2024-2025学年九年级数学上册专题213 二次根式的加减【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）

专题21.3二次根式的加减【十大题型】

【华东师大版】

＞题型梳理

【题型1同类二次根式】........................................................................1

【题型2分母有理化】..........................................................................3

【胭型3二次根式的加减】......................................................................5

【题型4比较二次根式的大小】.................................................................7

【题型5二次根式的混合运算】.................................................................10

【题型6己知字母的取值对二次根式进行化简求值】..............................................13

【题型7已知条件式对二次根式进行化简求值】..................................................15

【题型8二次根式混合运算的实际应用】.........................................................18

【题型9二次根式中的新定义类问题】..........................................................22

【题型10二次根式中的阅读理角彳类问题】........................................................25

院举一反三

知识点1:同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如

G与我，由于我=2五，④与&显然是同类二次根式.

【题型1同类二次根式】

【例1】（23-24九年级•上海浦东新•阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（）

A.:乃和3aB.6和加

C.g和RD.国和四

【答案】C

【分析】本题主要考直了同类二次根式.将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式

叫做同类二次根式.根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答.

【详解】解：A、1述与3企的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；

B、声与低的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误;

C、姨=2b与]=与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确：

D、次与眄=3的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；

故选：C.

【变式1-1】（23-24九年级•江苏无锡・期末）若最简二次根式衍写与g是同类二次根式，则。=—.

【答案】3

【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式.先求出g=26，再根据同类二次根式的定义得出2a-

3=3,再求出答案即可.

【详解】解:/12=2V3,

•.•最简二次根式传』与41是同类二次根式，

A2a-3=3,

.*.G=3.

故答案为：3.

【变式1-2]（23-24九年级•安徽滁州•期末）下列各式中，不能与合并的是（）

A.V2B.V8C•册D.V02

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及同类二次根式才可以合

并.

将各选项化为最简二次根式即可解答.

【详解】解：J1吟

A、我与出是同类二次根式，可以合并，不符合题意；

B、我=2e与电是同类二次根式，可以合并，不符合题意；

C、华与电是同类二次根式，可以合并’不符合题意；

D.V02=R=g与，不是同类二次根式，不可以合并，符合题意；

故选:D.

【变式1-3]（23-24九年级•北京海淀•期末）已知最简二次根式--冷2%+y-5和-3y+11是同类二次

根式，求/+y2的平方根.

【答案】±5

【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出关于x、y的方程组，解方程组得出入、）的值，再求

出/+y2的值，最后求出平方根即可.

【详解】解：•・•最简二次根式“-芍2工+y-5和Jr-3y+11是同类二次根式,

.（3x-10=2

,,（2x+y-5=x-3y+11*

解得:［；：3>

*.x2+y2=424-32=25»

・•・/+好的平方根是±5.

【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟练学

握同类二次根式的定义，准确进行计算.

知识点2：分母有理化

①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母

组戊平方差公式；

②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式.一个

二次根式的有理化因式不止一个.

【题型2分母有理化】

【例2】（23-24九年级•河北衡水•期末）已知Q=高，b=V5+3,则a与b的关系是（）

A.互为相反数B.相等C.互为倒数D.互为负倒数

【答案】A

【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得a的值，即可求解，熟练掌握相反数

的定义和分母有理化的方法，进而求得a的值是解题的关犍.

【详解】解：a=-^―=（=-V5-3,

V5-3（v5-3）（x^5+3）

/.G4-b=0,

・・・a与b互为相反数，

故选：A.

【变式2-1］（23-24九年级.上海•期末）计算：一）+磊=_____.

172V2

【答案】-1

【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关健;

（1）根据题中给的例子即可得出答案；

（2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案；

（3）根据（2）中规律计算化简即可;

【详解】⑴6=露普=〃_次=23

V3+V4（V3+V4J（V4-,3）4-3

7^=（6+伺（"-伺=-7^6"=VV。'

故答案为：2—V5>>/7—V6：

⑵而后=而不

y/n+1-y/n_yfn+1-vn

验证:=Vn+1—y/n,

Vn+Vn+l(、n+l+、句(、n+l-布)n+1-n

故答案为：Vn4-1—>/n；

⑶岛+短+康+…+两:两+两:两）（1+^^）

=(企-1+百一或+"-百+…+V2023-V2022+V2024-^2023)(1+V2024)

=(V2024-1)(14-V2024)

=2023.

知识点3：二次根式的加减

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二

次根式.

特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并

同类二次根式,如虎+3夜-5夜=（1+3-5）虚=-夜

【题型3二次根式的加减】

【例3】（23-24九年级•山西吕梁•期末）计算

(1)VZ27-V8T+(-2)2

(2)照+V6-(2V6+1)

【答案】（1）一8

(2)1-V6

【分析】本题主要考查了乘方和开方，二次根式的加减，对于（1；,根据/节=-3,倔［=9,（-2）2=4,

再计算有理数的加减法即可；

对于（2）,先开方，再去括号，然后根据二次根式的加减法法则计算.

【详解】（1）原式=-3-9+4

=-8；

（2）原式=g+C—2C—g

=1—V6.

【变式3-1］（23-24九年级.山东聊城.期末）计算32闻+同结果为

【答案】-4V3

【分析】本题考查了二次根式的加减法运算，正确的计算是解决本题的关键.

先将二次根式化简，然后计算加减法即可.

【详解】解：3/1-2V48+V27

V3厂厂

=3x--2X4V3+3V3

=仃-8百+3百

=-4V3,

故答案为：-4百.

【变式3-2］（23-24九年级•吉林长春•开学考试）2V12-64+3748=—.

【答案】14V3

【分析】先根据性质化简二次根式，再合并同类二次根式即可.

【详解】原式=4百一2旧+126，

=1475,

故答案为：14Ag.

【点睛】此题考查了二次根式的性质和加减运算，解题的关键是热练掌握利用二次根式性质的化简及其应用.

【变式3-3】（23-24九年级•全国・单元测试）计算：舄-嗤警

【答案】2Vb

【分析】分母不变，分子作减法后，根据b=,将分子分解为2述（6-C）,通过约分即可得.

【详解】原式="僚符=*=嗯等=2逐

【点睛】本题考查分式的化简，利用力=乃•伤使此题化简更为简便.

【题型4比较二次根式的大小】

【例4】(23-24九年级•河南省直辖县级单位•期末)在二次根式i勺比较大小中，有时候用"平方法''会取得很

好的效果，例如，比较Q=26和6=3口的大小，我们可以把a和b分别平方，a?=12,d2=18,则Q2<庐,

•••a<b

请利用''平方法''解决下面问题：

(1)比较c=3遍，d=4\/5大小，cd(填写>,v或者=)

(2)猜想771=2后+VT5,71=2近+后之间的大小关系，并证明.

【答案】⑴V

(2)771>n,证明见解析

【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解

题的关键：

(1)利用平方法比较大小即可；

(2)利用平方法进行比较即可.

【详解】(1)解：・・・c=3痣，d=4V5,

Ac2=54,d2=80,

Vc2<d2,

,cVd：

故答案为：V;

(2)解：猜想理由如下：

Vm=2V5+V13,n=2V7+V5,

Am2=(2>/5+/13)2=20+4辰+13=33+4鹿，n2=(277+x/5)2=28+5+4闻=33+4回，

■・,夜>夜,

Am2>n2,

>n.

【变式4-1](23-24九年级.山东青岛.期末)观察下列•组等式，然后解答问题:

(V2+1)(72-1)=1,

(V3+V2)(V3-V2)=1,

(V4+V3)(V4-V3)=1,

(\/54-V4)(V5-V4)=1……

(1)观察以上规律，请写出笫n个等式：(九为正整数)；

⑵利用上面的规律，计算：高-募+募+…+\^2023+V237l：

(3)请利用上面的规律，比较回-V98与闻-画的大小.

【答案】(1)(x/n4-1+x/n)(\/n+1-Vn)=1

(2)^^023-1

⑶闻-V98<V98-V97

【分析】(1)根据题干，观察规律，即可得到第九个等式；

(2)先将各项分母有理化，在进行有理数计算即可得到答案；

(3)根据平方差公式，可化成分子相同的数，根据相同的分子，分母越大的数越小进行比较，即可得到答

案.

【详解】(1)解:通过观察可知，(x/n+1++1-赤)=1,

故答案为：(，几+1+Vn)(Vn4-1-Vn)=1；

(6畸声]_(-T)।(6一、②](G⑸।-

「昕•‘小八一(011)(01)0)(0«)T(QlV5)(Q73)(V2023I72022)(7202372022)

=(V2-1)+(V3-V2)+(V4-V3)+-...+(5^023-V2022),

=-1+V3-V2+V4-V3+-...V2023-V2022

=7^55-1；

(3)解：...闻一加叵翌等厚二三、，闻一扃=(闻-"竺+质)=一『,

回+798、颂+、颂画+质V98+V97

1)1

V98fV97回+跳’

V99-V98<V98-V97.

【点睛】本题考查了二次根式混合运算和大小比较，主要运用分母有理化和分子有理化，熟练堂握相关的运

算法则是解题的关键.

【变式4-2](23-24九年级.河北石家庄.期末)5-鱼、2+冬2+四的大小关系是()

A.2+V2>2+/>5-V2B.5—V2>2+g>2+V2

C.2+y>5-V2>2+V2D.5-V2>2+V2>2+^

【答案】D

【分析】根据作差法，分别比较5-a与2+a,2+近与2+彳的大小，即可得到答案.

(详解】V(5-V2)-(2+V2)=3-2A/2=3-V8=V9-V8>0,

A5-V2>2+V2,

・.・(2+物-(2+舁&亭华孚写%),

A2+V2>2+亨，

r.5-V2>24-V2>2+y,

故选D.

【点睛】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键.

【变式4-3](23-24九年级•山西吕梁・期中)阅读下列解题过程，回答问题：

1V2-1厂

-p-----=7-7=-----、//-.........r=v2-1

V2+1(V2+1)(V2-1)

_1_=-------百3------=V3-V2

V3+V2(V3+V2)(^-V2)

1x/4-V3厂r~r-

-----------=------------------------------=,y4-V3=2-V3

V4+V3(V4+V3)(V4-V3)

(D化简：嬴=------'总丽=------;

(2)利用上面的规律，比较(g-g)(V14-V13)(填：”或“V”或.

【答案】⑴3-2&，V91-3V10

(2)>

【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：

(I)仿照题意求解即可；

(2)根据分母有理化的方法得到悬德=旧一皿，^言二后一m,根据

v13+V12vl4+vl3

“12>0，得到VTi+\/T5〈事-V12)>(Vi4-vis).

【详解】⑴解：高

V9-V8

"(V9+V8)(V9-V8)

区-瓜

9-8

=3-2V2；

1

V91+V90

_V91-V90

"(V91+V90)(V91-V90)

_闻一闻

91-90

=回一3V10,

故答案为：3-2V2,V91-3V10；

(2)解：

xfl3+x/12〜(V「13+>/在12)(\之/13-\^一L2)g-g

_i_=--------------/U-^13,

V14+V13(V14+^)(^-Vi3)=yV1+3，

•・，E+V13>V13+V12>0,

.・.一_1v1一,

V14+\/l3V13+V12,

r.(V13_V12)>(V14-V13),

故答案为：>.

【题型5二次根式的混合运算】

【例5】(23-24九年级.河南三门峡.期末)下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相

应的任务.

V24+V12-2(V2+V3)

=J^x24+2V3-2V2+2V3.....第一步

=G+2遮+2V5—2V2.....第二步

=56一2四.....第三步

任务：

(1)原式中的二次根式R、旧、412.V2,遮中，是最简二次根式的是；

(2)第步开始出错，错误的原因是：

(3)第一步中，去括号的依据是:

(4)请写出正确的计算过程.

【答案】（1）&、V3

（2）一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号:

（3）乘法分配律

（4）见解析

【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关

键.

（I）根据最简二次根式的定义逐一判断即可；

（2）根据去括号法则分析即可；

（3）根据去括号的依据解答即可：

（4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可.

【详解】⑴解：不是最简二次根式；

884

V24=2V6,不是最简二次根式；

712=2V3,不是最简二次根式；

06是最简二次根式，

故答案为：应、V3

（2）解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；

故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；

（3）解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律，

故答案为：乘法分配律；

（4）解：J^xV24+V12-2（V2+V3）

=JgX244-2V3-2V2-2A/3

=^+2V3-2V3-2V2

=V5—2V2.

【变式5-1］（23-24九年级.北京房山.期末）计算（后2一（1一3日）（1+3⑨=.

【答案】22

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则，平方差公式分别运算，最后相

减即可得到结果，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键.

【详解】解：原式=5-[12一（3或）2]=5-（-17）=22,

故答案为：22.

【变式5-2】（23-24九年级•湖北十堰・期末）计算:例一;g+2dxf的结果为（）

434

A.V3+2B.V2+3C.V2+V3D.5

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算乘法，再算二次根式加减即可，灵活

运用二次根式的性质及运算法则是解题的关键.

【详解】解：原式=：x4&一：x3应+2x宇，

434

=3a-2遮+3,

=、泛+3,

故选：B.

【变式5-3]（23-24九年级.江西宜春.期末）（1）计算：（2-75）（2+次）一四：

（2）化简：2病+二口3>0）.

2ya

【答案】（1）一1;（2）4a

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关

键.

（1）先根据平方差公式展开，再计算加减法即可；

（2）先根据二次根式的性质化简，再将除法化为计算即可.

【详解】解：（1）（2-V3）（2+A/5）-V4

2

=2-（⑹2_2

=4-3-2

=-1：

（2）2痼-P

2yja

=2病.挈

2a

,—2a

=2yab--=：

\[ab

=4a.

【题型6已知字母的取值对二次根式进行化简求值】

【例6】(23-24九年级•山东滨州•期中)先化简，再求值：x(V6-x)+(x+V5)(x-V5),其中x二

【答案】V6x-5：1

【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题

的关键.

先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类二次根式化简，最后代值计算即

可.

【详解】解：x（V6-x）+（x+V5）（x-V5）

=屈x-x2+x2-5

=瓜x—5；

%=（4百-6X彳+6百）+4V2

=（4A/3-28+6⑹+4A/2

=84+4&

=石；

原式=V6xV6-5=6—5=1.

【变式6-1］（23-24九年级•湖北武汉•期末）设％=祟，y=寥，求/一3无y+y2值.

VZ+1v2-1

【答案】31

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的

运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应.先把％=磊，、=舒化简，再把/一3町+y2变形为

(x-'产-孙代入计算即可.

【详解】解：・.”=浜=温右=3-2值,=浅=舒焉=3+2也

.*.x2-3xy+y2

=x2-2xy+y2-xy

=（x-yT-xy

=|（3-2V2）一（3+2V2）］2一（3—2后）（3+2夜）

=(-4V2)2-(9-8)

=32-1

=31.

【变式6-2](23-24九年级•湖南岳阳•期末)若a=遥+2,b=遥-2,求：

(l)a2-b2；

(2)求。3匕+助3

【答案】(1)8遍

⑵18

【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：

(1)先求出Q+b=2V5,a-b=4,再根据a?一〃=(Q+b)(a-匕)进行求解即可；

(2)先求出Q+b=2遥，ab=1,再把所求式子变形为ab[(Q+b)2-2ab],据此求解即可.

【详解】(1)解：TQ=遥+2,8二遍一2,

a4-b=V5+24-V5—2=2代，a—b=V5+2—>/5+2=4»

Aa2-b2

=(a+b)(a—b)

=2\/5x4

=8A/5；

(2)解：Va=V5+2,b=V5-2,

/.G+b=V5+2+V5-2=2V5»ab=(V5+2)(V5—2)=5-4=1

/.G3b+ab3

=ab(a2+b2)

=ab\(a+b)2—2ab]

=1x[(2x/5)2-2x1]

=1x(20-2)

=18.

【变式6-3](23-24九年级.河北衡水.阶段练习)已知％=2-逐，y=24-V3.

⑴求x+y和孙的值；

(2)求%2+丫2一3孙的值;

(3)若%的小数部分是a,y的整数部分是b,求ax-by的值.

【答案】(I)X+y=4,xy=1

⑵11

(3)1-7V3

【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进吁计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识

点并灵活运用是解此题的关键.

(I)代入％=2—6，y=2+6即可求出x+y和无y的值；

(2)将原式变形为(x+y)2-5xy,代入数值进行计算即可；

(3)先估算出1V遍<2,从而得出Q=2—V5,6=3,再代入进行计算即可得出答案.

(详解】(1)解：人=2—遍，y=2十行，

x4-y=2-V3+2+V3=4,ry=(2-⑹(2+\/3)=4-3=1：

(2)解：由(1)得：x+y=4,xy=1,

•••x2+y2-3xy=(x+y)2-5xy=42-5x1=11

(3)解：v1<3<4,

VI<V3<V4,即IV百V2,

•••-2<-V3<-1,

0<2-V3<1,

x的小数部分是a,

•••a=2—V5,

v3<2+V3<4,y的整数部分是b,

•••b=3,

:.ax-by=(2-V3)(2-⑹-3(2+⑹=4-4b+3-6-3遮=1-773.

【题型7已知条件式对二次根式迸行化简求值】

【例7】(23-24九年级•浙江杭州•期末)已知：y=V7三+V¥=W+5,化简并求存一一唱的值.

x^y/xyy->jxy

【答案】

亚，-4

x-y

【分析】根据二次根式有意义的条件得到尸4,则产5,再利用约分得到原式=晟+五为，然后通分得到

原式二辿，最后把％、y的值代入计算即可.

x-y

【详解】解：・・"-生0且4-启0,

AA=4,

.,・尸5,

应______4y_

X+y/xyy-y/xy

Vx+Vy+Vx-Vy

（4+⑸（依-技）'

2yJX

F

_2V4

----,

4-5

=-4.

【点睛】本题考查了考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入求

值.

【变式7-1]（23-24九年级.河南许昌.期末）已知近+套=3,求J式+或一19的值.

【答案】2yf7

【分析】把已知等式两边平方求出x+乙的值，原式变形后代入计算即可求出值.

X

【详解】解：把a+:=3两边平方得：x+-+2=9,即无+2=7,

Vxxx

则原式=J（X+》2_21=V49-21=2近，

故答案为2V7.

【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【变式7-2】（23-24九年级.上海宝山.阶段练习）已知实数a、b涉足6（6一伤）=①（3逅+5女），求代

独甫。+2、而+3万

姒八2a+同+。的值.

【答案】

Zo

【分析】首先化简已知条件的等式，得出6=5必，代入所求代数式中即可得解.

【详解】解：由已知条件，等式可化为

a-Vab=3>/ab+5b

a-4y/ab-5b=0

(Va)2—4Vab—5(Vb)2=0,即为(VH+VS)(伞—5Vb)=0

解得VH=5VS,y/a=—y/b（舍去）

将其代入，即得

原式二25b+10b+3b19

=28,

50b+5b+b

故答案为焉

Zo

【点睛】此题主要考查二次根式的化简求值，熟练运用即可解题.

求bg+a的值.

【变式7-3]（23-24九年级.山东威海•期中）已知a+b=-8,ab=12,

【答案】-20万

3

【分析】根据题意可判断。和。都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求

值即可.

【详解】解：a+6=-8,ab=12,

・•・〃和〃均为负数,

M+川=(a+b)2_2ab=40

。2

yfb^y/a^

=b-=-\-a-=

7abyab

by/b^+a>/a^

4ab

b(—b)+a(—a)

\[ab

-b2—a2

-d+/)

\/ab

Tn

-40V12

-40x2V3

-20V3

3

【点睛】此题考查的是二次根式的化询和完全平方公式的变形；掌握二次根式的乘、除法公式和合并同类二

次根式法则是解决此题的关键.

【题型8二次根式混合运算的实际应用】

【例8】（23-24九年级•江苏南通・期中）某小区有一块长方形绿地ABC。，长8C为米，宽月8为同米，

现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的

长为（yn+i）米，宽为（g—i）米.

AD

Bc

（1）求长方形绿地AB。。的周长；

（2）除花坛外.其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？

【答案】（1）26亚米

（2）3080元

【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键.

（1）根据长方形的周长公式计算即可；

（2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可.

【详解】（1）解：2x（g§+同）=2x（8四+5或）=26&（米），

・••长方形力的周长为26鱼米.

（2）解：V128xV50-2x（反+1）x（V13-1）=80-2x12=56（平方米），

则56x55=3080（元）,

・••要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元.

【变式8-1］（23-24九年级・安徽合肥・期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高

空抛物害人害己”.为进•步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间，（单

位：s）和高度（单位：m）近似满足公式t=但（不考虑风速的影响，g、lOm/s?,再、2.236）

⑴已知小明家住20层，每层的高度近似为3m,假如从小明家坠落•个物品，求该物品落地的时间；（结

果保留根号）

⑵小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）=10x物体质量（千克）

x高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？

【答案】⑴2百秒

（2）3.5776秒

【分析】（1）根据题意可先求得九=60m,根据t=代入计算即可求解：

（2）先根据高空抛物动能（焦）=10x物体质量（千克）x高度（米），求出该玩具最低的下落高度，再由

t=后代入求解即可.

【详解】（1）解：•・•小明家住20层，每层的高度近似为3m,

/./i=20x3=60m,

••"=后=倍=2每，

:,该物品落地的时间为28s；

（2）该玩具最低的下落高度为h=2=6401,

10x0.1

../=隹=庵=晅。^^=3.5776s.

qg71055

・••最少经过3,5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人.

【点睛】本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.

【变式8-2］（23-24九年级•河南洛阳・期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所

示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板A,B.

AB

①②

（1）图①截出的正方形木板A的边长为dm,B的边长为dm；

⑵求图①中阴影部分的面积；

⑶乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你判断能

否截出，并说明理由.

【答案】（1）2遮，3V3

⑵6dm2

（3）不能截出，见解析

【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，

（I）根据正方形的面积，即可求出边长；

（2）先求出木板3的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解：

（3）求出两个面枳为25dm2的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进

行比较，即可解答.

【详解】（1）解：•・•正方形木板A的面积为12dm2,正方形木板8的面积为27dm2,

正方形木板A的边长为4^=2v5（dm）,正方形木板B的边长为VT7=3V3（dm）,

故答案为：2A/5,3v5；

（2）解：•・•正方形木板A的边长为2百dm,正方形木板8的边长为3V5dm,

・••阳影部分宽为bdm,

・••明影部分面积为2百xV3=6（dm2）,

（3）解：不能截出;

理由：V25=5,2x5=10,

，两个正方形木板放在一起的宽为5dm，长为10dm.

由（2）可得长方形木板的长为5V5dm,宽为3x/5dm.

V3V3>5,但5百<10,

・••不能截出.

【变式8-3]（23-24九年级•北京海淀・期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意.某社团

组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米.为了提升团扇的耐用性和

美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示.

（1）圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米;

（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短.

【答案】（1）变亘，108

TT

⑵圆形团扇所用的包边长度更短

【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

（1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案；

（2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案.

【详解】（1）解：由题意得：

圆形团扇的半径为眄=竺画厘米，正方形团扇的边长为闻b=100厘米；

Ynn

（2）解：•・•圆形团扇半径为坦空厘米，正方形团扇的边长为10百厘米，

n

：,圆形团扇的周长为20厮厘米，正方形团扇的周长为40百厘米

V40V3=20V3x22=20V12,3<ir<4,

/.20V3K<40V3,

・•・圆形团扇所用的包边长度更短.

【题型9二次根式中的新定义类问题】

【例9】(23-24九年级•江苏盐城期中)对于任意两个非零实数。、〃，定义运算隹如下：

aG®bL=Tb(。>0)

ab(a<0)

如：2⑥5=j(-2)(8)5=-2x5=-10.

根据上述定义，解决下列问题：

(1)^/60V3=,(1-V3)8(1+V3)=；

⑵若(％—1)G(%+1)=2,求x的值.

【答案】⑴也-2

(2)x=-V3

【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程：

(1)根据新运算的法则，列出算式进行计算即可；

(2)分工一1>0和无-1<0,列出方程进行求解即可.

【详解】(1)解：由题意，得：V60V3=^=V2,

Vl-V3<0,

A(l-V3)0(1+V3)=(1-A^3)(1+V3)=1-3=-2；

故答案为：V2,-2；

(2)当x—1>0,即：3>1时，则：—=2,解得：x=—3,

X+1

经检验，x=-3是原方程的解，

Vx>1,

Ax=-3(舍去)；

当刀一1<0,即：XV1时，则：(x-1)(%+1)=无2-1=2,

•'•x=—V5或％=(舍去)；

'»X=—V3.

【变式9-1](23-24九年级•全国•专题练习)定义：若两个二次根式a,b满足a・b=c,且c是有理数，则

称，与〃是关于c的因子二次根式.

(1)若。与鱼是关于4的因子二次艰式，贝帽=；

（2）若8-1与m-国是关于-2的因子二次根式，求m的值.

【答案】⑴2企

（2）-1

【分析】（1）根据因子二次根式的定义进行计算即可；

（2）根据因子二次根式的定义得到（遮-1）（血-遮）=一2,进行求解即可.

【详解】（「）解:由题意，得：V2a=4,

a=2\/2；

故答案为：2V2

（2）由题意，得：（逐一1）（血一百）二一2,

•••执-8=一高=一（8+1），

/.m=—1.

【点睛】本题考查二次根式的计算，分母有理化.理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键.

【变式9-2］（23-24九年级•浙江杭州•期末）定义：若两个二次根式m,n满足m・n=p,且p是有理数.则

称仇与九是关于N的美好二次根式.

（1）若m与e是关于6的美好二次根式，求TH的值：

（2）若1-百与4+旧机是关于九的美好二次根式，求m和71的值.

【答案】⑴m=3V2；

（2）n=-8,m=4.

【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

（1）利用二次根式的新定义运算解答即可求解

（2；利用二次根式的新定义运算解答即可求解

【详解】（1）解：由题意可得，m•&=6,

.*.771=3V2；

（2）解：由题意可得，（1-V3）（4+V3?n）=n,

整理得，（百一3）巾二475-4+〃，

y/3m-3m=4A/3-4+n,

m=4,-3?7i=7i-4

.*.m=4,

=-8.

【变式9-3](23-24九年级.江苏盐城.期中)定义：我们将(6+匈与(6-匈称为一对“对偶式”.

因为(孤+展)(乃-Q)=(仿)2-(孤)2=。-6可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对

偶式”来解决.

例如：(，15-\+V3—x)(V15-x—V3—x)=(V15—xj—(V3—x}-(15—x)—(3—x'\=12,所以

715^+遮二V与五5二三-^/I二互为“对偶式”.

(1)^/7-或的“对偶式”是,或厂^-1的“对偶式”是.

⑵已知421-X-=2,其中％W5.

①、-四"的“对偶式”的值是.

②利用“对偶式”的相关知识，求方程扬心-=2中xi勺值.

【答案】(I)夕+&，+

(2)©8；②X=-4

【分析】本题考查新定义，平方差公式，二次根式的混合运算.

(I)根据“对偶式''的定义即可解答.

(2)①根据平方差公式求得("厂豆一通三)(后=W+收=)=16,根据=一声==2即可

求解；

②由，21-x—-x=2,《21-x+，5--=8得到"21-x=5,V5—x=3,求解即可.

【详解】(1)解：由题意可得，夜-加的“对偶式”是近+VL-的“对偶式"是收不+

V5-x.

故答案为：V7+V2,V21-x+^/T^x

(2)解：①迎1-X-<5一％的“对偶式”是V2/-x+<5—%,

而(V21—x—yJS—x)(V21—x+VS—x)=(V21—x)—(V5—x)=(21—x)—(5—%)=16,

W21-x-V5^x=2,

:.《21-%+V5—x=8；

故答案为：8

@vV21-x-V5^x=2,V21^x+=8,

V21-x=5,v5-x=3,

解得％=-4.

【题型10二次根式中的阅读理解类问题】

【例10】（23-24九年级•湖北十堰・期末）阅读材料，学解问题：小虑在学习二次根式时，通过计算（注+1）2=

3+2VL他就想J3+2或化简的结果应为注+1,即，3+2'=&+1,接着他又通过计算验证得到

74-273=73-1,受到这个发现的启迪，于是他就想找到化简形如Ja+2述的式子的一般方法.善于思

考的小聪进行了以下探索：

+2\[b=（y[rn+Vn）2（其中a、〃、〃?、〃均为整数），

则有a+2\fb=m+n+2\/mn.

.*.n+n=a®,mn=b@f

①+②得mn+m+n=a+b,

:.mn4-?n4-n+l=a+b+l,

因式分解得，（m+l）（n+l）=Q+8+l,

ax〃、/〃、〃均为整数，

：.m+1和n+1均为Q+b+1的因数,

由此可以得到方程组验证求出〃?，〃的值，从而化简Ja±2VF.

（I）请你根据小聪的方法探索化简（8-2代:

当设8-2-/15=（Vm-Vn）2（加、〃均为正整数，m>n）,则①m+n=,mn=,

，②mn+m+n+1=,（m+l）（n+1）=，

,③m=,n=,〔经验证，其他情况均不成立，故舍去），

A®V8-2/l5=；

在得到Ja±2a的化简的一般方法后,兴奋的小聪继续深入探究化简形如Ja土妣（〃、b、c•均为正整数,

且b没有平方数因数，c*2）的式子的一般方法，通过思考，他发现当c=2k（2为大于1的整数）时，将

“移进根号内，就把问题转化为Ja±2四就可以化简了.

（2）请你根据小聪的方法化简加-46=.

接著他想，上面的式子之所以能通过变形化简，是因为第一层根号内的式子能变形成完全平方式，小聪又

琢磨形如/。±4乃（〃、〃、d均为正整数，且人没有平方数因数，d为奇数）的式子能否化简，若能化简，

其一般方法又是怎样的呢？经过深入思考，他得到如下方法：将Ja±dVF看出分母为1的式子，然后，分

子和分母都乘以2,再把分子上的2移到第一层根号内，这样，问题就变成（2）中的问题了，即五土dVF=

纸还二空还=竺还，再利用口）的化简方法就可以解决问题了.

（3）他这种解决问题的策略用的是数学思想.

【答案】（I）①8,15；②24,24：③5,3；④遮一遍

⑵布-/

（3）转换化归

【分析】本题考查二次根式的化简.掌握题干给定的化简方法，沟造完全平方公式，是解题的关键.

（1）根据题干的步骤，逐一进行计算即可；

（2）根据题干给定的方法，进行化简即可；

（3）用到了转换化归的数学思想.

【详解】（1）解：当设8—2Vl^=（后一VH）2（〃］、〃均为正整数，m>n）,

:,8—2V15=m—2\/mn+n,

则①m+九=8,mn=15,

@mn+m+n+1=24,即：［m+l）（n+1）=24,

，③m=5,几=3,（经验证，其他情况均不成立，故舍去），

工④、8-2旧=（V5-V3）2；

故答案为：①8,15；②24,24；③5,3；④百一V5

（2）解：VV8-4V3=V8-2V12,

，设8—=（诋1一TH）2,（小、〃均为正整数，m>n）,

8—2^12=m—2ylmn4-n,

则m+n=8,mn=12»

/.ran+m+n+l=21,即：（m4-l）（n4-1）=21,

An=6,n=2,（经验证，其他情况均不成立，故舍去），

/.V8-2xfl2=J（V6-V2）2=尿一瓜

即：V8-4V3=V6-V2；

故答案为：V6—V2；

(3)他这种解决问题的策略用的是转换化归的数学思想：

故答案为：转换化归.

【变式10-1](23-24九年级•陕西咸阳・期末)阅读下列材料，解答提出的问题：

原题：已知x=2-V3,y=2+.求x2+xy+y?的值.佳佳先将x2+xy+必利用完全平方公式转化为:

x2•{-xy+y2=(x+y)2-xy

*.*x=2-y/3,y=2+V3

.\x+y=2-y/3+2+y/3=4,xy=(2-V3)(2+V3)=1,，原式=4?-1=15.

⑴若x=3-V5,y=2+V5,求：(/-6x+9)(y2-4y+4)的值；

(2)若x=V74-V2,y=V7-a，求：x2+y2+2xy-3x-3y的值.

【答案】⑴25

(2)28-6/7

【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，

(I)