2024年中考数学真题专题分类汇编专题32 最值问题（原卷版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

专题32最值问题

一、选择题

2

1.（2024四川乐山）已知二次函数yx2x1xt1，当x=1时，函数取得最大值；当

x1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（）

A.0t2B.0t4C.2t4D.t2

2.（2024四川南充）如图，在RtABC中，C90，B30，BC6，AD平分CAB交

BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（）

A.2B.3C.2D.3

3.（2024四川南充）当2x5时，一次函数y(m1)xm21有最大值6，则实数m的值

为（）

A.3或0B.0或1C.5或3D.5或1

4.（2024四川泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，

且满足AEBF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG2GB，

1

则OMFG的最小值是（）

2

A.4B.5C.8D.10

5.（2024四川宜宾）如图，在ABC中，AB32,AC2，以BC为边作RtBCD，BCBD，

点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（）

A.232B.622C.5D.8

6.（2024四川达州）如图，ABC是等腰直角三角形，ABC90，AB4，点D，E分别在

2AE

AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足ADCE，则下列结论：①2；

2BD

②DFE135；③△ABF面积的最大值是424；④CF的最小值是21022．其中正确

的是（）

A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④

二、填空题

1.（2024四川广安）如图，在YABCD中，AB4，AD5，ABC30，点M为直线BC上

一动点，则MAMD的最小值为______．

2.（2024四川成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A3,0，B0,2，过点B作y轴的

垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则POPA的最小值为______．

3.（2024江苏扬州）如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，ABl2于点B，点C、D

分别是l1、l2上的动点，且满足ACBD，连接CD交线段AB于点E，BHCD于点H，则当

BAH最大时，sinBAH的值为_____．

5

4.（2024四川广元）如图，在ABC中，AB5，tanC2，则ACBC的最大值为______．

5

5.（2024河南省）如图，在Rt△ABC中，ACB90，CACB3，线段CD绕点C在平面

内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD1，则AE的最大值为_________，最小

值为_________.

6.（2024四川宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若MAN45，

则MN的最小值为___________．

7.（2024四川内江）如图，在ABC中，ABC60，BC8，E是BC边上一点，且BE2，

点I是ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PEPC

的最小值为________．

三、解答题

2

1.（2024河南省）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度hm满足关系式h5tv0t，其

中ts是物体运动的时间，v0m/s是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从

地面竖直向上发射小球．

（1）小球被发射后_________s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）．

（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．

（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次

间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．

2.（2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数yx22axa3的最值问

题展开探究．

【经典回顾】二次函数求最值的方法．

（1）老师给出a4，求二次函数yx22axa3的最小值．

①请你写出对应的函数解析式；

②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，

并整理成下表：

a…42024…

x…*2024…

y的最小值…*93515…

注：*为②的计算结果．

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”

甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取xa，就能得到y的最小值．”

乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，

所以我猜想y的最小值中存在最大值．”

（2）请结合函数解析式yx22axa3，解释甲同学的说法是否合理？

（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．

3.（2024江苏连云港）【问题情境】

（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正

方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小

正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；

【操作实践】

（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕

按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内

一点P为端点的四条线段之间的数量关系；

【探究应用】

（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中DAP

存在最大值．若PE8，PF5，当DAP最大时，求AD的长；

（4）如图6，在Rt△ABC中，C90，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若

ACCD5，BCCE8，求AEBD的最小值．

4.（2024山东烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好

生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，

每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，

但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？

2

5.（2024山东枣庄）在平面直角坐标系xOy中，点P2,3在二次函数yaxbx3a0的

图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线xm．

（1）求m的值；

（2）若点Qm,4在yax2bx3的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得

到新的二次函数的图像．当0x4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；

2

（3）设yaxbx3的图像与x轴交点为x1,0，x2,0x1x2．若4x2x16，求a的

取值范围．

2

6.（2024天津市）已知抛物线yaxbxca，b，c为常数，a0的顶点为P，且2ab0，

对称轴与x轴相交于点D，点Mm,1在抛物线上，m1，O为坐标原点．

（1）当a1，c1时，求该抛物线顶点P的坐标；

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（2）当OMOP时，求a的值；

2

（3）若N是抛物线上的点，且点