数学-湖南省炎德英才2025届高三九校联盟第二次联考试题和答案

湖南省2025届高三九校联盟第二次联考1.已知集合A={x||x-1|<2},B={y∈Z|y=2=},则A∩B=A.(一1,3)B.[1,3]C.{1,2}D.{0,1,2}AAA.1AAC及C6.欧拉函数p(n)(n∈N")的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互素的正整数的个数，例A.60B.308.对于满足一定条件的连续函数f(x),若存在一个点xo,使得f(xo)=xo,那么我们称f(x)为满足f(x;)=xi,CD.f(x)=2sinx+2cosxC9.若(x+1)⁵=ao+a₁x+a₂x²+a₃x³+aAx⁴+B.数据ao,ai,a₂,a₃,a₄,as的30%分位数为5C.数据a₀+1,a₁,a₂,a₃,a₄,as+3的标准差为3A.直线AB与平面ACD所成角的正弦值为1B,三棱锥C-ABD的体积C.平面ABD的方程为x+√2y+√3z-2=00,若g(xy+1)=g(x+1)g(y+1),h(2)=4g(2),则A.g(1)=0B.f(1)=0数学试题第2页(共5页)15.(本小题满分13分)数学试题第3页(共5页)18.(本小题满分17分)已知直线l:y=x+1与双曲线及其渐近线分别交于点A,B和点C,D.(3)若m=2,过双曲线M上一点P向双曲线N:作切线L₁,l₂,其斜率分别为k₁,k₂,问是否存在这样的λ,使得k₁·k₂为定值?若存在，求出λ的值及定值k₁·k₂;若不存19.(本小题满分17分)(2)设函数f(x)=x-1+klnx(k≠0),直线l是曲线y=f(x)在点(t,f(t))(t>1)处的切线.求证：直线L不经过点(1,0);(3)已知函数,对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数与g(x)在区间(0,+一)内存在“公切点”?并说明理由.数学试题第5页(共5页)湖南省2025届高三九校联盟第二次联考数学参考答案命题学校：桑植县一中审题学校：湖南师大附中一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)12345678CBCCDBAD故选C.3.C【解析】已知抛物线,化为标准形式为x²=16y,则抛物线的焦点到准线的距离为p=8.故选C.5.D【解析】因为P(3,4)为角α的终边上一点，则,将角α的终边绕原点O按顺时针方向旋转后得故选D.6.B【解析】由题知φ(2)=1,φ(4)=2,φ(6)=2,φ(8)=4,φ(10)=4,可组成五位数的个数为,故解得即直线L过定点D(0,-1),且不含直线x+y+1=|AB|min=2√4-2=2√2,但此时直线AB为x+y+1=0,不合题意，所以2√2<因为y=x+lnx-1在区间(0,+∞)上单调递增，所以f(x)=1-Inx不可能为“3型不动点”函数，故A错误；对于B,令f(x)=5-Inx-e²=x(x>0),即x+Inx+e²-5=0.因为y=x+lnx+e-5在区间(0,+一)上单调递增，所以f(x)=5-Inx-e²不可能为“3型不动点”函数，故B错误；所以当x<0时，的图象与直线y=x有且只有一个交点；令f(x)=1,,解得x=2,此时f(2)=2,所以直线y=x与曲线相切于点(2,2).所以直线y=x与曲线共有两个交点，数学试题参考答案-1所以为“2型不动点”函数，故C错误；作出f(x)的图象，如图所示.易知其与直线y=x有且只有三个不同的交点，即2sinx+2cosx=x有三个不同的解，所以f(x)=2sinx+2cosx为“3型不动点”函数，故D正确.故选D.二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)题号9答案ao=1,a₁=5,a₂=10,a₃=10,a=5,as=1,数据按从小到大顺序排列为1,1,5,5,10,10,故30%分位数为第二个数1,故B错误；由数据为2,5,10,10,5,4,则平均数为6,方差为9,标准差为3,故C正确；32,则X～N(32,o²),D正确.故选ACD.得得,故与平面ACD所成角的正弦值为1,则直线AB⊥平面ACD.则,故B错误；AB=(-2,√2,0),则平面ABD的一个法向量为n=(1,√2,√3),所以平面ABD的方程为(x-2)+√2y+√3z=0,化简得x+√2y+√3z-2=0,故C正确；AD在AB上的投影向量,故D正确.故选CD.令x=0,得g(1)=g(1)g(y+1),若g(y+1)=1,则h(y+1)=0,而h(2)=4,所以g(1)=0令x=-1,y=-1,得g(2)=g(0)g(0)=1,则g(0)=1.令y=-1,得g(1-x)=g(0)g(1+x),即g(1-x)=g(1+x),即g(x)的图象关于直线x=1对称，所以h(x)的图象关于点(1,0)对称，无法判断f(x)的图象是否关于点(1,0)对称，B项错误，C项正确；因为h(x)的图象关于点(1,0)对称，所以h(O)+h(2)=h(-1)+h(3)=h(-2)+h(4)=…=h(-2023)+h(2025)=0,所以项正确.故选ACD.法二：构造函数g(x)=(x-1)⁴,则有h(x)=4(x-1)³,,代入验证有g(1)=0,A正确；h(x)关于点(1,0)对称，故h(O)+h(2)=h(-1)+h(3)=…=h(-2023)+h(2025)=0,数学试题参考答案-2所正确，故选ACD.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)所以an=3n-2,12.590【解析】设等差数列{an}的公差为d,由题知解所以an=3n-2,的蒙日圆，由A,B为椭圆C=1上任意两点，动点P满足∠APB恒为锐角，得点P在圆x²+y²=2+m外，又动点P在直线x-√3y-8,解得,所以椭圆C的离心率的取值范围为【解析】类比分析可以知道，小球在正方体内部运动，“小米正方体”的8个角合在一起刚好是一个直径为正方体棱长一半的球体，12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体棱长一半的三个圆柱体.剩余部分是个类似十字的几何体，可算得该几何体体积为4.所以“小米正方体”的体积为四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)因为sinCcosB+sinBcos又因为sinA≠0,所以,又A∈(0,π),则………(6分)(2)因为由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA,即,化简得b²+c²=48,………(8分)由正弦定理.…………………(13分)16.【解析】(1)因为点P为半圆弧AD上(不含A,D点)一动点，所以PD⊥AP,……………(1分)因为半圆面APD⊥底面ABCD,平面APDN平面ABCD=AD,ABC平面ABCD,所以AB⊥平面PAD,………………又DPC平面PAD,所以ABLPD,………………………(4分)因为PDLAP,APNAB=A,AP,ABC平面PAB,所以PD⊥平面PAB,………………………(5分)又PBC平面PAB,所以PD⊥PB.…………(6分)ABCD的直线为≈轴建立空间直角坐标系，当点P为半圆弧AD上靠近点D的三等分点时，∠PAD=30°,……(7分)由四边形ABCD是边长为5的正方形，设平面PBD的法向量为m=(x,y,z),所以设二面角A-BD-P的平面角大小为θ,则由平方关系可得.…………………(14分)所以当点P为半圆弧AD上靠近点D的三等分点时，二面角A-BD-P的正弦值为………(15分)17.【解析】(1)法一：根据题意可知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,………(3分)∴随机变量X的数学期望……………………(4分)(2)记事件A₁,A₂,A₃分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件B表示该同学能猜对，由全概率公式可得：(3)法一：由题意可知积分增加1分的概率为,增加2分的概率为………………(10分)记得分为n的概率为P,,易得,……(11分)∴数列{Pn+1-P,}是以为首项为公比的等比数列，数学试题参考答案-4所以，丁组获胜的概率为.…………(15分)法二：丁组要恰好获得10分，可以将丁组代表摸球的情况分为六类：第一类：连续摸5次，恰好10分，记为事件C,则其概率为第二类：连续摸6次，恰好10分，记为事件D,则其概率为第三类：连续摸7次，恰好10分，记为事件E,则其概率为;…(11分)第四类：连续摸8次，恰好10分，记为事件F,则其概率为第五类：连续摸9次，恰好10分，记为事件G,则其概率为第六类：连续摸10次，恰好10分，记为事件H,则其概率为,………………(13分)因此，丁组获得胜利的概率为P=Pc+Pp+PE+PF+PG+PH解得0<m<3或3<m<4(4分)(2)证明：设A(x₁,y₁),B(x2,y₂),由韦达定理可知,………………(5分)设AB的中点为E(xo,yo),则有又双曲线的渐近线方程为,联立可得即,同理,………………(8分)从而CD的中点为,即AB与CD的中点重合，则有AE=EB,CE=ED,即AC=BD.(9分)(3)设过点P(x₃,y₃)且与双曲线N相切的直线方程为y-y₃=k(x—x₃),即y=kx+y₃-kx₃,联立可得(3-2k²)x²-4k(y₃-kx₃)x-2(y₃-kx₃)²-6λ=0,…(11分)由题意可知，3-2k²≠0,且△=16k²(y₃-kx₃)²+4(3-2k²)[2(y₃-kx₃)²+6λ]=0,化简得(y₃-kx₃)²+λ(3-2k²)=0,即(x²-2λ)k²-2x₃ysk+y³+3x=0,(13分)…(15分)……(15分)若k₁·k₂为定值，则有,化简得.此时k但此时,这与②矛盾，所以不存在这样的λ,使得k₁·k