数学预习导航：正弦函数的图象与性质第课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精预习导航课程目标学习脉络1．了解正弦曲线的画法,能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象．2．理解正弦函数的性质,会求正弦函数的周期、单调区间和最值，并能利用正弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题．1．正弦函数的图象（1）正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线．我们用“五点法”作出y＝sinx，x∈R的图象如图．其中在x∈［0,2π］的图象起关键作用的五个点分别为(0,0），，（π，0），，（2π,0)．注意:（1）五点法是画正弦函数图象的基本方法，与之相关的问题在历年高考中经常出现，要切实掌握好．（2)作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与之函数值均为实数，在两个轴上的单位是统一的，作出的图象更加正规、实用．（3）正弦函数的图象沿x轴向左、向右无限延伸,称为正弦曲线．自主思考1如何由正弦函数y＝sinx的图象得到y＝sin（x＋1)和y＝sinx－2的图象？提示：将y＝sinx的图象向左平移一个单位长度即可得到y＝sin(x＋1）的图象；将y＝sinx的图象向下平移一个单位长度即得到y＝sinx－2的图象；注意可以利用图象的平移变换：①y＝f(x)→y＝f(x±a)(a〉0）-—左“＋"右“－”；②y＝f（x）→y＝f（x）±k(k〉0）——上“＋”下“－"得到函数的图象．2．正弦函数的性质自主思考2正弦函数在对称轴和对称中心处的函数值有何特点？提示：（1）正弦曲线的对称轴一定经过正弦曲线的最高点或最低点，此时，正弦函数取最大值或最小值．(2)正弦曲线的对称中心一定是过正弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值为0．自主思考3y＝sinx，x∈的值域是否是［－1，1］?提示:y＝sinx，x∈的值域为[0,1］，正弦函数的值域是［－1,1］，是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲线．如果定义域不是全体实数或不在一个周期内，那么正弦函数的值域就可能不是[－1,1]．3．周期函数一般地,对于函数f（x），如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f（x)，那么函数f（x）就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f（x),如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．如果不加特殊说明，三角函数的周期均指最小正周期．归纳总结（1）一个周期函数的周期不止一个,若有最小正周期，则最小正周期只有一个,并不是每一个周期函数都有最小正周期，如，f(x)＝a（a为常数)就没有最小正周期；若T是函数f（x）的一个周期，则kT（k≠0，且k∈Z）也是函数f（x）的周期．（2)一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ)（其中A≠0,ω>0，x∈R)的周期为T＝．(3)周期函数与周期的定义中，“当x取定义域内的每一个值时”的“每一个”是指定义域内的所有x值，如果存在一个x0，使得f（x0＋T)≠f（x0）,那么T就不是函数f（x)的周期．例如，函数f（x）＝sinx,由sin＝sin，sin≠sin可知，虽然是非零常数，但并不是对定义域内的“每一个值"都有sin＝sinx，所以不是正弦函数的周期．自主思考4如何证明函数y＝Asin(ωx＋φ)（其中A≠0,ω〉0，x∈R）的周期为T＝．提示：设u＝ωx＋φ，因为y＝sinu的周期是2π，所以sin(u＋2π)＝sinu，即sin[(ωx＋φ)＋2π］＝sin(ωx＋φ)＝sineq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（2π,ω))）＋φ）)．这说明：当自变量由x增加到x＋，且必