1.4 圆锥的体积（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（北师大版）

1.4圆锥的体积第一部分第一部分知识清单圆锥体积=×底面积×高圆锥体积:V=Sh圆锥体积:V=πr2h圆锥体积:V=π(

)2h第二部分第二部分典型例题例1：用一个高27厘米的圆锥体容器装满水，将这个容器里的水倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是（

）。A．10厘米 B．9厘米 C．13厘米答案：B分析：根据题意，把圆锥体容器里的水倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的体积不变；根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是是圆柱高的3倍；据此解答。详解：27÷3＝9（厘米）圆柱形容器中水的高度是9厘米。故答案为：B例2：一个圆柱与圆锥底面半径的比是2∶3，高的比是3∶2，则圆柱和圆锥的体积比是（

）。A．1∶1 B．1∶2 C．3∶1 D．2∶1答案：D分析：根据比，可以假设圆柱的底面半径是2，圆锥的底面半径是3；假设圆柱的高为3，圆锥的高为2。圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高，据此列式表示出圆柱和圆锥的体积，再作比化简出体积比即可。详解：令圆柱的底面半径是2，高是3；圆锥的底面半径是3，高是2；（3.14×22×3）∶（×3.14×32×2）＝（3.14×22×3÷3.14÷3÷2）∶（×3.14×32×2÷3.14÷3÷2）＝2∶1所以，圆柱和圆锥的体积比是2∶1。故答案为：D例3：一个圆锥的体积是，底面积是，这个圆锥的高是()cm。答案：6分析：根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷底面积÷，代入数据，即可解答。详解：54÷27÷＝2×3＝6（cm）一个圆锥的体积是54cm3，底面积是27cm2，这个圆锥的高是6cm。例4：等底等高的圆柱和圆锥的体积差是40cm3，圆柱的体积是()cm3，圆锥的体积是()cm3。答案：6020分析：根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积等于圆锥体积的3倍；把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，相差（3－1）份；已知等底等高的圆柱和圆锥的体积差是40cm3，用体积差除以份数差，即可求出一份数，也就是圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积。详解：圆锥的体积：40÷（3－1）＝40÷2＝20（cm3）圆柱的体积：20×3＝60（cm3）圆柱的体积是60cm3，圆锥的体积是20cm3。：基础过关练一、选择题1．底面积相等的圆柱和圆锥，它们的体积比是2∶1，圆锥的高是9厘米，圆柱的高是（

）厘米。A．3 B．6 C．8 D．22．把一个圆柱体削去18立方厘米，得到一个最大的圆锥体，圆锥体的体积是（

）立方厘米。A．9 B．18 C．27 D．363．一个圆锥和一个圆锥的底面积和体积都分别相等，圆柱的高是3分米，圆锥的高是（

）。A．1分米 B．分米 C．3分米 D．9分米4．一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，圆锥的高是圆柱的3倍，圆锥的体积是，圆柱的体积是（

）。A．12 B．36 C．4 D．85．一个圆锥形石堆，底面周长是25.12米，高为1.5米，如果一辆汽车每次运6立方米，（

）次能运完。A．8 B．6 C．4 D．5二、填空题6．一个圆柱的侧面展开图是一个长方形，已知圆柱的高是20厘米，底面周长是62.8厘米，那么长方形的长是()厘米，圆柱的底面直径是()厘米。这个圆柱的侧面积是()平方厘米，表面积是()平方厘米，体积是()立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是()。（得数保留一位小数）7．若把一个圆柱体铁块熔铸成一个等体积的圆锥形铁块，它们底面半径的比是3∶2，圆柱的高是圆锥的()。8．把一个长是6厘米，宽和高是4厘米的长方体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是()立方厘米。9．一个近似圆锥形的帐篷，底面半径和高都是2米，占地面积是()平方米，帐篷内的空间约是()立方米（保留整数）。10．一个直角三角形，三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm，这个三角形斜边的高是()cm；以3cm的边为轴旋转一周，形成一个立体图形，这个立体图形的体积是()cm3。三、判断题11．将一个实心圆柱锻造成一个底面积与它相等的实心圆锥，这个实心圆锥的高是这个圆柱的3倍。()12．一个圆柱与一个圆锥等底等高，则这个圆柱的体积是这个圆锥体积的3倍。()13．圆柱的体积一定是圆锥体积的3倍。()14．如果一个圆柱与一个圆锥等底等体积，那么圆柱与圆锥高的比是1∶3。()15．把一个底面积是9.42平方厘米的圆柱形实心铁块，锻造成一个与它高相等的实心圆锥，圆锥的底面积是3.14平方厘米。()：基础过关练四、计算题16．计算下面图形（1）的体积与图形（2）的表面积。（1）

（2）

五、解答题17．笑笑的外公家今年收获的小麦堆放在一起，形状近似一个圆锥形，高是3米，底面半径是2米，如果每立方米麦子重500千克，那么这堆麦子重多少千克？18．张叔叔家有一堆小麦，堆成了圆锥形，量得它的底面周长是18.84米，高是2米。如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦的质量是多少千克？19．一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5高。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？20．一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是4米，每立方米沙子约重1.8吨，这堆沙子重多少吨？21．某野营部队训练时，搭建了一个近似圆锥形的帐篷，它的底面半径是3米，高是4米，帐篷里面的空间有多大？（帐篷的厚度忽略不计）22．一圆锥形小麦堆的的底面周长为15.7米，高1.5米。如果每立方小麦的质量为700千克，这堆小麦的质量约为多少千克？合几吨？

1．B分析：假设底面积都是S，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，表示出圆锥体积，体积比是2∶1，说明圆柱体积是圆锥的2倍，表示出圆柱体积，圆柱体积÷底面积＝高，据此分析。详解：假设底面积都是S。9S÷3×2＝3S×2＝6S（立方厘米）6S÷S＝6（厘米）则圆柱的高是6厘米。故答案为：B点睛：关键是理解比的意义，掌握圆柱和圆锥的体积公式。2．A分析：以圆柱的底为底，圆柱的高为高的圆锥是圆柱里面最大的圆锥，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的，削去部分体积占圆柱体积的1－＝，则削去部分体积是圆锥体积的2倍，圆锥的体积＝削去部分的体积÷2，据此解答。详解：（1－）÷＝÷＝×3＝218÷2＝9（立方厘米）所以，圆锥体的体积是9立方厘米。故答案为：A点睛：掌握等底等高的圆柱与圆锥之间的体积关系是解答本题的关键。3．D分析：圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高×，所以如果一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积都相等，那么圆锥的高是这个圆柱高的3倍。据此解题。详解：3×3＝9（分米）一个圆锥和一个圆锥的底面积和体积都分别相等，圆柱的高是3分米，圆锥的高是9分米。故答案为：D点睛：本题考查了圆柱和圆锥的体积，掌握圆柱和圆锥的体积关系是解题的关键。4．A分析：根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高作答。详解：令圆柱与圆锥的半径为r，圆柱的高为h，那么圆锥的高为3h，则圆柱的体积为：πr2h圆锥的体积为：πr2（3h）＝πr2h即一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，圆锥的高是圆柱的3倍，则圆柱的体积等于圆锥的体积。圆锥的体积是12cm3，则圆柱的体积也是12cm3。故答案为：A点睛：当底面积相等，圆锥的高是圆柱的3倍时，圆柱的体积与圆锥的体积相等。5．D分析：根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥形石堆的底面半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，求出圆锥形石堆的体积，再除以6，即可解答。详解：25.12÷3.14÷2＝8÷2＝4（米）3.14×42×1.5×÷6＝3.14×16×1.5×÷6＝50.24×1.5×÷6＝75.36×÷6＝25.12÷6≈5（次）一个圆锥形石堆，底面周长是25.12米，高为1.5米，如果一辆汽车每次运6立方米，5次能运完。故答案为：D点睛：熟练掌握和灵活运用圆的周长公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键，注意本题结果要用进一法进行解答。6．62.8201256188462802093.3分析：将一个圆柱的侧面展开，得到一个长方形，长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；圆柱的底面直径＝周长÷π；圆柱的侧面积＝底面周长×高；圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2；圆柱的体积＝底面积×高；与它等底等高的圆锥的体积＝圆柱的体积×，得数保留一位小数看小数点后面第二位，然后运用“四舍五入”法即可解答。详解：由分析可知，长方形的长是62.8厘米，62.8÷3.14＝20（厘米）即圆柱的底面直径是20厘米；62.8×20＝1256（平方厘米）即这个圆柱的侧面积是1256cm2；1256＋3.14×（20÷2）2×2＝1256＋3.14×100×2＝1256＋314×2＝1256＋628＝1884（平方厘米）即圆柱的表面积是1884cm2；3.14×（20÷2）2×20＝3.14×100×20＝314×20＝6280（立方厘米）即圆柱的体积是6280cm3；6280×≈2093.3（立方厘米）即与它等底等高的圆锥的体积是2093.3立方厘米。7．分析：已知圆柱和圆锥的体积相等，圆柱和圆锥的半径之比是3∶2，则假设圆柱的底面半径为3，圆锥的底面半径为2，它们的体积都是36π，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h代入数据解答出圆柱的高和圆锥的高，进而根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用圆柱的高除以圆锥的高，即可求出圆柱的高是圆锥的几分之几。详解：假设圆柱的底面半径为3，圆锥的底面半径为2，它们的体积都是36π，圆柱的高：36π÷π÷32＝36π÷π÷9＝36÷9＝4圆锥的高：36π×3÷π÷22＝36π×3÷π÷4＝108π÷π÷4＝108÷4＝274÷27＝圆柱的高是圆锥的。点睛：本题主要考查了比的意义和圆柱、圆锥的体积公式的应用以及求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算，可用假设法解决问题。8．25.12分析：把一个长是6厘米，宽和高是4厘米的长方体削成一个最大的圆锥，则圆锥的底面直径为4厘米，高为6厘米；将数据代入圆锥的体积公式：V＝πr2h计算即可。详解：3.14×（4÷2）2×6×＝3.14×4×6×＝3.14×4×2＝3.14×8＝25.12（立方厘米）圆锥的体积是25.12立方厘米。点睛：本题主要考查圆锥的体积公式，明确圆锥的底面直径和高是解题的关键。9．12.568分析：求占地面积就是求圆锥的底面面积；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答；求帐篷内的空间，就是求这个帐篷的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。详解：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方米）12.56×2×＝25.12×≈8（立方米）一个近似圆锥形的帐篷，底面半径和高都是2米，占地面积是12.56平方米，帐篷内的空间约是8立方米。点睛：熟练掌握圆的面积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。10．2.450.24分析：直角三角形斜边大于两条直角边，所以这个直角三角形的两条直角边为3cm、4cm；根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，代入直角边数据求出三角形面积，再用面积×2÷斜边长度即可求出这个三角形斜边的高；以3cm的边为轴旋转一周，形成一个高是3cm，底面半径是4cm的圆锥体，将数据代入圆锥的体积公式：V＝πr2h求出体积。详解：3×4÷2×2÷5＝12÷2×2÷5＝12÷5＝2.4（cm）3.14×42×3×＝3.14×16＝50.24（cm3）即一个直角三角形，三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm，这个三角形斜边的高是2.4cm；以3cm的边为轴旋转一周，形成一个立体图形，这个立体图形的体积是50.24cm3。点睛：本题考查直角三角形的认识、三角形面积公式和圆锥的认识、圆锥的体积公式。11．√分析：锻造前后体积不变，圆柱的体积公式为：V＝Sh，圆锥的体积公式为V＝Sh，设圆柱的体积为V，底面积为S，则圆锥的体积为V，底面积是S，由此分别表示出圆柱、圆锥的高，进而得出圆锥高是圆柱高的几倍；据此解答。详解：假设圆柱的体积为V，底面积为S，则圆锥的体积为V，底面积是S；圆柱的高为：h圆柱＝圆锥的高为：h圆锥＝圆锥的高是圆柱高的÷＝×＝3倍，原说法正确。故答案为：√点睛：等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，等积等底的圆锥的高是圆柱高的3倍。12．√分析：设圆柱、圆锥的底均为r，高均为h，代入圆柱的体积公式V＝πr2h及圆锥的体积公式V＝πr2h，表示出各自的体积，进而得出它们的体积关系；据此解答。详解：设圆柱、圆锥的底均为r，高均为h圆柱的体积为：V＝πr2h圆锥的体积为：V＝πr2h（πr2h）÷（πr2h）＝（πr2h）÷÷（πr2h）＝（πr2h）×3÷（πr2h）＝3圆柱的体积是圆锥体积的3倍，原说法正确。故答案为：√点睛：通过解答本题，进一步理解等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。13．×分析：根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以在没有确定圆柱与圆锥是否等底等高的前提条件下，无法确定圆柱与圆锥体积的大小，据此判断。详解：在没有确定圆柱与圆锥是否等底等高的前提条件下，无法确定圆柱与圆锥体积的关系。因此原题说法错误。故答案为：×点睛：此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。14．√分析：根据圆柱的体积公式，V＝Sh，与圆锥的体积公式，V＝Sh，知道在底面积和体积分别相等时，圆柱的高是圆锥的高的，由此做出判断。详解：圆柱的体积是：V＝Sh1圆锥的体积是：V＝Sh2体积相等则Sh1＝Sh2h1＝h2即h1∶h2＝1∶3所以圆柱与圆锥高的比是1∶3，题干说法正确。故答案为：√点睛：此题主要是利用圆柱与圆锥的体积公式，推导出在底面积和体积分别相等时，圆柱的高与圆锥的高的关系。15．×分析：根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；圆柱的体积＝圆锥的体积，即圆柱底面积×圆柱的高＝圆锥的底面积×圆锥的高×；圆柱的高＝圆锥的高，由此可知，圆柱的底面积×3＝圆锥的底面积，据此求出圆锥的底面积，再进行比较，即可解答。详解：9.42×3＝28.26（平方厘米）把一个底面积是9.42平方厘米的圆柱形实心铁块，锻造成一个与它高相等的实心圆锥，圆锥的底面积是28.26平方厘米。原题干说法错误。故答案为：×点睛：熟练掌握圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。16．（1）；（2）分析：（1）根据图示，图形（1）的体积等于圆柱体积加圆锥的体积，据此解答即可；（2）图形（2）表面积等于正方体的表面积加圆柱的侧面积，据此解答即可。详解：（1）＝3.14×108＋×3.14×36图形（1）的体积是376.8，（2）图形（2）的表面积是5770。点睛：本题考查了组合图形体积及表面积计算知识，结合题意分析解答即可。17．6280千克分析：要求这堆麦子的重量，先求麦子的体积，麦堆是圆锥形，利用“圆锥的体积计算公式V＝Sh”求得体积，然后用小麦的体积乘每立方米小麦的质量即可。详解：＝12.56×3×＝37.68×＝12.56（立方米）12.56×500＝6280（千克）答：这堆麦子重6280千克。18．13188千克分析：根据圆的周长公式：C＝2r，可得r＝C÷2÷，代入数值可以求出该圆锥底面半径，再根据圆锥的体积公式：V＝r2h，把数据代入公式求出这个圆锥的体积，用求出的体积乘700，即可得小麦的总质量。详解：由分析可得：18.84÷2÷3.14＝9.42÷3.14＝3（米）×3.14×32×2×700＝×3.14×9×2×700＝（×9）×3.14×2×700＝3×3.14×2×700＝9.42×2×700＝18.84×700＝13188（千克）答：这堆小麦的质量是13188千克。点睛：本题主要考查圆锥体积公式的掌握和灵活运用，解题的关键是先求出该圆锥底面积的半径。19．117.75米分析：根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积，把铺公路看作一个长方体，长方体的体