2024届北京市某中学高考数学三模试卷含解析

2024届北京市师大附中高考改学三模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“cos2a="”是“a=%乃+工，%£2”的（）

23

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.在复平面内，复数Z=4+加（。，对应向量OZ（。为坐标原点），设OZ二一，以射线Ox为始边，OZ

为终边旋转的角为凡则z=〃（cos，十isin"）,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：4=Mcosa+isina）,

z2=A；(cosft+zsin<92),则z,=%[cos(q)+zsin(<91+幻]，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:

[r(cosO+isin。)]"=r"(cos〃O+isin〃0,已知z=+,则z=()

A.2>/3B.4C.86D.16

3.如图所示的程序框图输出的S是126,则①应为（）

〃=1,S=O

A.n<5?B.7?<6?C.;?<7?D.n<8?

4.已知数列｛?｝是公差为或…）的等差数列，且4必，4成等比数列，则小（）

A.4B.3C.2D.1

5.已知集合4=｛1,2,3,4,5,6｝的所有三个元素的子集记为隹，鸟,3一.,纥,〃£'*.记〃为集合B,中的最大元素,

则伪+&+4+...+a=()

A.45B.105C.15()I).210

6.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距

离.己知平面,%两两互相垂直，点AE。，点A到/，/的距离都是3,点P是a上的动点，满足P到4的

距离与P到点A的距离相等，则点尸的轨迹上的点到夕的距离的最小值是()

7.已知向量a=(T,2),Z?=(x,x-1),若仅一则，=()

12

A.-B.-C.1D.3

33

8.已知斜率为2的直线/过抛物线C：)，2=2〃x(〃>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点，若线段AB的中点

M的纵坐标为1,则p=()

A.1B.V2C.2D.4

9.某中学有高中生1500人，初中生10D0人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中

抽取一个容量为〃的样本.若样本中高中生恰有30人，则〃的值为()

A.20B.50C.40D.60

10.设等差数列｛4｝的前〃项和为s“，若S?=3,S4=l(),则S6=()

A.21B.22C.11D.12

fix

11.已知a>(),若对任意〃?£(0,+8卜关于x的不等式(x-l)e'--(e为自然对数的底数)

e

至少有2个正整数解，则实数。的取值范围是()

12.如区，在棱长为4的正方体5GQ中，£F，G分别为梭人"，BC,的中点，"为棱AD的中

点，设尸，。为底面ABC。内的两个动点，满足平面E尸G,RQ=J万，则尸历+尸。的最小值为()

4E3

A.3>/2-lB.3V2-2C.25/5-1D.2>/5-2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是____.

14.在平面直角坐标系X。），中，已知圆T）2=I及点46刀），设点〃是圆C上的动点，在△ACP中，

若44"的角平分线与AP相交于点&〃?,〃），则jY+if的取值范围是______.

15.命题“对任意x>l,f>］,,的否定是.

16.若点N为点M在平面。上的正投影，则记N=力（加）.如图，在棱长为1的正方体A8CO-4g中，记平

面A3Q为4，平面A8CO为九点P是线段上一动点，2=〃［乃（2）］,。2=介/。）］.给出下列四个结论：

①。2为AABIR的重心;

②QQ工BD；

4

③当C?二不时，PQJ平面"；

④当三棱锥APB.的体积最大时，三棱锥D,-APB.外接球的表面积为2〃.

其中，所有正确结论的序号是________________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四面体D4BC中，ABLBC,DA=DC=DB.

（1）求证:平面ABCJ_平面AC。；

（2）若NC4O=30。，二面角C-A3-。为60,求异面直线与8。所成角的余弦值.

r*VZ~

⑻⑴分）已知实数X,-Z满足.+而+.=2’证明:22

1+X1+），1+2

19.（12分）已知椭圆C：W+的离心率为自，右焦点为抛物线），2=4%的焦点产.

（1）求椭圆。的标准方程；

4

（2）O为坐标原点，过。作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若OM、ON斜率之积为求证：AMON

的面积为定值.

20.（12分）已知椭圆。的焦点在x轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长g为且面积为2&的菱形.

（1）求椭圆。的方程；

（2）设”（-3,0）,过椭圆。右焦点尸的直线/交于A、8两点，若对满足条件的任意直线/,不等式MA-MB<2（2eR）

恒成立，求4的最小值.

21.（12分）如图，已知椭圆Zh弓+^=人11为其右焦点，直线二二二二二一二1二二椭圆交于二（二〃二卜）,二（匚.二.

两点，点二二在I：上，且满足二二二|二二二二二|二二二二二|二二.（点二.二.二二从上到下依次排列）

⑺试用二表示二二:

(〃)证明：原点二到直线/的距离为定值.

22.(10分)如图，在四棱锥中底面48co是菱形，N4AO=60°,△%£>是边长为2的正三角形,

PC=Ji6,E为线段A力的中点.

(1)求证：平面P8C_L平面P8E；

(2)是否存在满足P/%尸。(％>0)的点/，使得%打8?若存在，求出4的值；若不存在，请说明理

由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

先求出满足cos2。=-:的a值，然后根据充分必要条件的定义判断.

2

【详解】

I27r7[|兀

由cos2a=——得2a=22〃士——，即a=Avr士一，keZ,因此“cos2a=——”是“。二左乃+二，&wZ”的必要

23323

不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考杳充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.

2、D

【解析】

根据复数乘方公式：[Ncose+isine)]"=/'(cos〃e+isin〃e),直接求解即可.

【详解】

、4

71..万

Z=16cos--f-zsin—

=(6+4=2臣］66J

LV/

IA乃］.•

=16cos4x—H-zsin4x-=-8+8>/3z,

6；k6)

Fl=J(-8)2+(8厨=16.

故选：D

【点睛】

本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形

式，属于基础题.

3、B

【解析】

试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n

的值，并输出满足循环的条件.

解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是累加S=2+22+...+2n的值，

并输出濮足循环的条件.

VS=2+22+...+2,=121,

故①中应填n<l.

故选B

点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,

这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题

型的易忽略点是：不能准确埋解流程图的含义而导致错误.

4、A

【解析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.

【详解】

由成等比数列得即(q+2d『=q(q+5d),已知dwO,解得,=4.

故选：4.

【点睛】

本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.

5、B

【解析】

分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.

【详解】

集合”含有3个元素的子集共有盘=20,所以Z=20.

在集合g(i=l,2,3,…次)中：

最大元素为3的集合有C；=l个；

最大元素为4的集合有C；=3；

最大元素为5的集合有C：=6；

最大元素为6的集合有盘=10；

所以仇+4+a+2+々=3x1+4x3+5x6+6x10=105.

故选：B.

【点睛】

此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清“数原理，分类讨论，分别求解.

6、D

【解析】

建立平面直角坐标系，将问题转化为点尸的轨迹上的点到x轴的距离的最小值，利用户到工轴的距离等于2到点A的

距离得到P点轨迹方程，得到6)，=(x-3/+929,进而得到所求最小值.

【详解】

如图，原厩等价于在直角坐标系xQy中，点4(3,3),尸是第一象限内的动点，满足尸到％轴的距离等于点尸到点A的

距离，求点尸的轨迹上的点到工轴的距离的最小值.

设P(x,y),则y=J(j_3)2+(y_3)2,化简得：(％-3『一6)，+9=0,

则6y=(%—3)~+9之9,解得：y-^f

3

即点尸的轨迹上的点到夕的距离的最小值是］.

故选：

【点睛】

本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得

最值.

7、A

【解析】

利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.

【详解】

由题意得，Z?-2a=(2+冗,工一5),

v{b-2a^lfd,

.-.2(2+x)+x-5=0,

解得x=

故选A.

【点睛】

本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.

8、C

【解析】

设直线/的方程为工=j：，与抛物线联立利用韦达定理可得P.

【详解】

由已知得尸（§,0）,设直线/的方程为x=；），+§,并与V=2px联立得V・p）,-p2=0,

设A（X1,Ji）,B（X2,J2）,的中点C（xo,jo）＞

.*.J1+J2=P，

又线段AB的中点M的纵坐标为1,则w=g（J1+J2）=5=1，所以P=2,

故选C

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题.

9、B

【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.

【详解】

tl

由题意，30=1500X--——,解得〃=50.

1500+1000

故选：B.

【点睛】

本题考杳简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.

10、A

【解析】

由题意知Sz'Sq-Sz.Ss-Sj成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出§6的值.

【详解】

解：由｛飙｝为等差数列，可知S2，S«-S2，S6-S4也成等差数列，

所以20—S2）=S2+S6—S4，即2x（10—3）=3+56—10,解得4=21.

故选:A.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和

公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.

11、B

【解析】

构造函数/（〃2）=〃2-ln（〃z+l）-l（加＞0）,求导可得/（咐在（0,+?）上单调递增，则/（/%）＞/（（））=-1,问题

zyyzjVzyv

转化为(x—l)e、一一二<-l,即(xT)eY丝-1至少有2个正整数解，构造的数8(%)=(%-1)吟力(力=丝-1,通过

eee

导数研究单调性，由g(0)=/7(0)可知，要使得g(x)W"(x)至少有2个正整数解，只需g(2)W%(2)即可,代入可求得结

果.

【详解】

构造函数〃〃?)=机一皿帆+1)-1(,H>0),则:("?)=1一6=、^(机>0),所以〃⑹在(0,+?)上单

调递增，所以/(〃?)>/(())=—1,故问题转化为至少存在两个正整数X,使得(x-l)e'«-—1成立，设

e

^(x)=(x-l)ev,/z(x)=--1,则g'(x)=xe',当工>0时g")>0,g(x)单调递增；当x>0时，力⑴单

e

调递增.晨2)4〃(2),整理得〃之日萨.

故选:B.

【点睛】

本题考查导数在判断函数单调性中的应用，考查不等式成立问题中求解参数问题，考查学生分析问题的能力和逻辑推理

能力，难度较难.

12、C

【解析】

把截面EFG画完整，可得。在AC上，由QQ=J万知。在以。为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得

PM+PQ的最小值.

【详解】

如图，分别取CQ，OA，AA的中点月,/，，连接易证石,£6,〃,/,/共面，即平面EFG为截面

EFGHIJ,连接AR,RC,AC,由中位线定理可得AC//£F,4。仁平面瑁七，EFu平面EFG,则AC//平

面E尸G,同埋可得AR〃平面所G,由ACIAR=A可得平面ARC//平面E尸G,又RP〃平面必'G,P在

平面A8CD上，・・・P£AC.

正方体中DR_L平面ABC。，从而有。2_LOQ,：.DQ=^D.Q1-DD；=1,工Q在以。为圆心1为半径的四

分之一圆（圆在正方形A3CQ内的部分）上，

显然M关于直线AC的对称点为E,

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=742+22-1=2>/5-b当且仅当£P，。，0共线时取等号,

・•・所求最小值为26-1.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出。点

轨迹.第二个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

该程序的功能为利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得

答案.

【详解】

模拟程序的运行，可得：5=0,77=1,

不满足条件〃>4,执行循环体，S=l,n=2t

不满足条件〃>4,执行循环体，5=6,〃=3,

不满足条件〃〉4,执行循环体，5=27,〃=4,

不满足条件〃>4,执行循环体,S=124,=5,

此时满足条件〃>4,退出循环，输出S的值为1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题.

-V7-2V7+2-

14、--------------

33

【解析】

由角平分线成比例定埋推理可得AQ=2〃Q,进而设点表示向量构建方程组表示点尸坐标，代入圆C方程即可表示

动点。的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.

【详解】

由题可构建如图所示的图形，因为是NACP的角平分线，由角平分线成比例定理可知

4^=/=：=4。=2P。,所以/12=2。。.

r\t/丫1

设点。(人〃)，点尸(x,y),即AQ二(加一=

则(〃z-6,〃)=2(x7〃,y-〃)，

3772-V3

x=-------

fn-yjs=2(x-/n)=2

所以

n=2(y-〃)3〃

y=­

•2

又因为点?是圆C:x2+(y-l)2=1上的动点，

(3m-y/3y/3〃八21(/2、24

则［——I+(万—1)一=］二［m-7)+(〃_§)=§，

故点Q的运功轨迹是以M［乎,|］为圆心g为半径的圆，

又Vm2+n2即为该圆上的点与原点间的距离，

因为加'用:自邛，所以

缶「疗一2疗+2一

故答案为：3，3

【点睛】

本题考查与圆有关的距离的最值问题，常常转化到圆心的距离加减半径，还考查了求动点的轨迹方程，属于中档题.

15、存在司>1，使得与2工1

【解析】

试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任怠X>1,X2>\”的否定是"存在玉）>1，使得01

考点：命题的否定.

16、®®®

【解析】

①点尸在平面A8CD内的正投影为点C,而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线垂直于

平面4修。，而A4/V1为正三角形，可得往为正三角形八4修2的重心，所以①是正确的：

②取用鼻的中点E,连接AE,则点，在平面的正投影在AE上，记为Q,而平面ACGA，2，&w平

面ACGA，所以。。2，以九所以②正确；

4

③若设4E「CG=M,则由P04E可得RtAMACsRtAMQQ,然后对应边成比例，可解。尸=弓，所以③正确;

④由于%r桃二%一切四，而初旦A的面积是定值，所以当点尸到平面。的距离最大时，三棱锥R-APB］的

体积最大，而当点Q与点。重合时，点2到平面的距离最大，此时P-44Q为棱长为正的正四面体，其外

接球半径/?二无，则S球=31，所以④错误.

2

【详解】

因为力(P)=C,连接CA，则有。1平面A8Q,CAc平面阴/1=。2，0=。q=8”做2为正三角形,

所以。2为正三角形.用。的中心，也是AAB|R的重心，所以①正确；

由CA，平面44鼻，可知平面ACGAJ■平面ABQ,记%(P)=Q,

由8OJ,AC3OJ_CC1,可得BO_L平面ACG4，G，02£平面ACG4,则QQ-LBO,所以②正确;

若PQJ平面夕，则PQJAE,设CP=«O图l),AEcCG=M由RJMACsRtAMPQ得PQ二宗，易得

2

72

(2,C=—(2-0，由尸QJAE,则NPQC=NMAC,由tanN-QC=lanNMAC得，&二正，解得

3

3

4

t=CP=-t所以③正确;

当尸与C重合时，匕…人…入最大，夕-4用口为棱长为虚的正四面体，其外接球半径R=手，则s球=3万,

所以④错误.

故答案为：①②③

【点睛】

此题考杳立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析

(2)正

6

【解析】

(1)取AC中点£连接“。,以，得~LAC,可得==

可证j.DEAggm,可得DF上FB,进而平面48C,即可证明结论；

(2)设E,G,〃分别为边人的中点，连DE,EF,GF,FH,HG,可得G〃//AZ),GH//BCyEF//BCt

可得NROT(或补角)是异面直线A。与3c所成的角，3c_LA3,可得上下_LA3,/DEF为二面角C-AB-D

的平面角，即ND所=60,设AD=a,求解AFGH,即可得出结论.

【详解】

(1)证明:取AC中点F,连接产必，

由DA=DC,则DF±AC,

・.・AB1BC,则E4=/^=FC,

故DF^,DFB,/DFB=ZDFA=-,

2

・・•DF±AC,DF_LFB,ACcFB=F

・・・£)/，平面ABC,又u平面AC。，

故平面45C_L平面ACQ

(2)解法一:设G,“分别为边CD,B。的中点，

则9//八。,6〃//3。，

/FGH(或补角)是异面直线4。与BC所成的角.

设E为边A8的中点，则)V/3C,

由A8_L8C,知上厂_LAZL

又由（1）有」平面A6c.k_LA8,

EF^DF=F,A6_L平面DEF,;.DE_LAB.t

所以NQE/为二面角C-A/—。的平面角，「.NO所=60,

设£＞八=。。=。3=〃,则DF=AD/CAD"

2

在RfADEF中,EF=--=—a

236

从而GH=LBC=EF=^4

26

在RNBDF中,FH=-BD=-

22f

又/G='AO=q,

22

从而在二中，因“G=AH,

-GH巧

cosZFGH=-——=—'

FG6

因此，异面直线A。与所成角的余弦值为

解法二:过点尸作JLAC交A8于点M,

由(1)易知尸。,尸/),尸例两两垂直，

以尸为原点,射线bM,R7,77)分别为无轴，

)'轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系尸-町，z.

不妨设4)=2,由8=AO,NC4O=3()。，

易知点AC,。的坐标分别为人(0,G0),C(0,G,0),7)(0,0,1)

则A0=(0,73J)

显然向量R=（0,0,1）是平面ABC的法向量

已知二面角C—A8-。为60。，

设3（丸〃,0）,则＞+/=3,4"=（"〃+30）

设平面AI3D的法向量为n=（x,y,z）,

[皿〃=0[b+z=。

则<=>/r\

AB-/?=0frvc+ln+\J3\y=0

令y=l,贝U〃=」+"』,一G

m

由上式整理得9n2+—21=0,

解之得〃=-6（舍）或〃=这

9

______2

ADCB~/

cos<AD,CB>=----------==—

ADCB)2736

2x-----

3

因此，异面直线AD与8。所成角的余弦值为由.

6

c

【点睛】

本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空

间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.

18、见解析

【解析】

222

已知条件一二十」＜+===2,需要证明的是「二十:2丁+7^»工&,要想利用柯西不等式，需要

1+厂1+/1+z-1+厂l+y~l+z-

=1,则可以用柯西不等式.

l+x2\+yU+Ti+yi+z

【详解】

,X12.V2Z2

Vl+x2+l+/+l+z2

1+A21+y21+z21+x21+)/1+z

由柯西不等式得，

U+d1+y-l+z~){l+x2\+y-[+z~)(1+Y1+yl+z\

/、2

、言+言+会］,2・

1+x21+y21+z2

【点睛】

本题考杳柯西不等式的应用，属于基础题.

r2v2

19、（1）L+2_=］；（2）见解析

54

【解析】

（1）由条件可得C=l,再根据离心率可求得则可得椭圆方程；

（2）当,WV与x轴垂直时，设直线MN的方程为：x=«一石＜，（石/，（）），与椭圆联立求得W,N的坐标，通

过。必、QV斜率之积为-1列方程可得，的值，进而可得少旅加的面积，当MN与x轴不垂直时，设M（x，y）,

N（w，M），/WN的方程为旷="+相，与椭圆方程联立，利用韦达定理和OM、ON斜率之积为-二可得

-J

2〃P=5F+4,再利用弦长公式求出MN,以及。到MN的距离，通过三角形的面积公式求解.

【详解】

(1)抛物线的焦点为尸(1,0),

c=1,

小c>/5

•/e=——，/.—=—，

5a5

.,.々=5,6=2,

•••椭圆方程为±+±=1；

54

(2)(i)当MV与x轴垂直时，设直线MN的方程为：.c=/(-石<t<\/5,r+0)

代入］+?=1得:MN9

.w旺与

45-r4

・・-------=---9

5r5

解得：/i==5,

2

4

'''S'MON=；,M,J~Y~=也；

（ii）当MN与x轴不垂直时，设M（x，yJ,刈毛,必），MN的方程为尸质+加

y=kx+rn

由V二+3=]=(4+5公卜2+1(加7a+562-2()=(),

.54

由△>0n5左2+4>〃p①

1Okm5m2-20

…二一直记X,'X2=7Z5F

,,4

,AQWAW=，

,・号—=-：,.\5y1y2+4x]x2=0

人]人^J

即(5%244)%+5"欣(玉+々)+5〃广=0

/_,o.\5"广—20’10%?、

/.(5k~+4)-------------+5mk-+5nr=0

、)4+5公14+5吃

整理得：2〃广=522+4

代入①得：〃0

\MN\=、h+k2Q(X]+/J-4尤]工2

5/H2-2O>

-4

、4+5L

J5k2+4-/

=4石丁+公

4+5公

\in\

。到MN的距离。=十=三

Jl+k?

7△皿V=»NM

2后|网5/5公+4->

4+5-

2>/5同y/2m2-nr

2nr

=亚

综上：S&MON=v5为定值.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.

,231

20.(1)—+/=1(2)—

22

【解析】

(1)由已知条件列出关于。和〃的方程，并计算出a和〃的值，jike得到椭圆的方程.

(2)设日点4和点“坐标，运用点坐标计算出M3,分类讨论直线/的斜率存在和不存在两种情况，求解出之的

最小值.

【详解】

一一L2a.2b=26r-

(1)由己知得：2,解得〃=b=\

。2+从=3

2

所以，椭圆C的方程］+)，2=1

(2)设A(x，yJ,8(占,为)・始-历4=(百+3,%)・(~+3,%)=(%+3)(々+3)+〃％

当直线/垂直于x轴时，％=9=1，且犬=g

此时M4=(4,y),M8=(4,.yJ,=

当直线/不垂直于x轴时，设直线/：＞=攵。-1)

常％得0+2尸)，4入+21=0.

由《

4k22k2-2

“+"2=77寿i2=m