2025版高考数学大二轮复习第二部分专题5解析几何增分强化练二十八文

PAGE1-增分强化练(二十八)1．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F为抛物线y2＝4x的焦点，P，Q是椭圆C上的两个动点，且线段PQ长度的最大值为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若OP⊥OQ，求△OPQ面积的最小值．解析：(1)∵y2＝4x的焦点为(1,0)，∴椭圆C的右焦点F为(1,0)，即c＝1，又|PQ|的最大值为4，因此|PQ|＝2a＝4，∴a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①当P，Q为椭圆顶点时，易得△OPQ的面积为eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，②当P，Q不是椭圆顶点时，设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))，得x2＝eq\f(12,3＋4k2)，所以|OP|＝eq\r(k2＋1)eq\r(\f(12,3＋4k2))，由OP⊥OQ，得直线OQ的方程为：y＝－eq\f(1,k)x，所以|OQ|＝eq\r(\f(1,k2)＋1)eq\r(\f(12,3＋4\f(1,k2)))＝eq\r(1＋k2)eq\r(\f(12,3k2＋4))，所以S△OPQ＝eq\f(1,2)|OP|·|OQ|＝6eq\r(\f(k2＋12,3＋4k23k2＋4))＝6eq\r(\f(k2＋12,12k4＋25k2＋12))＝6eq\r(\f(1,12＋\f(k2,k2＋12)))，eq\f(k2＋12,k2)＝k2＋eq\f(1,k2)＋2≥4，当且仅当k2＝1时等号成立，所以0<eq\f(k2,k2＋12)≤eq\f(1,4)，所以eq\f(12,7)≤S△OPQ<eq\r(3)，综上，△OPQ面积的最小值为eq\f(12,7).2．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，点P(eq\f(2\r(6),3)，eq\f(\r(3),3))满意eq\o(PF,\s\up11(→))1·eq\o(PF,\s\up11(→))2＝0.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列，求k1·k2的值．解析：(1)依题意F1(－c,0)，∴eq\o(PF,\s\up11(→))1·eq\o(PF,\s\up11(→))2＝－c2＋3＝0，即c＝eq\r(3)，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝k(x－eq\r(3))，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1,y＝kx－\r(3)))，得(1＋4k2)x2－8eq\r(3)k2x＋4(3k2－1)＝0，则x1＋x2＝eq\f(8\r(3)k2,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(12k2－4,1＋4k2)，∵k1，k，k2成等比数列，∴k1·k2＝k2＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(k2x1－\r(3)x2－\r(3),x1x2)，则eq\r(3)(x1＋x2)＝3，即eq\f(8\r(3)k2,1＋4k2)＝eq\r(3)，解得k2＝eq\f(1,4)，故k1k2＝eq\f(1,4).3．已知抛物线C：y2＝2px(0<p<1)上的点P(m,1)到其焦点F的距离为eq\f(5,4).(1)求C的方程；(2)已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点．解析：(1)由题意，得2pm＝1，即m＝eq\f(1,2p).由抛物线的定义，得|PF|＝m－(－eq\f(p,2))＝eq\f(1,2p)＋eq\f(p,2).由题意，知eq\f(1,2p)＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,4)，解得p＝eq\f(1,2)或p＝2(舍去)．所以C的方程为y2＝x.(2)证明：由(1)得P(1,1)．设l：x＝ny＋t，由于直线l不过点P(1,1)，所以n＋t≠1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝x，,x＝ny＋t))消去x并整理得y2－ny－t＝0.由题意，判别式Δ＝n2＋4t>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝n，①y1y2＝－t，②则kPAkPB＝eq\f(y1－1,x1－1)·eq\f(y2－1,x2－1)＝eq\f(y1－1,y\o\al(2,1)－1)·eq\f(y2－1,y\o\al(2,2)－1)＝eq\f(1,y1y2＋y1＋y2＋1).由题意，得y1y2＋(y1＋y2)＋1＝1，即y1y2＋(y1＋y2)＝0，③将①②代入③得－t＋n＝0，即t＝n.所以l：x＝n(y＋1)．明显l过定点(0，－1)．4．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)上一点P的纵坐标为4，且点P到焦点F的距离为5.(1)求抛物线E的方程；(2)如图，设斜率为k的两条平行直线l1，l2分别经过点F和H(0，－1)，l1与抛物线E交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点．问：是否存在实数k，使得四边形ABDC的面积为4eq\r(3)＋4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由抛物线的定义知，点P到抛物线E的准线的距离为5.∵抛物线E的准线方程为y＝－eq\f(p,2)，∴4＋eq\f(p,2)＝5，解得p＝2，∴抛物线E的方程为x2＝4y.(2)由已知得，直线l1：y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))消去y得x2－4kx－4＝0，Δ1＝16(k2＋1)>0恒成立，|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(16k2＋1)＝4(k2＋1)．直线l2：y＝kx－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＝4y，))消去y得x2－4kx＋4＝0，由Δ2＝16(k2－1)>0得k2>1，|CD|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(16k2－1)＝4eq\r(k2＋1k2－1).又直线l1，l2间的距离d＝eq\f(2,\r(k2＋1))