陕西省2024年中考数学解答专项辅助圆问题练习

协助圆问题已知点A、B、C均在半径为R的⊙O上．问题探究(1)如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长度；(2)如图②，当∠A为锐角时，求证：BC＝2R·sinA；问题解决(3)若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN上滑动，且点B、C均与点A不重合．如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试着探究线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是否为定值，若是，求出PA的长度；若不是，请说明理由．第1题图(1)解：∵点A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，又∵OB＝OC＝1，∴BC＝eq\r(2)；(2)证明：如解图①，作直径CE，连接EB，则∠E＝∠A，CE＝2R，∴∠EBC＝90°，∴sinA＝sinE＝eq\f(BC,EC)＝eq\f(BC,2R)，∴BC＝2R·sinA;图①图②第1题解图(3)解：如解图②，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK＝eq\f(1,2)AP＝AK＝PK，同理可得：BK＝AK＝PK，∴CK＝BK＝AK＝PK，∴点A、B、P、C都在以K为圆心，以AK长为半径的⊙K上，由(2)可知sin60°＝eq\f(BC,AP)，∴AP＝eq\f(2,sin60°)＝eq\f(4\r(3),3)为定值，故线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是定值，PA的长度为eq\f(4\r(3),3).问题探究(1)如图①，已知四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠B＝∠D＝90°，求：①对角线BD长度的最大值；②四边形ABCD的最大面积；(用含有a，b的代数式表示)问题解决(2)如图②，四边形ABCD是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：AB＝20cm，BC＝30cm，∠B＝120°，∠A＋∠C＝195°，请你用所学到的学问探究出它的最大面积，并说明理由．(结果保留根号)第2题图解：(1)①∵∠B＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，AC为圆的直径，∴BD的最大值为AC，此时BD＝AC＝eq\r(a2＋b2)；②连接AC，则AC2＝AB2＋BC2＝a2＋b2＝AD2＋CD2，S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CD≤eq\f(1,4)(AD2＋CD2)＝eq\f(1,4)(a2＋b2)．又∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)ab，∴四边形ABCD的最大面积为eq\f(1,4)(a2＋b2)＋eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,4)(a＋b)2；(2)如解图，连接AC，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E，∵AB＝20，∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，∴在Rt△ABE中，AE＝AB·sin60°＝10eq\r(3)，EB＝AB·cos60°＝10，S△ABC＝eq\f(1,2)AE·BC＝150eq\r(3).∵BC＝30，∴EC＝EB＋BC＝40，AC＝eq\r(AE2＋EC2)＝10eq\r(19)，∵∠ABC＝120°，∠BAD＋∠BCD＝195°，∴∠D＝45°，则△ACD中，D为定角，对边AC为定边，∴点A、C、D在同一个圆上，作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交⊙O于点D′，交AC于点F，FD′即为所求最大值，第2题解图连接OA、OC，∠AOC＝2∠AD′C＝90°，OA＝OC，∴△AOF为等腰直角三角形，AO＝OD′＝eq\r(2)·(eq\f(AC,2))＝5eq\r(38)，OF＝AF＝eq\f(AC,2)＝5eq\r(19)，D′F＝OD′＋OF＝5eq\r(38)＋5eq\r(19)，S△ACD′＝eq\f(1,2)AC·D′F＝eq\f(1,2)×10eq\r(19)×(5eq\r(38)＋5eq\r(19))＝475＋475eq\r(2)，∴S最大＝S△ABC＋S△ACD′＝150eq\r(3)＋475＋475eq\r(2).问题探究(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，作高AD，则△ABC的面积为________；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在对角线AC上，且CP＝CB，求△PBC的面积；问题解决(3)如图③，△ABC是一块商业用地，其中∠B＝90°，AB＝30米，BC＝40米，某开发商现打算再征一块地，把△ABC扩充为四边形ABCD，使∠D＝90°，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)12；【解法提示】如解图①，在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝eq\f(1,2)BC＝3，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(52－32)＝4，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×6×4＝12.图①图②第3题解图(2)如解图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，则PE∥AB，∴△CPE∽△CAB，∴eq\f(CP,CA)＝eq\f(PE,AB)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝5，∴eq\f(4,5)＝eq\f(PE,3)，∴PE＝eq\f(12,5)，∴S△PBC＝eq\f(1,2)BC·PE＝eq\f(1,2)×4×eq\f(12,5)＝eq\f(24,5)；(3)存在．如解图③，作△ABC的外接圆⊙O，第3题解图③∵∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径，又∵∠ADC＝90°，∴点D在⊙O上，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(302＋402)＝50，连接OD，则OD＝eq\f(1,2)AC＝25，过点D作DN⊥AC，垂足为N，∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，而S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×30×40＝600，∴只要S△ACD最大，那么S四边形ABCD最大，又∵S△ACD＝eq\f(1,2)AC·DN，而DN≤DO＝25，∴当DN＝25时，S△ACD最大，即eq\f(1,2)×50×25＝625，∴四边形ABCD的最大面积为：600＋625＝1225(平方米)．问题探究(1)如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，∠BAC＝120°，则△ABC的面积为________(用含a的代数式表示)；(2)如图②，△AOD与△BOC为两个等腰直角三角形，两个直角顶点O重合，OA＝OB＝OC＝OD＝a.若△AOD与△BOC不重合，连接AB、CD，求四边形ABCD面积的最大值；问题解决(3)如图③，点O为电视台所在位置，现要在距离电视台5km的地方修建四个电视信号中转站，分别记为A、B、C、D.若要使OB与OC夹角为150°，OA与OD夹角为90°(∠AOD与∠BOC不重合且点O、A、B、C、D在同一平面内)，则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值？假如有，求出最大值；假如没有，请说明理由．第4题图解：(1)eq\f(\r(3),4)a2；【解法提示】如解图①，过点B作AC的垂线交CA的延长线于点D，第4题解图①在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝a，则BD＝eq\f(\r(3),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)a·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),4)a2.(2)如解图②，分别过点A、D作BO、CO的垂线交BO的延长线于点E，交CO于点F，第4题解图②∵△AOD与△BOC均为等腰直角三角形，OA＝OB＝OC＝OD＝a，∴S△AOD＝eq\f(1,2)a2，S△BOC＝eq\f(1,2)a2，令∠AOB＝α，∠COD＝β，则S△AOB＝eq\f(1,2)a·asinα，S△COD＝eq\f(1,2)a·asinβ，∴S△AOB＋S△COD＝eq\f(1,2)a2(sinα＋sinβ)，∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴α＝90°，β＝90°，即∠AOB＝90°，∠COD＝90°时，△AOB与△COD面积最大，即此时四边形ABCD面积最大，此时，S△AOB＝eq\f(1,2)a2，S△COD＝eq\f(1,2)a2，∴S四边形ABCD最大＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＝2a2；(3)有最大值，理由如下：∵OA＝OB＝OC＝OD＝5km，则A、B、C、D四点在以O为圆心，5km为半径的圆上，如解图③，将△DOC绕O点顺时针旋转150°至△D′OB位置．连接AD′，设OB与AD′交于点E，第4题解图③∵△AOD与△BOC面积是定值，∴求S四边形ABD′O最大即可．∠AOD′＝360°－150°－90°＝120°，过O作OM⊥AD′于点M，过B作BN⊥AD′于点N，在△OAM中，∠AOM＝60°，∴OM＝eq\f(5,2)，AM＝eq\f(5\r(3),2)，AD′＝5eq\r(3)，令∠MEO＝∠NEB＝α，∴S四边形ABD′O＝S△AOD′＋S△ABD′＝eq\f(1,2)AD′·OM＋eq\f(1,2)AD′·BN＝eq\f(1,2)AD′·[OE·sinα＋(5－OE)·sinα]＝eq\f(1,2)AD′