以,解得,则,当且仅当时,取等号,所以的最小值为.故答案为:本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值,注意验证等号成立的条件,属于基础题.16.10【解析】
①根据换底公式计算即可得解;②根据同底对数加法法则,结合①的结果即可求解.【详解】①由题:,则;②由①可得:.故答案为:①1,②0此题考查对数的基本运算,涉及换底公式和同底对数加法运算,属于基础题目.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2),理由见解析.【解析】
(1)求出椭圆的上、下焦点坐标,利用椭圆的定义求得的值,进而可求得的值,由此可得出椭圆的方程;(2)设点的坐标为,求出直线的方程,求出点的坐标,由此计算出直线和的斜率,可计算出的值,进而可求得的值,即可得出结论.【详解】(1)由题意可知,椭圆的上焦点为、,由椭圆的定义可得,可得,,因此,所求椭圆的方程为;(2)设点的坐标为,则,得,直线的斜率为,所以,直线的方程为,联立,解得,即点,直线的斜率为,直线的斜率为,所以,,,因此,.本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中定值问题的求解,考查计算能力,属于中等题.18.(1)(2).【解析】
(1)利用离心率和椭圆经过的点建立方程组,求解即可.(2)把面积之比转化为纵坐标之间的关系,联立方程结合韦达定理可求.【详解】解:(1)设焦距为2c,由题意知:;解得,所以椭圆的方程为.(2)由(1)知:F(﹣1,0),设l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直线l的方程为.本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题,椭圆方程一般利用待定系数法,建立方程组进行求解,面积问题的合理转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.19.(1)分布列见解析,分布列见解析;(2)甲设备,理由见解析【解析】
(1)的可能取值为10000,11000,12000,的可能取值为9000,10000,11000,12000,计算概率得到分布列;(2)计算期望,得到,设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为,,计算分布列,计算数学期望得到答案.【详解】(1)的可能取值为10000,11000,12000,,因此的分布如下100001100012000的可能取值为9000,10000,11000,12000,,,因此的分布列为如下9000100001100012000(2)设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为,的可能取值为2,3,4,5,,,则的分布列为2345的可能取值为3,4,5,6,,,则的分布列为3456由于,,因此需购买甲设备本题考查了数学期望和分布列,意在考查学生的计算能力和应用能力.20.(1);(2)证明见解析.【解析】
(1)分、、三种情况解不等式,即可得出该不等式的解集;(2)利用分析法可知,要证,即证,只需证明即可,因式分解后,判断差值符号即可,由此证明出所证不等式成立.【详解】(1).当时,由,解得,此时;当时,不成立;当时,由,解得,此时.综上所述,不等式的解集为;(2)要证,即证,因为,,所以,,,.所以,.故所证不等式成立.本题考查绝对值不等式的求解,同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式,考查分类讨论思想以及推理能力,属于中等题.21.;①详见解析;②应该批发一大箱.【解析】
酸奶每天销量大于瓶的概率为,不大于瓶的概率为,设“试销售期间任选三天,其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件,则
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