难点02 解三角形的最值范围与图形类问题（八大难点+真题精炼）（解析版）-1

难点02解三角形的最值范围与图形类问题热点一利用基本不等式求周长面积的最值范围例1．在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【详解】因为，由正弦定理可得，即，即，所以，又，则，又因为，，即，所以，当且仅当时取得等号，所以，即面积的最大值为，当且仅当时取得.故选：A．例2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．(1)求A；(2)若，求△ABC的面积S的最小值．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）由题意可得，因为，所以．因为，所以，即，因为，所以，所以，所以，可得，即．（2）由（1）知；且，由余弦定理得，整理得，解得或（当时，，故舍去），（当且仅当时取等号）．从而，即△ABC面积S的最小值为．变式1-1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为．【答案】【详解】由，因为为三角形内角，所以，所以，所以.由余弦定理：，即.所以，所以，所以.又，所以.故答案为：变式1-2．在中，角、、的对边分别为、、，满足.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的最小值．【答案】(1)(2)4【详解】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因为是三角形内角，所以；（2）由三角形面积公式得：，解得，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为4，此时为等边三角形．变式1-3．在中，内角，，的对边分别为，，，满足．(1)求角的大小；(2)若，求周长的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，由余弦定理得，因为，所以；（2）因为，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以周长的最小值为.利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”热点二求角度有关的最值范围例3．在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2).【详解】（1）在中，，由正弦定理得，则，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，则，又由，得因此由，得，则，则，所以的取值范围为.例4．在锐角三角形中，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：根据，结合余弦定理，得，即，由正弦定理化简，得，其中，所以，结合、为三角形的内角，可得，即，因为为锐角三角形，所以，即，解得，而，因为，所以，即的取值范围为．故选：B．变式2-1．在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以．因为，所以，所以，即．因为，所以，所以，即．因为，所以．（2）因为，所以，所以，则．因为是锐角三角形，所以解得，所以，所以，则，即的取值范围是．变式2-2．在锐角中，内角对边分别为，已知.(1)求；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，由正弦定理可得，所以，即，又，所以，因为，所以；（2）由（1）知，因为，，，，，即的取值范围为．变式2-3．在锐角三角形中，角对应的边分别记为.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知，，由正弦定理可得：，而，所以，又，所以，那么，所以.（2）由题意可知，因为锐角三角形中，，所以，所以，所以所以取值范围是.利用角的关系进行统一角，利用统一角的范围求出所求的范围热点三转成角的最值范围例5．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（

）A．4 B． C． D．3【答案】B【详解】依题意，，则，，其中，所以当时，取得最大值为.故选：B【点睛】在求解三角函数有关题目的过程中，遇到正切时，可将其转化为正弦和余弦来进行求解.求解三角形有关的最值或范围问题，可利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换等知识进行化简，再根据三角函数值域的知识进行求解.例6．设的内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若的最大值为，求的值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题设及正弦边角关系，有，所以，整理得，即，显然不合题设，则，所以，而，可得.（2）由，可得，，所以，由（1）知：，则，由，则，又的最大值为，所以，可得（负值舍），综上，.变式3-1．在中，，，则的最大值为．【答案】【详解】因为，，可得，则，且，即，所以，其中，当，即时，取得最大值.故答案为：.变式3-2．已知的内角所对的边分别为，且.(1)求；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，因为，可得，可得，即，又因为，可得，所以，因为，所以.（2）由（1）知，，可得，因为，由正弦定理可得，则，所以，其中，因为，可得，所以，当时，，此时取得最大值，最大值为.变式3-3．记的内角的对边分别为，已知的面积．(1)求；(2)若，求；(3)若，且存在最大值，求正数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由已知可得，因为，所以，所以．由余弦定理可得，所以．（2）因为，所以，又因为，所以，于是，由正弦定理得．（3）因为，且，所以，所以，其中．要使得存在最大值，则能取到，因为，所以，于是，所以，于是，解得．先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围热点四多边形问题例7．在中，，，，为边上一点，且，则【答案】【详解】如图，在中，由余弦定理得，又，则，在中，由正弦定理得，所以，.故答案为：.例8．在凸四边形中，对角线交于点，且.(1)若，求的余弦值；(2)若，求边的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，设，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以，在中，由余弦定理得；（2）在中，由正弦定理得，所以，又为三角形的内角，所以，所以，，且，所以，又，在中，由余弦定理得，所以.变式4-1．在平面四边形ABCD中，如图所示.，，则四边形ABCD面积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在中，，中，，两式相加得，则，两边平方后得，①根据余弦定理可知，，即，得，两边平方后，，②①式两边乘以4后得，③，，即，当时，的最大值为，所以四边形的面积取得最大值为.故选：C变式4-2．如图，在四边形中，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，则，设，则，，在中，，，故，由正弦定理可得，则，在中，由余弦定理可得，即，解得，故.故选：C.变式4-3．在中，角所对的边分别为，，，且.(1)求;(2)已知，为边上的一点，若，，求的长.【答案】(1);(2).【详解】（1）因为，所以，所以，，，所以，,因为，所以.（2）因为，，，根据余弦定理得:，∴.所以，所以，所以，所以，所以.将多边形分割成多个三角形，若有一个三角形可用正余弦定理求解六要素，则要根据所求边或角所在的三角形合理求解边角；若没有一个三角形可求解六要素，则需要根据条件选择边角要素（要挑选有关系的边角或者两三角形的的公共边或公共角）进行假设，然后利用正余弦定理构造方程进行求解热点五多边形中的最值范围例9．已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为．【答案】【详解】四边形中，，，设与面积分别为，，则，．在中，利用余弦定理：，即，在中，利用余弦定理：，即，所以．则，当，即时，最大值，最大值为，故答案为：例10．如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.(1)若，求的长；(2)用表示的长度；(3)求的面积的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由，且是边长为的正三角形，则，且，所以在中，由余弦定理得，所以.（2）由，则，则，在中，由正弦定理有，得，（3）由三角形的面积公式得，又，且，则，所以，所以，则，故的取值范围为.变式5-1．在中，点D在边上（不含端点），，，，的最小值为.【答案】【详解】法一：过点D作，交延长线于点E.令，因为，，所以，，，故，.故，当且仅当，即时，等号成立.法二：令，则，.故，当且仅当时，等号成立.故答案为：变式5-2．如图，在中，点在边上，．(1)若，，，求；(2)若是锐角三角形，，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由余弦定理得，即，即，而，解得，则，在中，，由余弦定理得.（2）在锐角中，，，且，则，由正弦定理得，显然，即有，因此，即，所以的取值范围是.变式5-3．已知四边形内接于，若，，．(1)求线段的长．(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由题知，，所以，根据余弦定理，，即，．所以，所以．所以．（2）因为所以，所以（当且仅当时取等号）又,所以．热点六中线问题例11．（多选）已知的内角的对边分别为为的中点，，则（

）A． B．C．的面积为 D．【答案】ABD【详解】因为为的中点，所以，则，A正确．由余弦定理得，则，B正确．由，得，所以，C错误．由，得，则，D正确．故选：ABD例12．在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若，，为AC边的中点，求BD的长.【答案】(1)(2)【详解】（1），由正弦定理得，由于，故，所以，因为，所以，故，，因为，所以；（2）为AC边的中点，故，两边平方得，又，，，所以，故.变式6-1．在中，，D为的中点，，的面积为，则．【答案】【详解】由，可得，所以，，∴，所以，由平行四边形的对角线性质可知，，∴，由余弦定理可得，，，解可得.故答案为：.变式6-2．记的内角，，的对边分别，，，已知．(1)求；(2)设是边中点，若，求．【答案】(1)(2)．【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，又，则，而，化简得，即，而，因此，所以.（2）在中，由，得，，由正弦定理，得，由是边中点，得，则，因此，在中，由正弦定理，得.变式6-3．已知中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求角的大小；(2)若为的中点，，，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，得，又，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，解得，即.（2）因为为的中点，所以，两边平方得到，又，，所以，整理可得，解得或（舍去）所以的面积.若是的中线，则方法一：向量法；方法二：（双余弦定理法）在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因为，所以，所以①+②式即可热点七与中线有关的最值范围例13．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为．【答案】【详解】在中，由余弦定理可得．由平面向量数量积的定义可得，在锐角中，点是线段的中点，则，所以．由及正弦定理，得，，所以．因为为锐角三角形，且，则，解得，则，所以，所以，所以．所以线段的长的取值范围为．故答案为：．例14．在中，内角所对的边分别为，且(1)求；(2)设为边的中点，，求线段长度的最大值.【答案】(1)(2).【详解】（1）由，得(*).因为，所以，由正弦定理，得，代入（*）得，.由正弦定理，得，由余弦定理的推论，得.（2）由余弦定理，得，即，所以，当且仅当时等号成立，故得.又，两边平方可得，，所以，即线段长度的最大值为.变式7-1．已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且.(1)求;(2)若，为的中点，求中线的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，，根据正弦定理可得，即，所以，则，整理得，即，又，所以，即.（2）因为为的中点，所以，两边平方得，在中，由余弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，因为为锐角三角形，所以且，解得，所以，所以，所以，所以中线的取值范围是.变式7-2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角的大小；(2)若点是边中点，且，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1），即，由正弦定理，得，即，所以，因为，所以.（2）因为，即，所以，由，所以，所以，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以.即面积的最大值为.变式7-3．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(1)求角的大小；(2)若为BC中点，，求的面积的最大值【答案】(1)(2)【详解】（1）及，，所以.由余弦定理得：.

.（2）AD为中线，，，两边平方，有，（当且仅当时取等号），.所以：.热点八角平分线问题例15．在中，已知，是上的点，平分，，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】如下图所示：因为平分，由角平分线的性质可知点到边、的距离相等，因为，设，则，由可得，可得，在中，由余弦定理可得，故，由正弦定理可得，所以，，易知为锐角，则，所以，.故选：A.例16．的内角的对边分列为，已知.(1)证明：；(2)若点是边上一点，平分，，且的面积是面积的2倍，求.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，在中，有，所以，即，所以，即，因为，，所以，或（舍去），所以.（2）平分，的面积是面积的2倍，，即，设AB边上的高为h，又，即，，，，.以下有不同解法.解法一：，，即，.解法二：在中由余弦定理得，，即①由.则，又，，即②.由①②联立得，.解法三：在中由正弦定理得，又，，，，又A为中较小的角，，，则，.变式8-1．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，BC＝3，点D是BC上的点，AD平分∠BAC.若AD＝2，则△ABC的面积为.【答案】/【详解】在△ABC中，设、、的对边分别为，在△ABC中，由余弦定理可得：，

①因为，所以，

②②平方得：，

③联立①③可得：，所以.故答案为：变式8-2．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(1)求角C;(2)若，，CD平分交AB于点D，求CD的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，由余弦定理，又，所以；（2）在中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），又，，所以，解得.变式8-3．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，为边上一点．(1)若为的中点，且，求；(2)若平分，且的面积为，求的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，，，因为为的中点，所以，两边平方得，则，解得，由余弦定理，所以.（2）因为平分，所以，又，即所以，解得，.若是的角平分线，则有：①等面积法；②1．（2022·23高一下·广西南宁·期末）已知，，，AD平分交BC于点D，则．【答案】【详解】因为中，，，所以，整理得，解得,（舍负）．AD平分，则，由，得，即，整理得，所以．故答案为：．2．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得，所以，即，则由正弦定理得，因为，所以，所以，即，又，所以，因为，所以由余弦定理得，即.由题可得，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，则，所以边上的中线长度的最小值为.故选：C.3．（2024·25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】B【详解】因为，由正弦定理，得．因为，所以，所以，所以.因为，所以，则．由余弦定理，得，当且仅当时，等号成立，所以，即的最小值为.故选：B.4．（2024·25高三上·江苏淮安·阶段练习）在中，．则的最大值是．【答案】1【详解】，即，又，故，，因为，所以，故当，即时，取得最大值，最大值为1.故答案为：1三、多选题5．（2024·新疆·模拟预测）在中，角的对边分别为，是的平分线，是边的中线，．(1)求；(2)求的长．【答案】(1)(2),【详解】（1）由余弦定理可得，进而可得，解得或（舍去），（2）由余弦定理可得，由于由题意知，设，则，则，如图所示，由可得，所以,解得，由是边上的中线，得.所以，中线长.6．（2024·25高三上·山东聊城·阶段练习）记的内角，，所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若是的中线，且，的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，∴，∴，∵，∴.即，∵，∴.∴，即.（2）∵由题意得，∴.∵是的中线，∴，∴，∴，，由余弦定理得，∴.∴的周长为.7．（2024·25高三下·河北沧州·阶段练习）记的内角的