浙江专用2024高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆教案

PAGE1-第1讲直线与圆直线的方程[核心提炼]1．三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).(2)点到直线的距离：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(其中点P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0)．(3)两平行直线间的距离：d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．2．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[典型例题](1)(2024·温州十五校联合体联考)已知直线l1：mx＋(m＋1)y＋2＝0，l2：(m＋1)x＋(m＋4)y－3＝0，则“m＝－2”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2024·浙江新高考冲刺卷)已知m∈R，若点M(x，y)为直线l1：my＝－x和l2：mx＝y＋m－3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|·|MB|的最大值为________．【解析】(1)当m＝－2时，直线l1，l2的斜率分别为k1＝－2，k2＝eq\f(1,2)，此时k1×k2＝－1，则l1⊥l2.而m＝－1时，也有l1⊥l2，故选A.(2)动直线l1：my＝－x过定点A(0，0)，动直线l2：mx＝y＋m－3化为m(x－1)－(y－3)＝0，得x＝1，y＝3.过定点B(1，3)．因为此两条直线相互垂直，所以|MA|2＋|BM|2＝|AB|2＝10，所以10≥2|MA|·|MB|，所以|MA|·|BM|≤5，当且仅当|MA|＝|MB|时取等号．【答案】(1)A(2)5eq\a\vs4\al()解决直线方程问题应留意的问题(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要留意代入检验，解除两条直线重合的可能性．(2)要留意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．两点式不能表示垂直于坐标轴的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线及垂直于坐标轴的直线．(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在．[对点训练]1．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是eq\r(5)，则m＋n＝()A．0B．1C．－2D．－1解析：选C.因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，解得n＝－4，即直线l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是eq\r(5)，所以eq\f(|m＋3|,\r(1＋4))＝eq\r(5)，得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2，故选C.2．(2024·金丽衢十二校高考模拟)直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒过定点________，P(1，1)到该直线的距离最大值为________．解析：直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)即λ(y－3)＋x＋2＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－3＝0,x＋2＝0))，解得x＝－2，y＝3.所以直线l恒过定点Q(－2，3)，P(1，1)到该直线的距离最大值为|PQ|＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13).答案：(－2，3)eq\r(13)3．在△ABC中，A(1，1)，B(m，eq\r(m))(1<m<4)，C(4，2)，则当△ABC的面积最大时，m＝________．解析：由两点间距离公式可得|AC|＝eq\r(10)，直线AC的方程为x－3y＋2＝0，所以点B到直线AC的距离d＝eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(10))，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)|AC|·d＝eq\f(1,2)|m－3eq\r(m)＋2|＝eq\f(1,2)|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)|，又1<m<4，所以1<eq\r(m)<2，所以当eq\r(m)＝eq\f(3,2)，即m＝eq\f(9,4)时，S取得最大值．答案：eq\f(9,4)圆的方程及应用[核心提炼]1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特殊地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．[典型例题](1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是__________．(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq\r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq\f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________．【解析】(1)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．(2)设圆心为(a，0)(a＞0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq\f(|2a－0|,\r(4＋1))＝eq\f(4\r(5),5)，得a＝2，半径r＝eq\r(（a－0）2＋（0－\r(5)）2)＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.【答案】(1)(－2，－4)5(2)(x－2)2＋y2＝9eq\a\vs4\al()求圆的方程的两种方法(1)干脆法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合干脆求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程．(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满意的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．[对点训练]1．圆心在曲线y＝eq\f(2,x)(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x－2)2＋(y－1)2＝5C．(x－1)2＋(y－2)2＝25D．(x－2)2＋(y－1)2＝25解析：选A.y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))′＝－eq\f(2,x2)，令－eq\f(2,x2)＝－2，得x＝1，得平行于直线2x＋y＋1＝0的曲线y＝eq\f(2,x)(x>0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2x＋y＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5)，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.2．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．2eq\r(6) B．8C．4eq\r(6) D．10解析：选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20.))所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2eq\r(6)或y＝－2－2eq\r(6)，所以M(0，－2＋2eq\r(6))，N(0，－2－2eq\r(6))或M(0，－2－2eq\r(6))，N(0，－2＋2eq\r(6))，所以|MN|＝4eq\r(6).3．(2024·宁波镇海中学高考模拟)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则m＝________；|MP|＝________．解析：因为圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过圆心C(1，2)，所以1＋2m＋1＝0.解得m＝－1.圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心(1，2)，半径r＝2，因为经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，所以|MP|＝eq\r(（1＋1）2＋（2＋1）2－4)＝3.答案：－13直线与圆、圆与圆的位置关系[核心提炼]1．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来探讨位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．2．圆与圆的位置关系的判定(1)d＞r1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．[典型例题](1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切 B．相交C．外切 D．相离(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A．3 B.eq\f(\r(21),2)C．2eq\r(2) D．2【解析】(1)由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(a,\r(2))，所以2eq\r(a2－\f(a2,2))＝2eq\r(2)，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝eq\r(2)，两圆半径之差为1，故两圆相交．(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0，1)，半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝eq\f(1,2)r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时d＝eq\f(|5|,\r(k2＋1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，即k2＝4，因为k>0，所以k＝2.【答案】(1)B(2)Deq\a\vs4\al()解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法(1)探讨直线与圆及圆与圆的位置关系时，要留意数形结合，充分利用圆的几何性质找寻解题途径，削减运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．[对点训练]1．(2024·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．解析：法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝eq\r(（－2－0）2＋（－1＋2）2)＝eq\r(5).法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以eq\f(m＋1,0－（－2）)×2＝－1，所以m＝－2，r＝eq\r(（－2－0）2＋（－1＋2）2)＝eq\r(5).答案：－2eq\r(5)2．(2024·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O1和圆O2都经过点A(0，1)，若两圆与直线4x－3y＋5＝0及y＋1＝0均相切，则|O1O2|＝________．解析：如图，因为原点O到直线4x－3y＋5＝0的距离d＝eq\f(|5|,\r(42＋（－3）2))＝1，到直线y＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O1和圆O2的一个圆心为原点O，不妨看作是圆O1，设O2(a，b)，则由题意：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋1＝\r(a2＋（b－1）2),b＋1＝\f(|4a－3b＋5|,\r(42＋（－3）2))))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝1)).所以|O1O2|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)直线、圆与其他学问的交汇问题[核心提炼]高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线和圆与函数、不等式、平面对量、数列及圆锥曲线、概率等学问交汇，体现命题创新．[典型例题](1)在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．(2)(2024·广东省五校协作体第一次诊断考试)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为________．【解析】(1)设P(x，y)，则由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤20可得，(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20，即(x＋6)2＋(y－3)2≤65，所以P为圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65上或其内部一点．又点P在圆x2＋y2＝50上，联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝50，,（x＋6）2＋（y－3）2＝65，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝7))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－5，,))即P为圆x2＋y2＝50的劣弧MN上的一点(如图)．易知－5eq\r(2)≤x≤1.(2)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0配方得，(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－2b)2＝1，依题意得两圆相外切，故eq\r(a2＋4b2)＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝(eq\f(a2,9)＋eq\f(4b2,9))(eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2))＝eq\f(1,9)＋eq\f(a2,9b2)＋eq\f(4b2,9a2)＋eq\f(4,9)≥eq\f(5,9)＋2eq\r(\f(a2,9b2)×\f(4b2,9a2))＝1，当且仅当eq\f(a2,9b2)＝eq\f(4b2,9a2)，即a2＝2b2时等号成立，故eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为1.【答案】(1)[－5eq\r(2)，1](2)1eq\a\vs4\al()对于这类问题的求解，首先要留意理解直线和圆等基础学问及它们之间的深化联系，其次要对问题的条件进行全方位的谛视，特殊是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要驾驭解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法．[对点训练]1．(2024·浙江新高考冲刺卷)如图，直线x＋2y＝a与圆x2＋y2＝1相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝a，则实数a的值为()A.eq\f(5－\r(65),4) B.eq\f(\r(65)－5,4)C.eq\f(5－\r(55),4) D.eq\f(\r(55)－5,4)解析：选A.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝cos∠AOB＝a，所以AB＝eq\r(1＋1－2cos∠AOB)＝eq\r(2－2a)，所以O到直线AB的距离d＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2－2a),2)))\s\up12(2))，又d＝eq\f(|a|,\r(5))，所以eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2－2a),2)))\s\up12(2))＝eq\f(|a|,\r(5))，解得a＝eq\f(5－\r(65),4)或a＝eq\f(5＋\r(65),4)>1(舍)．2．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，设平面区域Ω：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－y＋3≥0，,y≥0.))若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为________．解析：作出可行域，如图，由题意知，圆心为C(a，b)，半径r＝1，且圆C与x轴相切，所以b＝1.而直线y＝1与可行域边界的交点为A(6，1)，B(－2，1)，目标函数z＝a2＋b2表示点C到原点距离的平方，所以当点C与点A重合时，z取到最大值，zmax＝37.答案：37专题强化训练1．(2024·杭州二中月考)已知直线3x－y＋1＝0的倾斜角为α，则eq\f(1,2)sin2α＋cos2α＝()A.eq\f(2,5)B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,4)D．－eq\f(1,20)解析：选A.由题设知k＝tanα＝3，于是eq\f(1,2)sin2α＋cos2α＝eq\f(sinαcosα＋cos2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(tanα＋1,1＋tan2α)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2．(2024·义乌二模)在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝()A.eq\f(\r(10),2) B.eq\r(10)C．5 D．10解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，因为过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D.3．(2024·杭州七市联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．设条件p：0＜r＜3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C.圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)，圆心(1，0)到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离d＝eq\f(|1－0＋3|,2)＝2.由条件q：圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1，可得0＜r＜3.则p是q的充要条件．故选C.4．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：y＝kx＋1与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于()A．1 B．2C．－1 D．0解析：选D.由题意知圆心到直线l的距离等于eq\f(1,2)r＝1(r为圆C的半径)，所以eq\f(|k×0－0＋1|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0.5．(2024·兰州市诊断考试)已知圆C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0，2] B．[1，2]C．[2，3] D．[1，3]解析：选D.依题意，设点P(eq\r(3)＋cosθ，1＋sinθ)，因为∠APB＝90°，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，所以(eq\r(3)＋cosθ＋t)(eq\r(3)＋cosθ－t)＋(1＋sinθ)2＝0，得t2＝5＋2eq\r(3)cosθ＋2sinθ＝5＋4sin(θ＋eq\f(π,3))，因为sin(θ＋eq\f(π,3))∈[－1，1]，所以t2∈[1，9]，因为t>0，所以t∈[1，3]．6．圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0(D<0，E为整数)的圆心C到直线4x－3y＋3＝0的距离为1，且圆C被截x轴所得的弦长|MN|＝4，则E的值为()A．－4B．4C．－8D．8解析：选C.圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).由题意得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))＋3)),\r(42＋（－3）2))＝1，即|4D－3E－6|＝10，①在圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0中，令y＝0得x2＋Dx－3＝0.设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1＋x2＝－D，x1x2＝－3.由|MN|＝4得|x1－x2|＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝16，(－D)2－4×(－3)＝16.由D<0，所以D＝－2.将D＝－2代入①得|3E＋14|＝10，所以E＝－8或E＝－eq\f(4,3)(舍去)．7．动点A与两个定点B(－1，0)，C(5，0)的距离之比为eq\f(1,2)，则△ABC面积的最大值为()A．3B．6C．9D．12解析：选D.设A点坐标为(x，y)．因为eq\f(|AB|,|AC|)＝eq\f(1,2)，所以2eq\r(（x＋1）2＋y2)＝eq\r(（x－5）2＋y2)，化简得x2＋y2＋6x－7＝0，即(x＋3)2＋y2＝16.所以A的轨迹表示以(－3，0)为圆心，半径为4的圆．所以△ABC面积的最大值为Smax＝eq\f(1,2)|BC|·r＝eq\f(1,2)×6×4＝12.8．(2024·浙江省名校联盟质量检测)已知点P的坐标(x，y)满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y≥x，,x≥1，))过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A、B两点，则|AB|的最小值是()A．2eq\r(6)B．4C.eq\r(6)D．2解析：选B.依据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，求|AB|的最小值等价于求d的最大值，易知dmax＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，此时|AB|min＝2eq\r(14－10)＝4，故选B.9．过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．解析：易知当CM⊥AB时，∠ACB最小，直线CM的斜率为kCM＝eq\f(1－0,\f(1,2)－1)＝－2，从而直线l的斜率为kl＝eq\f(－1,kCM)＝eq\f(1,2)，其方程为y－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))).即2x－4y＋3＝0.答案：2x－4y＋3＝010．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________.解析：对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则圆C1的圆心C1(m，－2)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(－1，m)，半径r2＝2.假如圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，即eq\r(（m＋1）2＋（m＋2）2)＝5，则m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2相外切．答案：－5或211．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为________．解析：已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为C(1，2)，半径r＝eq\r(2)，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PC⊥AB.在△PAC中，∠APC＝30°，由正弦定理得eq\f(|AC|,sin30°)＝eq\f(|PC|,sin∠PAC)，所以|PC|＝2eq\r(2)sin∠PAC≤2eq\r(2)，故|PC|的最大值为2eq\r(2).答案：2eq\r(2)12．(2024·台州调研)已知动圆C过A(4，0)，B(0，－2)两点，过点M(1，－2)的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，|EF|的最小值为________．解析：依题意得，动圆C的半径不小于eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(5)，即当圆C的面积最小时，AB是圆C的一条直径，此时点C是线段AB的中点，即点C(2，－1)，又点M的坐标为(1，－2)，且|CM|＝eq\r(（2－1）2＋（－1＋2）2)＝eq\r(2)<eq\r(5)，所以点M位于圆C内，点M为线段EF的中点(过定圆内肯定点作圆的弦，最短的弦是以该定点为中点的弦)时，|EF|最小，其最小值为2eq\r(（\r(5)）2－（\r(2)）2)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)13．(2024·宁波市余姚中学期中检测)设直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：①M中全部直线均经过一个定点；②存在定点P不在M中的任一条直线上；③对于随意整数n(n≥3)，存在正n边形，其全部边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的代号是________(写出全部真命题的代号)．解析：因为点(0，2)到直线系M：xcosθ＋(y－2)·sinθ＝1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离d＝eq\f(1,\r(cos2θ＋sin2θ))＝1，直线系M：xcosθ＋(y－2)·sinθ＝1(0≤θ≤2π)表示圆x2＋(y－2)2＝1的切线的集合，①由于直线系表示圆x2＋(y－2)2＝1的全部切线的集合，其中存在两条切线平行，M中全部直线均经过一个定点不行能，故①不正确；②存在定点P不在M中的任一条直线上，视察知点(0，2)即符合条件，故②正确；③由于圆的全部外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于随意整数n(n≥3)，存在正n边形，其全部边均在M中的直线上，故③正确；④如图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以M中的直线所能围成的正三角形面积大小不肯定相等，故④不正确．答案：②③14．(2024·南京一模)如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y＝eq\f(\r(3),3)(x＋1)上从左向右依次取点Ak，Bk(k＝1，2，…，其中A1是坐标原点)，使△AkBkAk＋1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是________．解析：直线y＝eq\f(\r(3),3)(x＋1)的倾斜角为30°，与x轴的交点为P(－1，0)，又△A1B1A2是等边三角形，所以∠PB1A2＝90°，所以等边△A1B1A2的边长为1，且A2B1∥A3B2∥…∥A10B9，A2B1与直线y＝eq\f(\r(3),3)(x＋1)垂直，故△A2B1B2，△A3B2B3，△A4B3B4，…，△A10B9B10均为直角三角形，且依次得到A2B2＝2，A3B3＝4，A4B4＝8，A5B5＝16，A6B6＝32，A7B7＝64，A8B8＝128，A9B9＝256，A10B10＝512，故△A10B10A11的边长是512.答案：51215．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m改变时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的状况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC⊥BC的状况，理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满意x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为eq\f(－1,x1)·eq\f(－1,x2)＝－eq\f(1,2)，所以不能出现AC⊥BC的状况．(2)证明：BC的中点坐标为(eq\f(x2,2)，eq\f(1,2))，可得BC的中垂线方程为y－eq\f(1,2)＝x2(x－eq\f(x2,2))．由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－eq\f(m,2).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(m,2)，,y－\f(1,2)＝x2（x－\f(x2,2)），))又xeq\o\al(2,2)＋mx2－2＝0，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(m,2)，,y＝－\f(1,2).))所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－eq\f(m,2)，－eq\f(1,2))，半径r＝eq\f(\r(m2＋9),2).故圆在y轴上截得的弦长为2eq\r(r2－（\f(m,2)）2)＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．16．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标．解：(1)圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为y＝kx，由eq\f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，得k＝2±eq\r(6)；所以此切线方程为y＝(2±eq\r(6))x.②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为x＋y－a＝0，由eq\f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2)，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3.所以此切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上，此切线方程为y＝(2＋eq\r(6))x或y＝(2－eq\r(6))x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由|PO|＝|PM|，得|PO|2＝|PM|2＝|PC|2－|CM|2，即xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，整理得2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时，