2024-2025学年高中数学课下梯度提能十七平面向量基本定理新人教A版必修4

PAGE1-课下梯度提能（十七）一、题组对点训练对点练一用基底表示向量1．已知e1，e2是表示平面内全部向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是()A．e1，e1＋e2B．e1－2e2，e2－2e1C．e1－2e2，4e2－2e1D．e1＋e2，e1－e2A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．试以a，b为基底表示向量对点练二向量的夹角问题4．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是()A．60°B．120°C．30°D．150°5．已知非零向量a，b，c满意a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．对点练三平面对量基本定理的应用7．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为()A．0，0B．1，1C．3，0D．3，48．在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若,其中λ，μ∈R，则λ＋μ的值为________．9．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________．10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．二、综合过关训练1．以下说法中正确的是()A．若a与b共线，则存在实数λ，使得a＝λbB．设e1和e2为一组基底，a＝λ1e1＋λ2e2，若a＝0，则λ1＝λ2＝0C．λa的长度为λ|a|D．假如两个向量的方向恰好相反，则这两个向量是相反向量2．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于()A．a－bB．2(b－a)C．2(a－b)D．b－a3.已知e1，e2不共线，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作为基底，则k等于________．4．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若则λ＋μ＝________．5．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P是以A为圆心，AB为半径的圆弧eq\o(BD,\s\up8(︵))上的随意一点，设∠PAB＝θ，向量(λ，μ∈R)，若μ－λ＝1，则θ＝________．6．如图所示，平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N是BC的中点，(1)试以b，d为基底表示；(2)试以m，n为基底表示.7.如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量.答案[学业水平达标练]1.解析：选C因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，从而e1－2e2与4e2－2e1共线．2.3.4.解析：选A平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°.5.解析：由题意可画出图形，如图所示．在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°.答案：90°6.解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，在Rt△OCD中，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.7.解析：选D∵向量e1与e2不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＝4y－7，,10－y＝2x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.))8.答案：eq\f(4,3)9.解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2∵e1与e2不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))∴e1＋e2＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b.答案：eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b10.解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,3λ＝－2，))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3).))∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1，))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3，))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝1.))故所求λ，μ的值分别为3和1.二、综合过关训练1.解析：选BA错，a≠0，b＝0时，λ不存在．C错，λ＜0时不成立．D错，相反向量的模相等，故选B.2.3.解析：向量a，b不能作为基底，则向量a，b共线，可设a＝λb，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－λ，,－1＝λ，))则k＝1.答案：14.解析：因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，BH＝eq\f(1,3)BC.因为点M为AH的中点，即λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3).答案：e