浙江专用2024年高考数学一轮复习讲练测专题2.7函数的图象讲含解析

PAGEPAGE1第07讲函数的图象讲1.会运用函数图象理解和探讨函数的性质.2.高考预料：（1）函数图象的辨识（2）函数图象的变换（3）主要有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来探讨函数的性质、图象的变换、数形结合解决不等式、方程等问题．经常与导数结合考查.3.备考重点（1）基本初等函数的图象（2）两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用学问点1．利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)探讨函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其留意特别点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.【典例1】【2024年全国卷Ⅲ理】设函数．（1）画出的图象；（2）当，，求的最小值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）的图象如图所示．（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．【规律方法】函数图象的画法(1)干脆法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟识的基本函数时，就可依据这些函数的特征描出图象的关键点干脆作出．(2)转化法：含有肯定值符号的函数，可去掉肯定值符号，转化为分段函数来画图象．【变式1】【北京海淀十一学校2024-2025学年高一上期中】对、，记，函数．（1）求，．（2）写出函数的解析式，并作出图像．（3）若关于的方程有且仅有个不等的解，求实数的取值范围．（只需写出结论）【答案】见解析．【解析】解：（1）∵，函数，∴，．（2）（3）或．学问点2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)的图象；y＝ax(a>0，且a≠1)的图象eq\o(→,\s\up7(关于直线y＝x对称))y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(纵坐标不变),\s\do5(各点横坐标变为原来的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(横坐标不变),\s\do5(各点纵坐标变为原来的A（A>0）倍))y＝Af(x).(4)翻转变换y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(x轴下方部分翻折到上方),\s\do5(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\do5(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象.【典例2】分别画出下列函数的图象：【答案】见解析【解析】(1)首先作出y＝lgx的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|.如图1所示(实线部分).(2)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图2所示.(3)第一步作y＝lgx的图像．其次步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像．第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折，得的图像，如图3．【重点总结】图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应留意平移变换与伸缩变换的依次对变换单位及解析式的影响．【变式2】作出下列函数的图象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.【答案】见解析【解析】(1)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x图象中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的图象，如图①实线部分．(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.(3)∵y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函数图象可由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.(4)∵y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x＜0，))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再依据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图④.考点1作图【典例3】分别画出下列函数的图象：(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝eq\f(2x＋1,x＋1)；(3)y＝10|lgx|.【答案】见解析【解析】(1)先画函数y＝x2－4x＋3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图1.(2)y＝eq\f(2x＋1,x＋1)＝eq\f(2（x＋1）－1,x＋1)＝2－eq\f(1,x＋1).可由函数y＝－eq\f(1,x)向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图2.(3)y＝10|lgx|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥1，,\f(1,x)，0＜x＜1，))如图3.【易错提示】对于左、右平移变换，往往简单出错，在实际推断中可熟记口诀：左加右减；但要留意加、减指的是自变量，否则不成立．【变式3】作出函数y＝|x－2|·(x＋1)的图象．【答案】4，2.【解析】当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(9,4)；当x＜2，即x－2＜0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(9,4).所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－\f(9,4)，x≥2，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(9,4)，x＜2.))这是分段函数，每段函数的图象可依据二次函数图象作出(如图)．考点2识图【典例4】【2024年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【总结提升】识图的三种常用方法1．抓住函数的性质，定性分析：（1）由函数的定义域，推断图象的左、右位置，由函数的值域，推断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，推断图象的改变趋势；（3）由函数的奇偶性，推断图象的对称性；（4）由函数的周期性，推断图象的循环往复．2．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特别值的计算分析解决问题．3．依据实际背景、图形推断函数图象的方法：(1)依据题目所给条件确定函数解析式，从而推断函数图象(定量分析)；(2)依据自变量取不同值时函数值的改变、增减速度等推断函数图象(定性分析)．【变式4】（2024·莆田第九中学高三高考模拟（文））函数(且)与函数的图像关于直线对称，则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数(且)与函数的图像关于直线对称，所以，在选项A中，对数函数的图像单调递增，所以a>1,所以a-1>0,所以二次函数的抛物线开口向上，抛物线的对称轴为所以选项A是正确的，故答案为：A.【典例5】【2024年理数全国卷II】函数的图像大致为（）A.AB.BC.CD.D【答案】B【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.【思路点拨】往往通过探讨函数的导数，首先确定函数的单调性，再推断图象的改变趋势．【变式5】【2024浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是（）【答案】D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．考点3用图【典例6】【山东省2024年一般高校招生（春季）】奇函数的局部图像如图所示，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为奇函数，所以,因为>0>，所以,即，选A.【总结提升】函数图象应用的常见题型与求解策略【变式6】（2024·安徽高三高考模拟（文））已知函数的图象如图所示，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图像可知，，得，故答案为：A.【典例7】（2024·北京高三高考模拟（文））当x∈[0，1]时，下列关于函数y=的图象与的图象交点个数说法正确的是（）A．当时，有两个交点 B．当时，没有交点C．当时，有且只有一个交点 D．当时，有两个交点【答案】B【解析】设f（x）=，g（x）=，其中x∈[0，1]A．若m=0，则与在[0，1]上只有一个交点，故A错误．B．当m∈（1，2）时，即当m∈（1，2]时，函数y=的图象与的图象在x∈[0，1]无交点，故B正确，C．当m∈（2，3]时，，当时，此时无交点，即C不肯定正确．D．当m∈（3，+∞）时，g（0）=＞1，此时f（1）＞g（1），此时两个函数图象只有一个交点，故D错误，故选：B．【变式7】【2025届广西钦州市第三次检测】设函数与函数的的图象在区间上交点的横坐标依次分别为，，…，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】将函数与y=的图象有公共的对称中心（，0），从图象知它们在区间上有八个交点，分别为四对对称点，每一对的横坐标之和为1，故全部的横坐标之和为4．故选：A．【典例8】（2024·北京高考模拟（理））已知函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在同始终角坐标系中作出函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象，当y=lnx向左平移a（a＞0）个单位长度，恰好过（0，1）时，函数f（x）与g（x）就不存在关于y轴对称的点，所以0＜a＜e，当y=lnx向右平移（a＜0）个单位长度，函数f（x）与g（x）总存在关于y轴对称的点，当a=0时，明显满意题意，综上：a＜e，故选：B．【变式8】（2024·陕西高考模拟（理））已知函数，若且，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，∵1＜a＜b且f（a）＝f（b），则b＞2，1＜a＜2，∴，即，可得：ab﹣a﹣b＝0．那么：a．则2a+b，当且仅当b时取等号．满意b＞2，故选：A．【典例9】（2024·四川高三高考模拟（理））已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的全部解