四川省遂宁市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）-1

遂宁市高中2022届第二学期教学水平监测数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.总分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上.并检查条形码粘贴是否正确.2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3．考试结束后，将答题卡收回.一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.现有这么一列数：1，，，，（），，，…，按照规律，（）中的数应为（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得出每个数的分母为，分子为连续的奇数，即可求解.【详解】由题意知，一列数：1，，，，（），，，…，可得每个数的分母为，分子为连续的奇数，所以（）中的数应为故选：A.【点睛】本题主要考查了数列的项的归纳推理，其中解答中根据数的排列，找出数字的规律是解答的关键，着重考查了归纳推理的应用.2.设，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，直接判断即可.详解】对A，当时，不成立，故A错对B，若为正数，为负数，不成立，故B错对C，由，所以，所以成立，故C正确对D，当时，不成立，故D错故选：C【点睛】本题考查不等式的性质，选择题可以使用特殊值法，便于计算，属基础题.3.在中，为线段上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.【详解】.故选：D4.设单位向量，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由题设可得，则，应选答案A．5.已知中，，那么满足条件的（）A.有一个解 B.有两个解 C.不能确定 D.无解【答案】B【解析】【分析】通过比较与的大小关系，简单判断可得结果.【详解】由题可知：，由所以可知有两个解故选：B【点睛】本题考查两边及其一边所对应的角判定三角形个数，掌握比较方法以及正弦定理的使用，属基础题.6.已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】利用已知等差等比数列中的项求得公差公比，再计算比值即可.【详解】由题意可知：数列成等差数列，设公差d，则4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+1=2，a2=1+2d=3.∵数列成等比数列，设公比为q，则4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.则.故选：A.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列，属于基础题.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为（）A.13 B.14C.15 D.16【答案】B【解析】【分析】由已知条件利用等差数列的前项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十四日所织尺数．【详解】设第一天织尺，从第二天起每天比第一天多织尺，

由已知得解得：，

∴第十四日所织尺数为．

故选：B．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前项和，是基础的计算题．8.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中，那么一定是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理，将等式中的边消去，化为关于角的等式，整理化简可得角的关系，进而确定三角形的形状．【详解】由正弦定理可得：，整理得，因此有，可得或，当时，为等腰三角形；当时，有，为直角三角形，故选：D．【点睛】本题考查通过正弦定理化简判定三角形形状，熟悉正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属基础题.9.已知，都是锐角，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算得到，，再根据展开得到答案.【详解】，都是锐角，，，故，..故选：.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.10.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为km.A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由已知可求，，由正弦定理可求的值，在中，，由正弦定理可求的值，进而由余弦定理可求的值．【详解】由已知，中，，，由正弦定理，，所以，在中，，由正弦定理，，所以，在中，由余弦定理，，解得：．所以与的距离.故选B【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．11.设是的重心，且，若外接圆的半径为1，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据是三角形的重心得到，结合已知条件进行化简，求得，由此判断出三角形是等边三角形，再结合三角形外接圆半径以及正弦定理，求得三角形的边长，由此求得三角形的面积.【详解】∵是的重心，∴，则，代入得，，∵不共线，∴且，即，∴是等边三角形，又外接圆的半径为1，∴由正弦定理得，，则，∴.故选：B.【点睛】本小题主要考查三角形重心的向量表示，考查正弦定理的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.当时，函数取得最小值，则的值为（）A.- B.C.- D.【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式可知函数，然后把代入结合平方关系可得，最后利用两角和的正弦公式计算可得结果.【详解】由题可知：所以，则所以所以故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及平方关系，还考查了两角和的正弦公式，着重考查计算，属基础题.第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上.2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.当时，的最小值为________．【答案】5【解析】【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为,则，当时，的最小值为5.故答案为：5.14.在中，是方程的两根，则_______．【答案】【解析】【分析】根据韦达定理以及两角和的正切公式计算即可.【详解】由题可知：是方程的两根所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，牢记公式，细心计算，属基础题.15.如图，在半径为圆上，C为圆心，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若，则_____．【答案】9【解析】分析】化简，两边平方可得，然后将用表示，然后进行计算即可.【详解】由题可知：，两边平方可得所以故答案为：9【点睛】本题考查向量的运算以及向量的数量积，属基础题.16.已知数列满足…，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】依据题意可得，然后可得，利用裂项相消法可得，最后化简以及函数的单调性可得结果.【详解】由题可知：…①当时，…②①-②是可得：，所以当时，符合上式，所以则所以所以又，所以又函数在单调递减所以所以恒成立，则故答案为：【点睛】本题主要考查裂项相消法求和以及数列中恒成立问题，审清题意，细心计算，属中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4).（1）求顶点D的坐标；（2）求与所成夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标表示，计算，可得结果.（2）用坐标表示，，然后根据平面向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）设顶点D的坐标为．，，，，，又，所以．即解得所以顶点D的坐标为．（2）由【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量夹角公式，重在明白向量坐标的表示方法以及夹角公式的记忆，属基础题.18.已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依题意利用等差数列的性质可得，然后利用等比数列通项公式计算即可.（2）由（1）的结论可得，然后利用分组求和，可得结果.【详解】（1）由题意可得，即，解得：，∴，∴数列的通项公式为．（2）【点睛】本题主要考查数列的分组求和，掌握常用的求和方法：公式法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法等，属基础题.19.已知向量，且函数.（1）求函数在时的值域；（2）设是第一象限角，且求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）用坐标表示向量的数量积以及辅助角公式可得，然后使用整体法以及正弦函数的性质可得结果.（2）根据（1）的条件可得，然后使用两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式化简求值即可.【详解】(1)由，则的值域为（2）则即，又为第一象限的角，则则【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示以及正弦型函数的性质，考查三角恒等变形，本题重在考查公式的应用以及计算能力的培养，属中档题.20.首届世界低碳经济大会11月17日在南昌召开，本届大会的主题为“节能减排，绿色生态”.某企业在国家科研部门的支持下，投资810万元生产并经营共享单车，第一年维护费为10万元，以后每年增加20万元，每年收入租金300万元.（1）若扣除投资和各种维护费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后企业为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以100万元转让经营权；②年平均利润最大时以460万元转让经营权，问哪种方案更优？【答案】（1）从第4年开始获取纯利润；（2）方案②.【解析】【分析】（1）依据题意可知每年的维护费用满足的是等差数列，然后可得利润，令，简单计算以及判断可得结果.（2）根据（1）的结论可计算方案①所获利润，计算结合基本不等式可得所获利润，然后进行比较可得结果.【详解】（1）设第年获取利润为y万元，年共收入租金万元，付出维护费构成一个以10为首项，20为公差的等差数列，共因此利润令，解得：所以从第4年开始获取纯利润．（2）方案①：纯利润所以15年后共获利润：1440+100=1540（万元）方案②：年平均利润当且仅当，即n=9时取等号所以9年后共获利润：120×9+460=1540（万元）综上：两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②．【点睛】本题考查数列模型的应用问题，审清题意，理清思路，细心就算，属中档题.21.已知的角的对边分别为a，b，c，满足．（1）求；（2）从下列条件中：①；②中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后，再利用余弦定理可求出角（2）若选①，则由正弦定理得，然后表示出的周长，化简得，再求出的范围，结合正弦函数的性质可求得三角形周长的范围，若选择②，则由可得，然后利用余弦定理表示出，从而可表示出三角形的周长，再利用基本不等式可求得结果.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，即，所以由余弦定理得，因为，所以，【小问2详解】若选择①，，由正弦定理得，所以，所以的周长为，因为，所以，所以，所以，所以，所以的周长的取值范围为，若选择②，，则，得，由余弦定理得，所以的周长为，因，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的周长的取值范围为.22.函数满足：对任意，都有，且，数列满足.（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列前n项和为，且，问是否存在正整数m，使得成立，若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；；（2）存在，4.【解析】