山西大学附属中学2025年高三下学期二轮质量检测试题数学试题含解析_第1页
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文档简介

山西大学附属中学2025年高三下学期二轮质量检测试题数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合(为实数集),,,则()A. B. C. D.2.已知与函数和都相切,则不等式组所确定的平面区域在内的面积为()A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中,将点绕原点逆时针旋转到点,设直线与轴正半轴所成的最小正角为,则等于()A. B. C. D.4.若执行如图所示的程序框图,则输出的值是()A. B. C. D.45.如图,平面与平面相交于,,,点,点,则下列叙述错误的是()A.直线与异面B.过只有唯一平面与平行C.过点只能作唯一平面与垂直D.过一定能作一平面与垂直6.已知函数是上的偶函数,且当时,函数是单调递减函数,则,,的大小关系是()A. B.C. D.7.设,是非零向量,若对于任意的,都有成立,则A. B. C. D.8.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须分开安排的概率为()A. B. C. D.9.已知圆与抛物线的准线相切,则的值为()A.1 B.2 C. D.410.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切,与相切于点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.11.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为176,320,则输出的a为()A.16 B.18 C.20 D.1512.已知函数的零点为m,若存在实数n使且,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________.14.在平面直角坐标系中,点在曲线:上,且在第四象限内.已知曲线在点处的切线为,则实数的值为__________.15.执行右边的程序框图,输出的的值为.16.如图在三棱柱中,,,,点为线段上一动点,则的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,(其中,).(1)求函数的最小值.(2)若,求证:.18.(12分)已知函数是减函数.(1)试确定a的值;(2)已知数列,求证:.19.(12分)已知x∈R,设,,记函数.(1)求函数取最小值时x的取值范围;(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,求△ABC的面积S的最大值.20.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且(1)求数列{a(2)求数列{1Sn}的前21.(12分)如图,在四棱柱中,底面为菱形,.(1)证明:平面平面;(2)若,是等边三角形,求二面角的余弦值.22.(10分)已知等差数列的前n项和为,等比数列的前n项和为,且,,.(1)求数列与的通项公式;(2)求数列的前n项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

根据集合交集与补集运算,即可求得.【详解】集合,,所以所以故选:A本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.2.B【解析】

根据直线与和都相切,求得的值,由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆,由此求得正确选项.【详解】.设直线与相切于点,斜率为,所以切线方程为,化简得①.令,解得,,所以切线方程为,化简得②.由①②对比系数得,化简得③.构造函数,,所以在上递减,在上递增,所以在处取得极小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即,画出其对应的区域如下图所示.圆可化为,圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示,不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为,直线的斜率为.所以,所以,而圆的半径为,所以阴影部分的面积是.故选:B本小题主要考查根据公共切线求参数,考查不等式组表示区域的画法,考查圆的方程,考查两条直线夹角的计算,考查扇形面积公式,考查数形结合的数学思想方法,考查分析思考与解决问题的能力,属于难题.3.A【解析】

设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为,由任意角的三角函数的定义可以求得的值,依题有,则,利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图,设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终边上,所以依题有,则,所以,故选:A本题考查三角函数的定义及诱导公式,属于基础题.4.D【解析】

模拟程序运行,观察变量值的变化,得出的变化以4为周期出现,由此可得结论.【详解】;如此循环下去,当时,,此时不满足,循环结束,输出的值是4.故选:D.本题考查程序框图,考查循环结构.解题时模拟程序运行,观察变量值的变化,确定程序功能,可得结论.5.D【解析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质,结合线面垂直的关系,对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面,则A,D,B,C共面,则AB,CD共面,与,矛盾,故正确.B.根据异面直线的性质知,过只有唯一平面与平行,故正确.C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知,故正确.D.根据异面直线的性质知,过不一定能作一平面与垂直,故错误.故选:D本题主要考查异面直线的定义,性质以及线面关系,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.6.D【解析】

利用对数函数的单调性可得,再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为,,故.又,故.因为当时,函数是单调递减函数,所以.因为为偶函数,故,所以.故选:D.本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用,比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系,本题属于中档题.7.D【解析】

画出,,根据向量的加减法,分别画出的几种情况,由数形结合可得结果.【详解】由题意,得向量是所有向量中模长最小的向量,如图,当,即时,最小,满足,对于任意的,所以本题答案为D.本题主要考查了空间向量的加减法,以及点到直线的距离最短问题,解题的关键在于用有向线段正确表示向量,属于基础题.8.C【解析】

分情况讨论,由间接法得到“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须分开的事件个数,不考虑限制因素,总数有种,进而得到结果.【详解】当“数”位于第一位时,礼和乐相邻有4种情况,礼和乐顺序有2种,其它剩下的有种情况,由间接法得到满足条件的情况有当“数”在第二位时,礼和乐相邻有3种情况,礼和乐顺序有2种,其它剩下的有种,由间接法得到满足条件的情况有共有:种情况,不考虑限制因素,总数有种,故满足条件的事件的概率为:故答案为:C.解排列组合问题要遵循两个原则:①按元素(或位置)的性质进行分类;②按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).9.B【解析】

因为圆与抛物线的准线相切,则圆心为(3,0),半径为4,根据相切可知,圆心到直线的距离等于半径,可知的值为2,选B.【详解】请在此输入详解!10.D【解析】

可设的内切圆的圆心为,设,,可得,由切线的性质:切线长相等推得,解得、,并设,求得的值,推得为等边三角形,由焦距为三角形的高,结合离心率公式可得所求值.【详解】可设的内切圆的圆心为,为切点,且为中点,,设,,则,且有,解得,,设,,设圆切于点,则,,由,解得,,,所以为等边三角形,所以,,解得.因此,该椭圆的离心率为.故选:D.本题考查椭圆的定义和性质,注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质,切线的性质,考查化简运算能力,属于中档题.11.A【解析】

根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a,b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数,按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16,故选:A.本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.12.D【解析】

易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为,所以,∴,问题转化为:使方程在区间上有解,即在区间上有解,而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为,∴.故选D.本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

依题意得,再求点到平面的距离为点到直线的距离,用公式所以即可得出答案.【详解】解:正三棱柱的所有棱长均为2,则,点到平面的距离为点到直线的距离所以,所以.故答案为:本题考查椎体的体积公式,考查运算能力,是基础题.14.【解析】

先设切点,然后对求导,根据切线方程的斜率求出切点的横坐标,代入原函数求出切点的纵坐标,即可得出切得,最后将切点代入切线方程即可求出实数的值.【详解】解:依题意设切点,因为,则,又因为曲线在点处的切线为,,解得,又因为点在第四象限内,则,.则又因为点在切线上.所以.所以.故答案为:本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标,本题属于基础题.15.【解析】初始条件成立方;运行第一次:成立;运行第二次:不成立;输出的值:结束所以答案应填:考点:1、程序框图;2、定积分.16.【解析】

把绕着进行旋转,当四点共面时,运用勾股定理即可求得的最小值.【详解】将以为轴旋转至与面在一个平面,展开图如图所示,若,,三点共线时最小为,为直角三角形,故答案为:本题考查了空间几何体的翻折,平面内两点之间线段最短,解直角三角形进行求解,考查了空间想象能力和计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1).(2)答案见解析【解析】

(1)利用绝对值不等式的性质即可求得最小值;(2)利用分析法,只需证明,两边平方后结合即可得证.【详解】(1),当且仅当时取等号,∴的最小值;(2)证明:依题意,,要证,即证,即证,即证,即证,又可知,成立,故原不等式成立.本题考查用绝对值三角不等式求最值,考查用分析法证明不等式,在不等式不易证明时,可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件,完成证明,这就是分析法.18.(Ⅰ)(Ⅱ)见证明【解析】

(Ⅰ)求导得,由是减函数得,对任意的,都有恒成立,构造函数,通过求导判断它的单调性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是减函数,且可得,当时,,则,即,两边同除以得,,即,从而,两边取对数,然后再证明恒成立即可,构造函数,,通过求导证明即可.【详解】解:(Ⅰ)的定义域为,.由是减函数得,对任意的,都有恒成立.设.∵,由知,∴当时,;当时,,∴在上单调递增,在上单调递减,∴在时取得最大值.又∵,∴对任意的,恒成立,即的最大值为.∴,解得.(Ⅱ)由是减函数,且可得,当时,,∴,即.两边同除以得,,即.从而,所以①.下面证;记,.∴,∵在上单调递增,∴在上单调递减,而,∴当时,恒成立,∴在上单调递减,即时,,∴当时,.∵,∴当时,,即②.综上①②可得,.本题考查了导数与函数的单调性的关系,考查了函数的最值,考查了构造函数的能力,考查了逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.,19.(1);(2)【解析】

(1)先根据向量的数量积的运算,以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f(x)=,再根据正弦函数的性质即可求出答案;(2)先求出C的大小,再根据余弦定理和基本不等式,即可求出,根据三角形的面积公式即可求出答案.【详解】(1).令,k∈Z,即时,,取最小值,所以,所求的取值集合是;(2)由,得,因为,所以,所以,.在中,由余弦定理,得,即,当且仅当时取等号,所以的面积,因此的面积的最大值为.本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式,两角和的正弦公式,余弦定理和基本不等式,三角形的面积公式,属于中档题.20.(1)an=2n【解析】

(1)先设出数列的公差为d,结合题中条件,求出首项和公差,即可得出结果.(2)利用裂项相消法求出数列的和.【详解】解:(1)设公差为d的等差数列{an}且a1+a则有:a1解得:a1=3,所以:a(2)由于:an所以:Sn则:1S则:Tn=1本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.21.(1)证明见解析(2)【解析】

(1)根据面面垂直的

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