浙江专用2024高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆教案_第1页
浙江专用2024高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆教案_第2页
浙江专用2024高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆教案_第3页
浙江专用2024高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆教案_第4页
浙江专用2024高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆教案_第5页
已阅读5页,还剩11页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

PAGE1-第1讲直线与圆直线的方程[核心提炼]1.三种距离公式(1)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离:|AB|=eq\r((x2-x1)2+(y2-y1)2).(2)点到直线的距离:d=eq\f(|Ax0+By0+C|,\r(A2+B2))(其中点P(x0,y0),直线方程:Ax+By+C=0).(3)两平行直线间的距离:d=eq\f(|C2-C1|,\r(A2+B2))(其中两平行线方程分别为l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0).2.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.[典型例题](1)(2024·温州十五校联合体联考)已知直线l1:mx+(m+1)y+2=0,l2:(m+1)x+(m+4)y-3=0,则“m=-2”是“l1⊥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2024·浙江新高考冲刺卷)已知m∈R,若点M(x,y)为直线l1:my=-x和l2:mx=y+m-3的交点,l1和l2分别过定点A和B,则|MA|·|MB|的最大值为________.【解析】(1)当m=-2时,直线l1,l2的斜率分别为k1=-2,k2=eq\f(1,2),此时k1×k2=-1,则l1⊥l2.而m=-1时,也有l1⊥l2,故选A.(2)动直线l1:my=-x过定点A(0,0),动直线l2:mx=y+m-3化为m(x-1)-(y-3)=0,得x=1,y=3.过定点B(1,3).因为此两条直线相互垂直,所以|MA|2+|BM|2=|AB|2=10,所以10≥2|MA|·|MB|,所以|MA|·|BM|≤5,当且仅当|MA|=|MB|时取等号.【答案】(1)A(2)5eq\a\vs4\al()解决直线方程问题应留意的问题(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要留意代入检验,解除两条直线重合的可能性.(2)要留意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.两点式不能表示垂直于坐标轴的直线,而截距式方程不能表示过原点的直线及垂直于坐标轴的直线.(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.[对点训练]1.若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是eq\r(5),则m+n=()A.0B.1C.-2D.-1解析:选C.因为l1,l2平行,所以1×n=2×(-2),解得n=-4,即直线l2:x-2y-3=0.又l1,l2之间的距离是eq\r(5),所以eq\f(|m+3|,\r(1+4))=eq\r(5),得m=2或m=-8(舍去),所以m+n=-2,故选C.2.(2024·金丽衢十二校高考模拟)直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒过定点________,P(1,1)到该直线的距离最大值为________.解析:直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)即λ(y-3)+x+2=0,令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y-3=0,x+2=0)),解得x=-2,y=3.所以直线l恒过定点Q(-2,3),P(1,1)到该直线的距离最大值为|PQ|=eq\r(32+22)=eq\r(13).答案:(-2,3)eq\r(13)3.在△ABC中,A(1,1),B(m,eq\r(m))(1<m<4),C(4,2),则当△ABC的面积最大时,m=________.解析:由两点间距离公式可得|AC|=eq\r(10),直线AC的方程为x-3y+2=0,所以点B到直线AC的距离d=eq\f(|m-3\r(m)+2|,\r(10)),所以△ABC的面积S=eq\f(1,2)|AC|·d=eq\f(1,2)|m-3eq\r(m)+2|=eq\f(1,2)|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)-\f(3,2)))eq\s\up12(2)-eq\f(1,4)|,又1<m<4,所以1<eq\r(m)<2,所以当eq\r(m)=eq\f(3,2),即m=eq\f(9,4)时,S取得最大值.答案:eq\f(9,4)圆的方程及应用[核心提炼]1.圆的标准方程当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特殊地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.2.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2)))为圆心,eq\f(\r(D2+E2-4F),2)为半径的圆.[典型例题](1)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是__________,半径是__________.(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,eq\r(5))在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为eq\f(4\r(5),5),则圆C的方程为________.【解析】(1)由题可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,表示圆,故圆心为(-2,-4),半径为5.当a=2时,方程不表示圆.(2)设圆心为(a,0)(a>0),则圆心到直线2x-y=0的距离d=eq\f(|2a-0|,\r(4+1))=eq\f(4\r(5),5),得a=2,半径r=eq\r((a-0)2+(0-\r(5))2)=3,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.【答案】(1)(-2,-4)5(2)(x-2)2+y2=9eq\a\vs4\al()求圆的方程的两种方法(1)干脆法:利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,数形结合干脆求出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程.(2)待定系数法:先设出圆的方程,再由条件构建系数满意的方程(组)求得各系数,进而求出圆的方程.[对点训练]1.圆心在曲线y=eq\f(2,x)(x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-2)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=5C.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x-2)2+(y-1)2=25解析:选A.y′=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))′=-eq\f(2,x2),令-eq\f(2,x2)=-2,得x=1,得平行于直线2x+y+1=0的曲线y=eq\f(2,x)(x>0)的切线的切点的横坐标为1,代入曲线方程得切点坐标为(1,2),以该点为圆心且与直线2x+y+1=0相切的圆的面积最小,此时圆的半径为eq\f(5,\r(5))=eq\r(5),故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.2.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2eq\r(6) B.8C.4eq\r(6) D.10解析:选C.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D+3E+F+10=0,,4D+2E+F+20=0,,D-7E+F+50=0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D=-2,,E=4,,F=-20.))所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0,得y=-2+2eq\r(6)或y=-2-2eq\r(6),所以M(0,-2+2eq\r(6)),N(0,-2-2eq\r(6))或M(0,-2-2eq\r(6)),N(0,-2+2eq\r(6)),所以|MN|=4eq\r(6).3.(2024·宁波镇海中学高考模拟)已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,则m=________;|MP|=________.解析:因为圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,所以直线l:x+my+1=0过圆心C(1,2),所以1+2m+1=0.解得m=-1.圆C:x2+y2-2x-4y+1=0,可化为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,因为经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,所以|MP|=eq\r((1+1)2+(2+1)2-4)=3.答案:-13直线与圆、圆与圆的位置关系[核心提炼]1.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法:把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:d<r⇔相交;d=r⇔相切;d>r⇔相离.(2)代数法:将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,利用判别式Δ来探讨位置关系:Δ>0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ<0⇔相离.2.圆与圆的位置关系的判定(1)d>r1+r2⇔两圆外离;(2)d=r1+r2⇔两圆外切;(3)|r1-r2|<d<r1+r2⇔两圆相交;(4)d=|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆内切;(5)0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆内含.[典型例题](1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2eq\r(2),则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切 B.相交C.外切 D.相离(2)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为()A.3 B.eq\f(\r(21),2)C.2eq\r(2) D.2【解析】(1)由题知圆M:x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=eq\f(a,\r(2)),所以2eq\r(a2-\f(a2,2))=2eq\r(2),解得a=2.圆M,圆N的圆心距|MN|=eq\r(2),两圆半径之差为1,故两圆相交.(2)如图,把圆的方程化成标准形式得x2+(y-1)2=1,所以圆心为(0,1),半径为r=1,四边形PACB的面积S=2S△PBC,所以若四边形PACB的最小面积是2,则S△PBC的最小值为1.而S△PBC=eq\f(1,2)r·|PB|,即|PB|的最小值为2,此时|PC|最小,|PC|为圆心到直线kx+y+4=0的距离d,此时d=eq\f(|5|,\r(k2+1))=eq\r(12+22)=eq\r(5),即k2=4,因为k>0,所以k=2.【答案】(1)B(2)Deq\a\vs4\al()解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法(1)探讨直线与圆及圆与圆的位置关系时,要留意数形结合,充分利用圆的几何性质找寻解题途径,削减运算量.(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题.[对点训练]1.(2024·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=________,r=________.解析:法一:设过点A(-2,-1)且与直线2x-y+3=0垂直的直线方程为l:x+2y+t=0,所以-2-2+t=0,所以t=4,所以l:x+2y+4=0.令x=0,得m=-2,则r=eq\r((-2-0)2+(-1+2)2)=eq\r(5).法二:因为直线2x-y+3=0与以点(0,m)为圆心的圆相切,且切点为A(-2,-1),所以eq\f(m+1,0-(-2))×2=-1,所以m=-2,r=eq\r((-2-0)2+(-1+2)2)=eq\r(5).答案:-2eq\r(5)2.(2024·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O1和圆O2都经过点A(0,1),若两圆与直线4x-3y+5=0及y+1=0均相切,则|O1O2|=________.解析:如图,因为原点O到直线4x-3y+5=0的距离d=eq\f(|5|,\r(42+(-3)2))=1,到直线y=-1的距离为1,且到(0,1)的距离为1,所以圆O1和圆O2的一个圆心为原点O,不妨看作是圆O1,设O2(a,b),则由题意:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b+1=\r(a2+(b-1)2),b+1=\f(|4a-3b+5|,\r(42+(-3)2)))),解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=2,b=1)).所以|O1O2|=eq\r(22+12)=eq\r(5).答案:eq\r(5)直线、圆与其他学问的交汇问题[核心提炼]高考对直线和圆的考查重在基础,多以选择题、填空题形式出现,将直线和圆与函数、不等式、平面对量、数列及圆锥曲线、概率等学问交汇,体现命题创新.[典型例题](1)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤20,则点P的横坐标的取值范围是________.(2)(2024·广东省五校协作体第一次诊断考试)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R且ab≠0,则eq\f(1,a2)+eq\f(1,b2)的最小值为________.【解析】(1)设P(x,y),则由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤20可得,(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,即(x+6)2+(y-3)2≤65,所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点.又点P在圆x2+y2=50上,联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2+y2=50,,(x+6)2+(y-3)2=65,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=7))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=-5,,y=-5,,))即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图).易知-5eq\r(2)≤x≤1.(2)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0配方得,(x+a)2+y2=4,x2+(y-2b)2=1,依题意得两圆相外切,故eq\r(a2+4b2)=1+2=3,即a2+4b2=9,eq\f(1,a2)+eq\f(1,b2)=(eq\f(a2,9)+eq\f(4b2,9))(eq\f(1,a2)+eq\f(1,b2))=eq\f(1,9)+eq\f(a2,9b2)+eq\f(4b2,9a2)+eq\f(4,9)≥eq\f(5,9)+2eq\r(\f(a2,9b2)×\f(4b2,9a2))=1,当且仅当eq\f(a2,9b2)=eq\f(4b2,9a2),即a2=2b2时等号成立,故eq\f(1,a2)+eq\f(1,b2)的最小值为1.【答案】(1)[-5eq\r(2),1](2)1eq\a\vs4\al()对于这类问题的求解,首先要留意理解直线和圆等基础学问及它们之间的深化联系,其次要对问题的条件进行全方位的谛视,特殊是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘,再次要驾驭解决问题常用的思想方法,如数形结合、化归与转化等思想方法.[对点训练]1.(2024·浙江新高考冲刺卷)如图,直线x+2y=a与圆x2+y2=1相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=a,则实数a的值为()A.eq\f(5-\r(65),4) B.eq\f(\r(65)-5,4)C.eq\f(5-\r(55),4) D.eq\f(\r(55)-5,4)解析:选A.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=cos∠AOB=a,所以AB=eq\r(1+1-2cos∠AOB)=eq\r(2-2a),所以O到直线AB的距离d=eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2-2a),2)))\s\up12(2)),又d=eq\f(|a|,\r(5)),所以eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2-2a),2)))\s\up12(2))=eq\f(|a|,\r(5)),解得a=eq\f(5-\r(65),4)或a=eq\f(5+\r(65),4)>1(舍).2.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,设平面区域Ω:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+y-7≤0,,x-y+3≥0,,y≥0.))若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为________.解析:作出可行域,如图,由题意知,圆心为C(a,b),半径r=1,且圆C与x轴相切,所以b=1.而直线y=1与可行域边界的交点为A(6,1),B(-2,1),目标函数z=a2+b2表示点C到原点距离的平方,所以当点C与点A重合时,z取到最大值,zmax=37.答案:37专题强化训练1.(2024·杭州二中月考)已知直线3x-y+1=0的倾斜角为α,则eq\f(1,2)sin2α+cos2α=()A.eq\f(2,5)B.-eq\f(1,5)C.eq\f(1,4)D.-eq\f(1,20)解析:选A.由题设知k=tanα=3,于是eq\f(1,2)sin2α+cos2α=eq\f(sinαcosα+cos2α,cos2α+sin2α)=eq\f(tanα+1,1+tan2α)=eq\f(4,10)=eq\f(2,5).2.(2024·义乌二模)在平面直角坐标系内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2=()A.eq\f(\r(10),2) B.eq\r(10)C.5 D.10解析:选D.由题意知P(0,1),Q(-3,0),因为过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,所以MP⊥MQ,所以|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=9+1=10,故选D.3.(2024·杭州七市联考)已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0).设条件p:0<r<3,条件q:圆C上至多有2个点到直线x-eq\r(3)y+3=0的距离为1,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:选C.圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0),圆心(1,0)到直线x-eq\r(3)y+3=0的距离d=eq\f(|1-0+3|,2)=2.由条件q:圆C上至多有2个点到直线x-eq\r(3)y+3=0的距离为1,可得0<r<3.则p是q的充要条件.故选C.4.在平面直角坐标系xOy中,设直线l:y=kx+1与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆C上,则实数k等于()A.1 B.2C.-1 D.0解析:选D.由题意知圆心到直线l的距离等于eq\f(1,2)r=1(r为圆C的半径),所以eq\f(|k×0-0+1|,\r(k2+1))=1,解得k=0.5.(2024·兰州市诊断考试)已知圆C:(x-eq\r(3))2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则t的取值范围是()A.(0,2] B.[1,2]C.[2,3] D.[1,3]解析:选D.依题意,设点P(eq\r(3)+cosθ,1+sinθ),因为∠APB=90°,所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))=0,所以(eq\r(3)+cosθ+t)(eq\r(3)+cosθ-t)+(1+sinθ)2=0,得t2=5+2eq\r(3)cosθ+2sinθ=5+4sin(θ+eq\f(π,3)),因为sin(θ+eq\f(π,3))∈[-1,1],所以t2∈[1,9],因为t>0,所以t∈[1,3].6.圆C:x2+y2+Dx+Ey-3=0(D<0,E为整数)的圆心C到直线4x-3y+3=0的距离为1,且圆C被截x轴所得的弦长|MN|=4,则E的值为()A.-4B.4C.-8D.8解析:选C.圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2))).由题意得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2)))-3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(E,2)))+3)),\r(42+(-3)2))=1,即|4D-3E-6|=10,①在圆C:x2+y2+Dx+Ey-3=0中,令y=0得x2+Dx-3=0.设M(x1,0),N(x2,0),则x1+x2=-D,x1x2=-3.由|MN|=4得|x1-x2|=4,即(x1+x2)2-4x1x2=16,(-D)2-4×(-3)=16.由D<0,所以D=-2.将D=-2代入①得|3E+14|=10,所以E=-8或E=-eq\f(4,3)(舍去).7.动点A与两个定点B(-1,0),C(5,0)的距离之比为eq\f(1,2),则△ABC面积的最大值为()A.3B.6C.9D.12解析:选D.设A点坐标为(x,y).因为eq\f(|AB|,|AC|)=eq\f(1,2),所以2eq\r((x+1)2+y2)=eq\r((x-5)2+y2),化简得x2+y2+6x-7=0,即(x+3)2+y2=16.所以A的轨迹表示以(-3,0)为圆心,半径为4的圆.所以△ABC面积的最大值为Smax=eq\f(1,2)|BC|·r=eq\f(1,2)×6×4=12.8.(2024·浙江省名校联盟质量检测)已知点P的坐标(x,y)满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+y≤4,,y≥x,,x≥1,))过点P的直线l与圆C:x2+y2=14相交于A、B两点,则|AB|的最小值是()A.2eq\r(6)B.4C.eq\r(6)D.2解析:选B.依据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,设点P到圆心的距离为d,求|AB|的最小值等价于求d的最大值,易知dmax=eq\r(12+32)=eq\r(10),此时|AB|min=2eq\r(14-10)=4,故选B.9.过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为________.解析:易知当CM⊥AB时,∠ACB最小,直线CM的斜率为kCM=eq\f(1-0,\f(1,2)-1)=-2,从而直线l的斜率为kl=eq\f(-1,kCM)=eq\f(1,2),其方程为y-1=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2))).即2x-4y+3=0.答案:2x-4y+3=010.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆C1与圆C2相外切,则实数m=________.解析:对于圆C1与圆C2的方程,配方得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,则圆C1的圆心C1(m,-2),半径r1=3,圆C2的圆心C2(-1,m),半径r2=2.假如圆C1与圆C2相外切,那么有|C1C2|=r1+r2,即eq\r((m+1)2+(m+2)2)=5,则m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2,所以当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2相外切.答案:-5或211.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则|PC|的最大值为________.解析:已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,所以圆心为C(1,2),半径r=eq\r(2),若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则PC⊥AB.在△PAC中,∠APC=30°,由正弦定理得eq\f(|AC|,sin30°)=eq\f(|PC|,sin∠PAC),所以|PC|=2eq\r(2)sin∠PAC≤2eq\r(2),故|PC|的最大值为2eq\r(2).答案:2eq\r(2)12.(2024·台州调研)已知动圆C过A(4,0),B(0,-2)两点,过点M(1,-2)的直线交圆C于E,F两点,当圆C的面积最小时,|EF|的最小值为________.解析:依题意得,动圆C的半径不小于eq\f(1,2)|AB|=eq\r(5),即当圆C的面积最小时,AB是圆C的一条直径,此时点C是线段AB的中点,即点C(2,-1),又点M的坐标为(1,-2),且|CM|=eq\r((2-1)2+(-1+2)2)=eq\r(2)<eq\r(5),所以点M位于圆C内,点M为线段EF的中点(过定圆内肯定点作圆的弦,最短的弦是以该定点为中点的弦)时,|EF|最小,其最小值为2eq\r((\r(5))2-(\r(2))2)=2eq\r(3).答案:2eq\r(3)13.(2024·宁波市余姚中学期中检测)设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题:①M中全部直线均经过一个定点;②存在定点P不在M中的任一条直线上;③对于随意整数n(n≥3),存在正n边形,其全部边均在M中的直线上;④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是________(写出全部真命题的代号).解析:因为点(0,2)到直线系M:xcosθ+(y-2)·sinθ=1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离d=eq\f(1,\r(cos2θ+sin2θ))=1,直线系M:xcosθ+(y-2)·sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圆x2+(y-2)2=1的切线的集合,①由于直线系表示圆x2+(y-2)2=1的全部切线的集合,其中存在两条切线平行,M中全部直线均经过一个定点不行能,故①不正确;②存在定点P不在M中的任一条直线上,视察知点(0,2)即符合条件,故②正确;③由于圆的全部外切正多边形的边都是圆的切线,所以对于随意整数n(n≥3),存在正n边形,其全部边均在M中的直线上,故③正确;④如图,M中的直线所能围成的正三角形有两类,其一是如△ABB′型,是圆的外切三角形,此类面积都相等,另一类是在圆同一侧,如△BDC型,此一类面积相等,但两类之间面积不等,所以M中的直线所能围成的正三角形面积大小不肯定相等,故④不正确.答案:②③14.(2024·南京一模)如图,在平面直角坐标系中,分别在x轴与直线y=eq\f(\r(3),3)(x+1)上从左向右依次取点Ak,Bk(k=1,2,…,其中A1是坐标原点),使△AkBkAk+1都是等边三角形,则△A10B10A11的边长是________.解析:直线y=eq\f(\r(3),3)(x+1)的倾斜角为30°,与x轴的交点为P(-1,0),又△A1B1A2是等边三角形,所以∠PB1A2=90°,所以等边△A1B1A2的边长为1,且A2B1∥A3B2∥…∥A10B9,A2B1与直线y=eq\f(\r(3),3)(x+1)垂直,故△A2B1B2,△A3B2B3,△A4B3B4,…,△A10B9B10均为直角三角形,且依次得到A2B2=2,A3B3=4,A4B4=8,A5B5=16,A6B6=32,A7B7=64,A8B8=128,A9B9=256,A10B10=512,故△A10B10A11的边长是512.答案:51215.在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1),当m改变时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的状况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解:(1)不能出现AC⊥BC的状况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满意x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为eq\f(-1,x1)·eq\f(-1,x2)=-eq\f(1,2),所以不能出现AC⊥BC的状况.(2)证明:BC的中点坐标为(eq\f(x2,2),eq\f(1,2)),可得BC的中垂线方程为y-eq\f(1,2)=x2(x-eq\f(x2,2)).由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-eq\f(m,2).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=-\f(m,2),,y-\f(1,2)=x2(x-\f(x2,2)),))又xeq\o\al(2,2)+mx2-2=0,可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=-\f(m,2),,y=-\f(1,2).))所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为(-eq\f(m,2),-eq\f(1,2)),半径r=eq\f(\r(m2+9),2).故圆在y轴上截得的弦长为2eq\r(r2-(\f(m,2))2)=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.16.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.解:(1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2.①当此切线在两坐标轴上的截距为零时,设此切线方程为y=kx,由eq\f(|k+2|,\r(1+k2))=eq\r(2),得k=2±eq\r(6);所以此切线方程为y=(2±eq\r(6))x.②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时,设此切线方程为x+y-a=0,由eq\f(|-1+2-a|,\r(2))=eq\r(2),得|a-1|=2,即a=-1或a=3.所以此切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.综上,此切线方程为y=(2+eq\r(6))x或y=(2-eq\r(6))x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)由|PO|=|PM|,得|PO|2=|PM|2=|PC|2-|CM|2,即xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1)=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上,当|PM|取最小值时,

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论