2024年中考数学真题专题分类汇编专题29 数式图及坐标等规律探索问题（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

专题29数式图及坐标等规律探索问题

一、选择题

1.（2024江苏扬州）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，

这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数

中，奇数的个数为（）

A.676B.674C.1348D.1350

【答案】D

【解析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．

本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．

【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．

由于202436742，

即前2024个数共有674组，且余2个数，

∴奇数有674221350个．

故选：D

2.（2024山东烟台）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有

女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不

擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅

织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？

A.45尺B.88尺C.90尺D.98尺

【答案】C

1

【解析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和1530

2

即可，读懂题意，找出规律是解题的关键．

【详解】解：由题意得，第一天织布5尺，第30天织布1尺，

1

∴一共织布153090（尺），

2

故选：C．

3.（2024四川德阳）将一组数2,2,6,22,10,23,,2n,，按以下方式进行排列：

则第八行左起第1个数是（）

A.72B.82C.58D.47

【答案】C

【解析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个

数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．

由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，

归纳类推得：第七行共有123456728个数，

则第八行左起第1个数是22958，

故选：C．

4.（2024云南省）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，L，第n个代数式

是（）

nn

A.2xnB.n1xC.nxn1D.n1x

【答案】D

【解析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题

的关键．

∵按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，L，

∴第n个代数式是n1xn，

故选：D．

5.（2024重庆市B）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案

中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图

案中，菱形的个数是（）

A.20B.21C.23D.26

【答案】C

【解析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到

相应的规律，进行求解即可．

【详解】第①个图案中有131112个菱形，

第②个图案中有132115个菱形，

第③个图案中有133118个菱形，

第④个图案中有1341111个菱形，

∴第n个图案中有13n113n1个菱形，

∴第⑧个图案中菱形的个数为38123，

故选：C．

6.（2024武汉市）如图，小好同学用计算机软件绘制函数yx33x23x1的图象，发现它关于

点1,0中心对称．若点A10.1,y1，A20.2,y2，A30.3,y3，……，A191.9,y19，A202,y20

都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1y2y3y19y20的

值是（）

A.1B.0.729C.0D.1

【答案】D

【解析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出

y1y2y3y9y11y190，进而转化为求y10y20，根据题意可得y100，y201，即

可求解．

【详解】∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，

0.11.90.21.80.91.1

∴1，

222

∴y1y2y3y9y11y190，

∴y1y2y3y19y20y10y20，而A101,0即y100，

∵yx33x23x1，

当x0时，y1，即0,1，

∵0,1关于点1,0中心对称的点为2,1，

即当x2时，y201，

∴y1y2y3y19y20y10y20011，

故选：D．

7.（2024四川内江）如图，在平面直角坐标系中，ABy轴，垂足为点B，将ABO绕点A逆时

3

针旋转到VABO的位置，使点B的对应点B落在直线yx上，再将VABO绕点B逆时针旋

1114111

3

转到ABO的位置，使点O1的对应点O2也落在直线yx上，如此下去，……，若点B的坐标

1124

为0,3，则点B37的坐标为（）．

A.180,135B.180,133C.180,135D.180,133

【答案】C

【解析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规

律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键．

通过求出点A的坐标，AB、OA、OB的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，

然后结合图形求解即可．

【详解】ABy轴，点B的坐标为0,3，

3

OB3，则点A的纵坐标为3，代入yx，

4

得：x4，则点A的坐标为4,3．

OB3，AB4，

OA32425，

由旋转可知，OBO1B1O2B23，OAO1AO2A15，

ABAB1A1B1A2B24，

OB1OAAB1459，B1B334512，

B1B3B3B5B35B3712，

371

OBOBBB912225．

3711372

3

设点B37的坐标为a,a，

4

2

则23，

OB37aa225

4

3

解得a180或180（舍去），则a135，

4

点B37的坐标为180,135．

故选C．

二、填空题

1.（2024江西省）观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______．

【答案】a100

【解析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即

可．

∵a，a2，a3，a4，…，

∴第n个单项式的系数是1；

∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…，

∴第n个式子是an．

∴第100个式子是a100．

故答案为：a100．

2.（2024四川成都市）在综合实践活动中，数学兴趣小组对1n这n个自然数中，任取两数之和大

于n的取法种数k进行了探究．发现：当n2时，只有1,2一种取法，即k1；当n3时，有1,3

和2,3两种取法，即k2；当n4时，可得k4；……．若n6，则k的值为______；若n24，

则k的值为______．

【答案】①.9②.144

【解析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同

取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可．

【详解】当n2时，只有1,2一种取法，则k1；

当n3时，有1,3和2,3两种取法，则k2；

42

当n4时，有1,4，2,4，3,4，2,3四种取法，则k314；

4

故当n5时，有1,5，2,5，3,5，4,5，2,4，3,4六种取法，则k426；

当n6时，有1,6，2,6，3,6，4,6，{5,6}，2,5，3,5，4,5，3,4九种取法，

62

则k5319；

4

依次类推，

n2

当n为偶数时，kn1n3531，

4

242

故当n24时，k232119531144，

4

故答案为：9，144．

3.（2024四川德阳）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别

填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究

后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是______（填上一个数字

即可）．

【答案】1##8

【解析】本题考查了数字规律，理解题意是解题的关键．由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至8，

共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字

均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的

绝对值不等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1或者

8．

【详解】两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其

中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，

故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入．

位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8．

故答案为：1（或8）．

4.（2024四川遂宁）在等边ABC三边上分别取点D、E、F，使得ADBECF，连结三点得

到，易得，设，则

DEFADF≌BED≌CFES△ABC1S△DEF13S△ADF

AD111

如图①当时，S13

AB2△DEF44

AD121

如图②当时，S13

AB3△DEF93

AD137

如图③当时，S13

AB4△DEF1616

……

AD1

直接写出，当时，S△______．

AB10DEF

73

【答案】##0.73

100

【解析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为n时，

n1n23n3

S13，代入n10即可．

△DEFn2n2

AD1n1n23n3

【详解】根据题意可得，当时，S13，

ABn△DEFn2n2

AD1102310373

则当时，S，

AB10△DEF102100

73

故答案为：．

100

5.（2024四川达州）如图，在ABC中，AE1，BE1分别是内角CAB、外角CBD的三等分线，

11

且EADCAB，EBDCBD，在ABE中，AE，BE分别是内角EAB，外

13131221

11

角EBD的三等分线．且EADEAB，EBDEBD，…，以此规律作下去．若

1231231

Cm．则En______度．

1

【答案】m

3n

【解析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

△△

先分别对ABC,E1AB运用三角形的外角定理，设E1AD，则CAB3，E1BD，

2

则，得到，，同理可求：11，所

CBD3E133CE2E1C

33

n

以可得1．

EnC

3

【详解】如图：

11

∵EADCAB，EBDCBD，

1313

∴设E1AD，E1BD，则CAB3，CBD3，

由三角形的外角的性质得：E1，33C，

1

∴EC，

13

如图：

1

同理可求：EE，

231

2

∴1，

E2C

3

……，

n

∴1，

EnC

3

1

即Em，

n3n

1

故答案为：m．

3n

111

6.（2024四川眉山）已知a1x1（x0且x1），a2,a3,,an，

1a11a21an1

则a2024的值为______．

1

【答案】

x

【解析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为x1，

1x

，，进一步即可求出a．

xx12024

【详解】a1x1，

111

a2，

1a11x1x

11x

a

31a1x1，

21

x

111

ax1

41ax1，

31

x1x1

1

a，

5x

x

a，

6x1

……，

由上可得，每三个为一个循环，

2024367432，

1

a．

2024x

1

故答案为：．

x

7.（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”

形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标

为(1，0)，点C在第一象限，OBC120．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依

次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O，点C的对应点为C，OC与OC的交点为A1，

称点A1为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动

2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为______．

3

【答案】13496743,

3

3

【解析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接A1B，求得AB，

13

333

3，，分别得到，，，L，推导

ODOC3A11,A233,A3523,

2333

3

得到，△滚动一次得到，△滚动四次得到A，△

An1n123,OBCA1OBC2OBC

3

滚动七次得到A3，由此得到△OBC滚动2024次后停止滚动，则n202413675，据此求

解即可．

【详解】解：连接A1B，

由题意得BOCBCO30，BOCBCO30，OBBCOBBC1，

∴A1BOC，

3113

∴ABOBtan30，BDOB，ODOB2BD2，

13222

∴OCCE3，

3

∴，

A11,

3

3

，

A233,

3

3

同理，

A3523,

3

L，

3

，

An1n123,

3

△OBC滚动一次得到A1，△OBC滚动四次得到A2，△OBC滚动七次得到A3，

3

∴△滚动次后停止滚动，则时，，

OBC2024n202413675A67513496743,

3

3

故答案为：13496743,．

3

（黑龙江绥化）如图，已知，，，，，

8.2024A11,3A23,3A34,0A46,0A57,3

，，…，依此规律，则点的坐标为．

A69,3A710,0A811,3A2024______

【答案】2891,3

【解析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知

7个点坐标的纵坐标为一个循环，A7n的坐标为10n,0，据此可求得A2024的坐标．

【详解】解：∵，，，，，，，

A11,3A23,3A34,0A46,0A57,3A69,3A710,0

…，，

A811,3

∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，

7A7n10n,0A7n110n1,3

∵202472891，

∴A2023的坐标为2890,0．

∴的坐标为

A20242891,3

故答案为：2891,3．

33

9.（2024四川广安）已知，直线l:yx与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形

33

y

OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与轴交于点C1，以C1A2

为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边

三角形C3A4B4，则点A2024的横坐标为______．

2023

5

【答案】

2

【解析】

33

直线直线l:yx可知，点A1坐标为1,0，可得OA11，由于OA1B1是等边三角形，可

33

1335

得点B，，把代入直线解析式即可求得A的横坐标，可得，由于

1y2A2C1B2A2B1

2222

532573

是等边三角形，可得点；同理，，，发现规律即可得解，准确发现坐标与

A2,A3

2244

字母的序号之间的规律是解题的关键．

33

【详解】解：∵直线l：l:yx与x轴负半轴交于点A1，

33

∴点A1坐标为1,0，

∴OA11，

过B1，B2，作B1Mx轴交x轴于点M，B2Nx轴交A2B1于点D，交x轴于点N，

∵A1B1O为等边三角形，

∴OB1M30

11

∴MOAO，

212

2

∴22213

B1MB1OOM1

22

13

∴，，

B1

22

33335

当y时，x，解得：x，

22332

553

∴，A,，

A2C12

222

15

∴CDAC，

12214

22

∴5353，

B2D

244

53373

∴BN，

2424

73733325

∴当y时，x，解得：x，

44334

2573

∴，；

A3

44

2

255

而，

42

3

同理可得：的横坐标为5125，

A4

28

2023

∴点的横坐标为5，

A2024

2

2023

5

故答案为：．

2

【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特

殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.

三、解答题

1.（2024安徽省）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2y2（x，y均为

自然数）”的问题．

（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：

N奇数4的倍数

1120242202

3221283212

表示

结果

53222124222

74232165232

95242206242

LL

一般

2

2n1n2n14n______

结论

按上表规律，完成下列问题：

（ⅰ）24（）2（）2；

（ⅱ）4n______；

（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，这些形如4n2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2y2

（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：

假设4n2x2y2，其中x，y均为自然数．

分下列三种情形分析：

①若x，y均为偶数，设x2k，y2m，其中k，m均为自然数，

22

则x2y22k2m4k2m2为4的倍数．

而4n2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．

②若x，y均为奇数，设x2k1，y2m1，其中k，m均为自然数，

22

则x2y22k12m1______为4的倍数．

而4n2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．

③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2y2为奇数．

而4n2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．

由①②③可知，猜测正确．

阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．

22

【答案】（1）（ⅰ）7，5；（ⅱ）n1n1；

22

（2）4kmkm

【解析】【分析】（1）（ⅰ）根据规律即可求解；（ⅱ）根据规律即可求解；

（2）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；

本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．

【小问1详解】

（ⅰ）由规律可得，247252，

故答案为：7，5；

22

（ⅱ）由规律可得，4nn1n1，

22

故答案为：n1n1；

【小问2详解】

解：假设4n2x2y2，其中x，y均为自然数．

分下列三种情形分析：

①若x，y均为偶数，设x2k，y2m，其中k，m均为自然数，

22

则x2y22k2m4k2m2为4的倍数．

而4n2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．

②若x，y均为奇数，设