2025年高中物理新教材同步 必修第三册 第9章　专题强化　库仑定律的应用

专题强化库仑定律的应用[学习目标]1.会利用库仑定律分析同一直线上三个点电荷的平衡问题(重点)。2.会利用库仑定律分析非共线力作用下带电体的平衡问题(重点)。3.会处理库仑力作用下带电体的动力学问题(难点)。一、同一直线上三个点电荷的平衡问题例1A、B两个点电荷，相距为r，A带有9Q的正电荷，B带有4Q的正电荷。(如图)(1)A和B固定，如何放置一个电荷量为q的正点电荷C，才能使点电荷C处于平衡状态？若将C换成等量负电荷C′，C′平衡的位置是否发生变化？(2)如果A和B是自由的，如何放置第三个点电荷D，使系统处于平衡状态，求D的位置、电性和电荷量。(3)如果A、B是两个自由的点电荷，相距为r，A带有9Q的正电荷，B带有－4Q的负电荷，如何放置第三个点电荷E，使系统处于平衡状态，求E的位置、电性和电荷量。答案见解析解析(1)要使点电荷C处于平衡状态，则A、B、C共线且C位于A、B之间，设A、C间距离为r1，则keq\f(9Qq,r12)＝keq\f(4Qq,r－r12)解得r1＝eq\f(3,5)r即应把点电荷C放在A、B的连线上，距A右侧eq\f(3,5)r处，将C换成等量负电荷C′，C′平衡的位置不发生变化。(2)A、B、D都处于平衡状态，则D位于A、B之间且D带负电荷，设A、D间距离为r2，对D：keq\f(9Q|qD|,r22)＝keq\f(4Q|qD|,r－r22)对A：keq\f(9Q|qD|,r22)＝keq\f(9Q·4Q,r2)解得r2＝eq\f(3,5)r，|qD|＝eq\f(36Q,25)，即D应放在A、B连线上距离A右侧eq\f(3,5)r处，D带负电荷，电荷量为－eq\f(36,25)Q。(3)A、B、E三个点电荷都处于平衡状态，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，且QA>QB，知A、B、E共线且E位于B右侧，E带正电，设B、E间距离为r3，则对E：keq\f(9QqE,r＋r32)＝keq\f(4QqE,r32)对B：keq\f(9Q·4Q,r2)＝eq\f(kqE·4Q,r32)解得r3＝2r，qE＝36Q即E应放在A、B连线上距离B右侧2r处，E带正电荷，电荷量为36Q。1．两个电荷固定，第三个电荷平衡问题只需要确定第三个电荷位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求。2．三个自由电荷的平衡问题(1)同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零。根据平衡条件可得，电荷间的关系为：“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。(2)对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程。针对训练如图所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，电荷量分别为－4Q和＋Q，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是()A．－Q，在A左侧距A为L处B．－2Q，在A左侧距A为eq\f(L,2)处C．－4Q，在B右侧距B为L处D．＋2Q，在A右侧距A为eq\f(3L,2)处答案C解析A、B、C三个点电荷要平衡，三个点电荷必须共线且外侧两点电荷相排斥，中间点电荷吸引外侧两电荷，而且外侧点电荷电荷量大，所以C必须带负电，放在B右侧，对C：eq\f(kQqC,r2)＝keq\f(4Q·qC,L＋r2)，可得r＝L对B：eq\f(kQ|qC|,r2)＝eq\f(k4Q·Q,L2)，可得|qC|＝4Q，C带负电，则qC＝－4Q，选项C正确。二、非共线力作用下带电体的平衡问题例2(多选)(2023·河南孟津第一高级中学月考)如图所示，两质量分别为m1和m2、带电荷量分别为q1和q2的小球，用长度不等的绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别是α和β(α>β)，若两小球恰在同一水平线上，那么()A．两球一定带异种电荷B．q1一定不等于q2C．m1一定小于m2D．两球所受静电力大小一定不相等答案AC解析两球均带电且相互吸引，则必定带异种电荷，故A正确；两球间的静电力为一对相互作用力，根据牛顿第三定律，无论两球的电荷量是否相等，两球间的静电力大小都相等，故无法判断两球所带电荷量的大小关系，B、D错误；设两球间静电力大小为F，对左球受力分析如图，得到F＝m1gtanα同理F＝m2gtanβ则m1tanα＝m2tanβ，因α>β，得到m1<m2，故C正确。例3(多选)(2023·山西怀仁市大地学校高二月考)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内，若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置。如果将小球B向左推动少许，两个小球将重新达到平衡，则两个小球的受力情况与原来相比()A．推力F将增大B．竖直墙面对小球A的弹力减小C．地面对小球B的弹力一定增大D．两个小球之间的距离增大答案BD解析对球A受力分析，A受三个力的作用，即重力GA，墙壁对A的弹力FA和B对A的静电力FBA，FA与FBA的合力与其重力大小相等，当将小球B向左推动少许时，FBA与竖直方向的夹角逐渐减小，则可以判断出FA减小，FBA也减小，B正确；对A、B整体受力分析可知，F＝FA，故推力F也将减小，A错误；地面对小球B的弹力和小球A和B的重力平衡，因此地面对B的弹力保持不变，C错误；由于两球之间的静电力减小，故两小球之间的距离增大，D正确。三、含库仑力的动力学问题例4(2023·揭阳市高二期末)如图所示，在光滑的绝缘水平面上，有两个质量相等、相距为r、带电荷量分别为＋q和－q的小球甲、乙(均可视为点电荷)，在水平恒力F作用下甲、乙一起做匀加速直线运动。静电力常量为k，则水平恒力F的大小为()A.eq\f(4kq2,r2)B.eq\f(3kq2,r2)C.eq\f(2kq2,r2)D.eq\f(kq2,r2)答案C解析选甲、乙整体为研究对象，加速度a＝eq\f(F,2m)，选乙为研究对象，由牛顿第二定律有eq\f(kq2,r2)＝ma，联立得F＝eq\f(2kq2,r2)，故选C。分析静电力作用下点电荷的平衡或动力学问题，步骤如下：1．确定研究对象：适当采用“整体法”或“隔离法”；2．对研究对象进行受力分析，画示意图(受力和运动过程)；3．根据平衡条件或牛顿第二定律列方程；4．解方程求出待求量。专题强化练[分值：60分]1～7题每题4分，8题8分，共36分1．(2023·河南省内乡县第三高级中学高二月考)如图所示，上端固定在天花板上的绝缘轻绳连接带电小球，带电小球b固定在绝缘水平面上，可能让轻绳伸直且a球保持静止状态的情景是()答案C2．(2024·哈尔滨市高二期中)如图，在真空中有两个点电荷，Q1＝4.0×10－8C，Q2＝－1.0×10－8C，分别固定在x轴的坐标为0和6cm的位置上，在Q1Q2连线上某位置再放置一点电荷，使其仅在Q1、Q2作用下处于平衡状态，则下列说法中正确的是()A．该位置处于Q1、Q2之间B．该位置处于Q1左侧C．该位置在x＝4cm处D．该位置在x＝12cm处答案D解析若电荷位于Q1的左侧，则可知Q1对电荷的作用力总大于Q2对电荷的作用力，不能达到平衡状态，如果在Q1、Q2之间，Q1、Q2对电荷的库仑力方向相同，不能平衡。在Q2右侧时Q1、Q2对电荷的库仑力方向相反，大小能满足相等关系，选项A、B错误；该电荷在Q2的右侧，设其电荷量为q，坐标为x，则有keq\f(Q1q,x2)＝keq\f(|Q2|q,x－x122)解得x＝12cm，选项C错误，D正确。3.如图所示，质量为m的带电小球N用绝缘丝线悬挂于P点，另一带正电小球M固定在带电小球N的左侧，小球N平衡时，绝缘丝线与竖直方向夹角为θ，且两球球心在同一水平线上。关于小球N的电性和所受库仑力的大小，下列判断正确的是(重力加速度为g)()A．正电，eq\f(mg,tanθ) B．正电，mgtanθC．负电，mgtanθ D．负电，eq\f(mg,tanθ)答案B解析以小球N为研究对象，对其进行受力分析，若使小球N处于平衡状态，则M对小球N的库仑力应水平向右，则小球N带正电；小球N的受力分析如图所示，根据小球处于平衡状态可知，在水平方向有F＝FTsinθ，在竖直方向有FTcosθ＝mg，解得F＝mgtanθ，则小球N所受库仑力大小为mgtanθ，故选项B正确。4.(多选)(2023·深圳市福田中学高二期中)如图所示，水平天花板上用长度相同的绝缘细线悬挂两个相同的带电小球A、B，左边放一个带正电的固定球Q时，两悬线都保持方向竖直，小球A与固定球Q的距离等于小球A与小球B的距离。下列说法中正确的是()A．A球带正电，B球带负电，并且A球带电荷量较多B．A球带负电，B球带正电，并且A球带电荷量较少C．如果减小B球的质量，B会右移D．如果只改变B球的质量，B不会移动答案BD解析根据电荷间的相互作用规律可知，A球带负电，B球带正电，A球才能受到固定球的向左的吸引力和B球向右的吸引力而平衡，B球受到固定球向右的排斥力和A球向左的吸引力而平衡，A错误；A球与两边带电小球的间距相等，根据库仑定律可知，两边带电小球的电荷量相等，即B球的电荷量与固定球的电荷量相等，对于B球，因为A离B较近，故要使A对B的库仑力与固定球对B的库仑力大小相等，A球的电荷量需要比固定球的电荷量少，B正确；改变B球的质量，影响的是B球的重力，不会影响三个球之间的库仑力，故三个球仍可保持平衡，B不会移动，C错误，D正确。5.(2024·河南省中原名校高二期中)如图所示，光滑绝缘水平桌面上有A、B两个带电小球(可以看成点电荷)，A球带电荷量为＋2q，B球带电荷量为－q；由静止开始释放两球，释放瞬间A球加速度大小为B球的两倍，不计空气阻力，下列说法正确的是()A．A、B球相互靠近过程中加速度都增大，且A球加速度总是B球的两倍B．A球的质量和B球质量相等C．A球受到的静电力与B球受到的静电力是一对平衡力D．A球受到的静电力是B球受到静电力的2倍答案A解析根据题意可知，A、B球相互靠近的过程中，释放瞬间A球加速度大小为B球的两倍，则A、B间距离越来越小，相互作用力越来越大，所以加速度都增大，则A球加速度总是B球的两倍，根据牛顿第二定律F＝ma可知，B球的质量是A球的2倍，故B错误，A正确；A球受到的静电力与B球受到的静电力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，故C、D错误。6.如图所示，点电荷q1、q2、q3在一条直线上，q2与q3的距离是q1与q2距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为0，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3为()A．(－9)∶4∶(－36) B．9∶4∶36C．(－3)∶2∶(－6) D．3∶2∶6答案A解析由于三个电荷均处于平衡状态，所以对q1有：keq\f(|q1q2|,l12)＝keq\f(|q1q3|,l1＋l22)，对q2有：keq\f(|q1q2|,l12)＝keq\f(|q2q3|,l22)，又l2＝2l1，联立解得|q1|∶|q2|∶|q3|＝9∶4∶36，根据“两同夹异，两大夹小”知，q1、q3是同种电荷，q1、q2是异种电荷，则q1∶q2∶q3＝(－9)∶4∶(－36)或q1∶q2∶q3＝9∶(－4)∶36，故A正确，B、C、D错误。7.(2023·内江市高二期末)如图，一带负电小球a穿过光滑绝缘的半圆环，位于圆环上的P位置，P位置与圆心O的连线与水平方向MN的夹角为45°，欲使该小球静止在图示的P位置，需在M、N之间放另一带电小球b。则小球b可能()A．带负电，放在O点 B．带负电，放在N点C．带正电，放在O点 D．带正电，放在N点答案D解析欲使该小球静止，需要让小球受力平衡。小球所受重力竖直向下，则半圆环对小球a的支持力和小球b对小球a的库仑力的合力方向为竖直向上。由于圆环对小球a的支持力方向与OP共线，若小球b放在O点，则库仑力方向也与OP共线，此时无论小球b带正电还是负电都不可能使合力方向竖直向上，所以小球b不可能放在O点，故A、C错误；若小球b放在N点，则支持力方向为O→P方向，库仑力方向为P→N方向时可能满足平衡条件，此时小球b对小球a是引力，小球b带正电，故B错误，D正确。8．(8分)(2024·湖北省东面联盟高二期中)如图所示，带电小球A和B放在倾角为30°的光滑绝缘斜面上，质量均为m，所带电荷量分别为＋q和－q，沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变沿斜面向上加速运动，已知重力加速度为g，静电力常量为k，求：(1)(5分)加速度a的大小；(2)(3分)F的大小。答案(1)eq\f(kq2,mr2)－eq\f(1,2)g(2)eq\f(2kq2,r2)解析(1)根据库仑定律，两球相互吸引的库仑力大小为F库＝keq\f(q2,r2)隔离B球，由牛顿第二定律有F库－mgsin30°＝ma联立解得加速度大小为a＝eq\f(kq2,mr2)－eq\f(1,2)g(2)把A球和B球看成整体，由牛顿第二定律有F－2mgsin30°＝2ma，解得F＝eq\f(2kq2,r2)。9～11题每题6分，共18分9.(多选)如图所示，光滑绝缘的水平面上，三个质量均为m的带电小球A、B、C用长为l的绝缘轻杆相连，A球的电荷量为＋q，对C球施加一水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动且杆均没有弹力，F的作用线反向延长与A、B间杆的中点相交。已知静电力常量为k，三个带电小球均可视为点电荷，下列说法正确的是()A．A、B、C三个小球一定带同种电荷B．A、B两个小球的电荷量一定相同C．C的电荷量为2qD．恒力F的大小为keq\f(\r(3)q2,2l)答案BC解析三个小球一起向右运动且杆均没有弹力，则三个小球具有向右的相同加速度，所以A、B与C应是异种电荷，并且A、B是等量的同种电荷，A错误，B正确；对三个小球整体分析有F＝3ma，对A球分析有keq\f(qqC,l2)sin60°＝ma,keq\f(qqC,l2)cos60°＝keq\f(q2,l2)，解得qC＝2q，F＝keq\f(3\r(3)q2,l2)，C正确，D错误。10.(2023·成都市高二期中)如图所示，水平面上放置一个绝缘支杆，支杆上的带电小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下，小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离，支杆始终静止。在此过程中以下说法正确的是()A．细线上的拉力一直增大B．B球受到的库仑力先减小后增大C．B球的运动轨迹是一段圆弧D．支杆受到地面向左的摩擦力逐渐减小答案C解析如图所示，设A、B间的距离为r，O、A间的距离为h，O、B间距离为l，B球重力为mg。A、B之间的库仑力大小为F库＝keq\f(qAqB,r2)，根据力的矢量三角形与距离的几何三角形相似可得eq\f(mg,h)＝eq\f(F库,r)＝eq\f(F,l)，解得F＝eq\f(mgl,h)，r＝eq\r(3,\f(kqAqBh,mg))，现缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离，支杆始终静止，且两球的电荷量均不变，则l减小，h不变，所以F减小，即细线上的拉力一直减小；r不变，即B球的运动轨迹是一段圆弧，并且B球受到的库仑力大小不变，故A、B错误，C正确；根据平衡条件可知，支杆受到的地面的摩擦力与B对A的库仑力的水平分量大小相等、方向相反，而B对A的库仑力大小不变，方向由水平向左变为斜向左下，所以水平分量变小，即支杆受到地面向右的摩擦力逐渐减小，故D错误。11.水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量均为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放