7.3复数的三角形式 原卷版

7.3复数的三角形式【考点梳理】考点一：复数的三角表示 考点二：复数的辐角考点三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义 考点四：复数三角表示综合问题【知识梳理】知识点一、复数的三角形式的概念1.复数的辐角(1)定义：以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角。(2)辐角主值[0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的辐角主值，记作argz，即0≤argz<2。非零复数与它的模和辐角主值一一对应。(3)常用的有关辐角主值的结论当aR+时arga=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。3.复数的三角形式复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中，，。r(cosθ+isinθ)叫作复数z的三角形式，而a+bi叫作复数z的代数形式。知识点二、复数的三角形式的乘除法1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式(cosθ2+isin。则。这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n个复数相乘：=。因此，如果就有[。这就是说，复数的次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。复数的除法设则z₁除以z₂的商：)]。这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。【题型归纳】题型一：复数的三角表示1．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（

）A．； B．；C．； D．.2．（2024高一下·全国·专题）复数的三角形式是（

）A． B．C． D．3．（2023高一下·上海·专题）的三角形式是（

）A． B．C． D．题型二：复数的辐角4．（23-24高一下·福建泉州·阶段）复数的辐角主值为（

）A． B． C． D．5．（22-23高一·全国）的辐角主值为（

）．A． B． C． D．6．（21-22高一·全国）设，则复数的辐角主值为（

）A． B． C． D．题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义7．（22-23高一·全国）计算的值是（

）A． B．C． D．8．（24-25高一下·全国）计算：(1)；(2)．9．（24-25高一下·全国）计算：(1)；(2)．题型四：复数三角表示综合问题10．（2024高一下·上海）已知，且，若．(1)求复数的三角形式，并且复数的辐角主值；(2)求．11．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根；(1)求证：；(2)设，求；(3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合.12．（23-24高一下·重庆）任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.(1)试将写成三角形式；(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；(3)计算：的值.【高分达标】一、单选题13．（24-25高一下·全国）复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（

）A．3 B．12 C． D．14．（23-24高二下·江苏南京·期中）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把与复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（

）A． B． C． D．15．（2024高一下·全国）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（

）A． B．C． D．16．（2024高一下·全国·专题练习）（

）A． B．C． D．17．（2024高一下·全国·专题练习）复数的辐角的主值为（

）A． B． C． D．18．（2024高一下·全国·专题练习）复数化为代数形式为（

）A．i B．C． D．19．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限20．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．0二、多选题21．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是（

）A．＋i B．＋iC．＋i D．＋i22．（2024高一下·全国·专题练习）下列命题中正确的是（

）A．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是B．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是C．复数，的辐角的主值分别是，，则的辐角的主值是D．复数，的辐角的主值分别是，，且，则的辐角的主值是23．（2024高一下·全国·专题练习）设，，，则（

）A． B．C． D．24．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（

）A．复数的辐角的主值为B．复数的辐角的主值为C．复数的代数形式为D．复数的三角形式为25．（23-24高三下·贵州）已知复数，满足，，且，则（

）A． B．C．若，则 D．26．（2023高三·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（

）A． B．C． D．三、填空题27．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算：．28．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则.29．（23-24高一下·江苏淮安·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题，；关于x的方程，的解为．30．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（n为正整数）有个不同的复数根．（1）设，则；（2）满足方程的复数的值所组成的集合为．四、解答题31．（24-25高一下·全国）计算：(1)；(2)．32．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.(1)设复数，求；(2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.33．（23-24高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：(1)设，，求证：是实数；(2)已知，，，求的值；(3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值．34．（23-24高