8．5 空间直线、平面的平行 （15大题型）（原卷版）

8．5空间直线、平面的平行【题型归纳目录】题型一：基本事实4的应用题型二：等角定理的应用题型三：直线与平面平行的判断定理的理解题型四：直线与平面平行的判定题型五：补全直线与平面平行的条件题型六：直线与平面平行的性质题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系题型八：由线面平行的性质求长度问题题型九：平面与平面平行的判定定理的理解题型十：平面与平面平行的判定题型十一：补全平面与平面平行的条件题型十二：平面与平面平行的性质题型十三：由面面平行证线面平行题型十四：空间平行的转化题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用【思维导图】【知识点梳理】知识点一、平行线的传递性基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c．知识点二、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识点三、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行．图形语言：符号语言：、，．知识点诠释：（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：①直线a在平面外，即；②直线b在平面内，即；③直线a，b平行，即a∥b．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．知识点四、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．图形语言：符号语言：若、，，且、，则．知识点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行．知识点五、判定平面与平面平行的常用方法1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．知识点六、直线和平面平行的性质文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行．符号语言：若，，，则．图形语言：知识点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．知识点七、平面和平面平行的性质文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言：若，，，则．图形语言：知识点诠释：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．知识点八、空间平行关系的注意事项直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示．【典型例题】题型一：基本事实4的应用【例1】（2025·高二·云南大理·期末）如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．【方法技巧与总结】（证明两直线平行的常用方法）（1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边；（2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；（3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．【变式1-1】（2025·高一·全国·随堂练习）如图，把一张矩形的纸对折两次，然后打开，试说明：为什么这些折痕是互相平行的？

【变式1-2】（2025·高一·全国·随堂练习）如图，在长方体中，底面是边长为a的正方形，高为，点M，N分别是和的中点．

(1)判断四边形的形状；(2)求四边形的面积．【变式1-3】（2025·高一·全国·课时练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．题型二：等角定理的应用【例2】（2025·高一·全国·课后作业）若，，且，则等于（

）A． B． C．或 D．不能确定【方法技巧与总结】（应用等角定理的注意事项）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补．【变式2-1】（2025·高一·全国·课后作业）给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式2-2】（2025·高一·全国·课后作业）已知，，，则（

）A． B．或C． D．或【变式2-3】（2025·高一·全国·课后作业）若,,且,则A．130° B．50° C．130°或50° D．不能确定题型三：直线与平面平行的判断定理的理解【例3】（2025·高一·江苏南通·阶段练习）在空间四边形中，分别为边上的点，且，又分别为的中点，则（）A．平面，且四边形是矩形B．平面，且四边形是梯形C．平面，且四边形是菱形D．平面，且四边形是平行四边形【方法技巧与总结】（判定定理理解的注意事项）（1）明确判定定理的关键条件．（2）充分考虑各种可能的情况．（3）特殊的情况注意举反例来说明．【变式3-1】（2025·高一·全国·课前预习）下列说法正确的是（

）A．若直线平行于平面内的无数条直线，则B．若直线在平面外，则C．若直线与直线不相交，直线，则D．若直线，，那么直线平行于平面内的无数条直线【变式3-2】（2025·高一·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（

）A． B．C． D．【变式3-3】（2025·高一·福建龙岩·期中）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则题型四：直线与平面平行的判定【例4】（2025·高一·全国·单元测试）在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面．【方法技巧与总结】：（判定定理应用的注意事项）（1）欲证线面平行可转化为线线平行解决．（2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形．【变式4-1】（2025·高二·安徽淮南·期中）如图，长方体中，，点P为的中点.(1)求证:直线平面;(2)求异面直线、所成角的大小.【变式4-2】（2025·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），，分别是，的中点.证明：平面.【变式4-3】（2025·高一·贵州·期中）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点．(1)求证：平面．(2)求三棱锥的体积．题型五：补全直线与平面平行的条件【例5】（2025·高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；

【方法技巧与总结】：（判断或证明线面平行的常用方法）（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．【变式5-1】（2025·高三·全国·专题练习）如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明．【变式5-2】（2025·高一·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由.【变式5-3】（2025·高一·全国·专题练习）如图，正四棱锥的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且．在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由.题型六：直线与平面平行的性质【例6】（2025·高一·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．

(1)求证：平面；(2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项）（1）欲证线线平行可转化为线面平行解决，常与判定定理结合使用．（2）性质定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常利用中位线性质．【变式6-1】（2025·高一·全国·课堂例题）如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：

(1)与是否平行？说明理由；(2)与平面是否平行？试证明你的结论．【变式6-2】（2025·高一·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点.(1)证明：平面.(2)若平面平面，证明：.【变式6-3】（2025·高一·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，

(1)若为侧棱的中点．求证：平面；(2)若过的平面与交于点，求证：；题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系【例7】（2025·高一·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上.(1)求证：平面；(2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值.【变式7-1】（2025·高一·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.

【变式7-2】（2025·高一·全国·课前预习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由．【变式7-3】（2025·高一·吉林长春·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥(1)求直线与所成的角的大小；(2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．题型八：由线面平行的性质求长度问题【例8】（2025·高三·全国·专题练习）如图所示，在四面体中，分别是四面体的棱上的点，且、在同一个平面上，已知四边形平行于四面体的一组对棱和，若，求四边形的周长．【变式8-1】（2025·高一·全国·课后作业）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.

【变式8-2】（2025·高二·全国·课后作业）如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长．【变式8-3】（2025·高二·湖南·阶段练习）图1：平行四边形中，，现将沿折起，得到三棱锥（如图2），且，点M为侧棱的中点.（1）求证：（2）N为的角平分线上一点，若平面，求线段的长.题型九：平面与平面平行的判定定理的理解【例9】（2025·高一·全国·课后作业）已知，是两条直线，，是两个平面，有以下三个命题：①，相交且都在平面，外，，，，，则；②若，，则；③若，，，则．其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式9-1】（2025·高一·全国·课后作业）如图，在下列四个正方体中，，，，，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与，，三点所在平面平行的是（

）A． B．C． D．【变式9-2】（2025·高二·安徽·学业考试）下列关于平面平行的命题，正确的是（

）A．若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C．若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行D．若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行【变式9-3】（2025·高一·四川泸州·期末）平面与平面平行的充分条件可以是（

）A．内有无穷多条直线都与平行B．直线，且C．直线，直线，且D．内的任何一条直线都与平行题型十：平面与平面平行的判定【例10】（2025·高一·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面．【变式10-1】（2025·高一·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点.(1)求证：平面；(2)若为的中点，求证：平面平面.【变式10-2】（2025·高一·新疆省直辖县级单位·阶段练习）正方体如图所示(1)求证:平面.(2)平面平面.【变式10-3】（2025·高一·全国·课后作业）如图，在多面体中，底面是平行四边形，点和点分别是和的中点．证明：平面∥平面．

题型十一：补全平面与平面平行的条件【例11】（2025·高一·全国·课前预习）如图，在正方体中，为的中点．能否同时过，B两点作平面，使平面平面？证明你的结论．

【变式11-1】（2025·高一·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．【变式11-2】（2025·高一·辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．

(1)求证：平面PAB；(2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．【变式11-3】（2025·高一·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）；(1)求证：平面．(2)在上确定一点，使平面平面，并证明.题型十二：平面与平面平行的性质【例12】（2025·高一·全国·课后作业）如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形．【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项）面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行．证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面．【变式12-1】（2025·高一·山西太原·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.

(1)证明：；(2)证明：∥平面；(3)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【变式12-2】（2025·高三·河北·专题练习）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：(1)正四棱锥的表面积；(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．【变式12-3】（2025·高一·广东佛山·阶段练习）如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，．(1)证明：平面平面．(2)若G是棱的中点，证明：．题型十三：由面面平行证线面平行【例13】（2025·高一·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，，，，点E在PD上，且，平面平面．(1)证明：；(2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论．【变式13-1】（2025·高一·全国·课堂例题）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：

(1)平面；(2)平面．【变式13-2】（2025·高三·全国·专题练习）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.证明：平面.

【变式13-3】（2025·高三·全国·专题练习）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.求证：平面；题型十四：空间平行的转化【例14】（2025·上海嘉定·三模）在长方体中，，，E、F、G分别为AB、BC、的中点.

(1)求三棱锥的体积；(2)点P在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值.【变式14-1】（2025·高一·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；【变式14-2】（2025·高一·全国·假期作业）在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.【变式14-3】（2025·高一·安徽·阶段练习）如图，在正方体中，M为棱的中点．（1）试作出平面与平面的交线l，并说明理由；（2）用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，，求的值．题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用【例15】（2025·高一·福建宁德·阶段练习）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：(1)设平面平面，求证：∥；(2)求三棱锥的表面积.【方法技巧与总结】（空间平行关系的注意事项）直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示．【变式15-1】（2025·高一·福建龙岩·期中）如图1，在平面四边形中，，，.是线段上靠近端的三等分点，是线段的中点，.将沿折成四棱锥，连接，，，如图2.(1)在图2中，证明：平面.(2)在图1中，求的值.【变式15-2】（2025·高一·广东广州·期中）一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心.(1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由；(2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比；(3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由.【变式15-3】（2025·高一·安徽芜湖·期中）如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．

(1)求证：平面平面；(2)若平面，求线段的最小值．

【强化训练】1．（2025·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（

）

A． B． C． D．2．（2025·高一·山东临沂·期末）图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（

）A． B． C． D．3．（2025·高一·浙江杭州·期末）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，若到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为（

）A． B． C． D．4．（2025·高一·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（

）A． B． C．或 D．或5．（2025·高一·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2025·高一·江苏常州·期末）已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，下列推理正确的是（

）A．B．且C．D．7．（2025·高一·安徽六安·期末）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：①与是异面直线；②相交于一点；③；④平面.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2025·高一·江苏南京·期末）已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．，，，，则 D．，，，则9．（多选题）（2025·高二·云南昆明·期末）如图